整體地把握高中數(shù)學課程.ppt

整體地把握高中數(shù)學課程 理念與設(shè)計思路,首都師范大學 王尚志,進程 理念 設(shè)計思路 問題與對策 專業(yè)支持 需要研究的問題,理念,時代性： 科學技術(shù)發(fā)展 社會發(fā)展 教育發(fā)展 數(shù)學發(fā)展（計算機、應用、文化）,理念,選擇性： 人生具有越來越大選擇空間 職業(yè)的選擇 愛好的選擇 需要一個開闊的視野 知識的選擇 等等,理念,基礎(chǔ)性： 與時俱進認識“雙基” 數(shù)學的基本素養(yǎng)、能力 整體理解 把握本質(zhì),理念,學生的主體性： 終身學習能力 良好的學習數(shù)學習慣 學好數(shù)學信心 學習數(shù)學的興趣 合作交流的能力 獨立思考、積極探索、置疑創(chuàng)新,理念,科學的評價體系： 過程評價 高考改革 評價的激勵作用 評價與日常教學的關(guān)系 等等,一、從初高中銜接說起基礎(chǔ)性,例子： 集合教學,集合：整體把握課程內(nèi)容定位,1、“集合”在高中數(shù)學課程定位 “集合語言是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言。使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數(shù)學的一些內(nèi)容。高中數(shù)學只將集合作為一種語言來學習，學生學會使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學對象，發(fā)展運用語言進行交流的能力?！?集合：整體把握課程目標,2、“集合”在實現(xiàn)目標的作用 提高“數(shù)學表達和交流的能力” 數(shù)學語言：自然語言、符號語言、圖形語言、圖表語言等；集合語言是符號語言。 x|(x) 表示滿足性質(zhì) 的元素組成的集合； xA 表示元素x屬于集A； AB 表示集合A與集合B的交； AB 表示集合A與集合B的并；等等。 集合語言與圖形語言（Venn圖）有密切聯(lián)系。,集合：整體把握課程目標,、“集合”在實現(xiàn)目標的作用 “集合”體現(xiàn)了數(shù)學中的“分類思想”： 把每一類事物描述清楚； 把一些學習過的內(nèi)容梳理清楚； 有助于進一步學習。,集合：在課程中基本脈絡,、與“集合”有聯(lián)系學過的內(nèi)容： 日常生活中一類物體； 數(shù)自然數(shù)、整數(shù)、正分數(shù)及其部分； 數(shù)軸上的點集； 量的范圍； 平面直角坐標系中的點集； 方程的根； 不等式的解集； 函數(shù)的定義域； 等等。,集合：在課程中基本脈絡,、與“集合”有聯(lián)系將要學習的內(nèi)容： 必修：函數(shù)定義域、單調(diào)區(qū)間、圖形、應用中描述等； 必修：點直線；直線包含于平面等； 平面點集的表示；直線、園及其部分點集等； 必修：數(shù)據(jù)分類；直方圖、扇面圖等； 必修：三角函數(shù)周期、零點集、最值點集、單調(diào)區(qū)間 等；向量與平面點集等； 必修：一元二次不等式解集，目標函數(shù)的可行域，數(shù)列 特殊點集，等。,集合：學生分析習慣、態(tài)度、對學過內(nèi)容掌握,這里僅分析內(nèi)容的難易（不同學生問題不同）： 一維直線點集容易： 數(shù)、數(shù)軸、量的范圍、方程解集、不等式解集等； 二維平面點集的定量表示難： ；等等 有限范圍點集容易：開區(qū)間，左開右閉區(qū)間，等等； 無限點集難：奇數(shù)點集； 等等。,集合：教材分析,教材分了四個學時講授，一個學時復習： 第一節(jié)：集合的含義和表示 第二節(jié)：集合的基本關(guān)系 第三節(jié)：集合的基本運算（一） 第四節(jié)：集合的基本運算（二） 第五節(jié)：復習總結(jié),集合：教材分析,可能遇到的問題（在教參、教輔） 在集合基數(shù)拓展 冪集拓展（可以放在“計數(shù)”講） 后面內(nèi)容提前：一元二次不等式，等。 開拓一些其他問題： ， | （為何值） |，不能分解為兩個素數(shù)之和空集？,集合：教學設(shè)計的一些問題,什么內(nèi)容以教授為主？ 如何利用學過的知識？ 如何組織學生自主學習利用集合語言 梳理學過內(nèi)容報告 讓學生總結(jié)一些好的案例：比較用不同語 言表述同一對象 如何提示學生“集合”在后面學習中的作用？,集合：教學設(shè)計的一些問題,“集合”是高中課程的第一個內(nèi)容，它將伴隨學生經(jīng)歷從初中到高中學習的過渡，希望教師在教學設(shè)計中關(guān)注以下問題： 1、學生的學習習慣； 2、學生學好數(shù)學的信心； 3、幫助學生梳理學習過的內(nèi)容，這是學好數(shù)學重要環(huán)節(jié)。,集合：教學反思、總結(jié),收集一些教學案例 與自己教學比較 完成一個總結(jié)報告 修訂自己的教學設(shè)計,二、整體理解新課程的幾個角度,關(guān)鍵詞整體理解 整體把握課程目標 整體把握數(shù)學素養(yǎng)和能力 整體把握數(shù)學內(nèi)容知識和技能 數(shù)學學習的習慣,（一）、整體把握課程目標,三維目標： 知識技能目標 過程與方法的目標 情感、態(tài)度、價值的目標 三維目標是一個整體：例如， 養(yǎng)成好的學習習慣 三維目標應該貫穿在數(shù)學教育的始終,數(shù)學課程標準的目標,數(shù)學課程的目標 獲得必要的數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學概念、數(shù)學結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，以及它們在后續(xù)學習中的作用。通過不同形式的自主學習、探究活動體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。 提高空間想像、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力。 提高數(shù)學地提出、分析和解決問題（包括實際應用問題）的能力，數(shù)學表達和交流的能力，發(fā)展獨立獲取數(shù)學知識的能力。,數(shù)學課程標準的目標,數(shù)學課程的目標 發(fā)展數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識，力求對現(xiàn)實世界中蘊涵的一些數(shù)學模式進行思考和做出判斷。 提高學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態(tài)度。 具有一定的數(shù)學視野，逐步認識數(shù)學的應用價值、科學價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數(shù)學的理性精神，體會數(shù)學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀。,目標變化的意義,打好基礎(chǔ) 強調(diào)五個基本能力 主動學習和創(chuàng)新能力 情感、態(tài)度、價值觀與數(shù)學課程的結(jié)合,目標變化的意義,打好基礎(chǔ) 整體地把握數(shù)學課程 知識結(jié)構(gòu)框圖 抓住課程的基本脈絡（主線） 理解數(shù)學本質(zhì),目標變化的意義,強調(diào)五個基本能力 計算能力 邏輯推理能力 空間想象能力 抽象概括能力 數(shù)據(jù)處理能力,目標變化的意義,抽象概括能力 我們不僅僅需要同學們掌握數(shù)學知識和技能本身，還應該幫助同學們了解知識、技能、結(jié)論形成的過程，產(chǎn)生的過程，能夠從特殊到一般，從具體到抽象，能夠從一些現(xiàn)象中，通過類比、歸納、猜想，通過合情推理，總結(jié)數(shù)學規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。這也是數(shù)學的一種重要的思維方式，非常重要的創(chuàng)造性思維方式。許多數(shù)學家反復建議，我們不僅要重視培養(yǎng)同學們的演繹推理能力，同樣，也要重視培養(yǎng)同學們的抽象概括能力。這種能力的培養(yǎng)也應該滲透到數(shù)學學習的各個環(huán)節(jié)中。,目標變化的意義,數(shù)據(jù)處理的能力 隨著社會發(fā)展，人們對于數(shù)據(jù)、信息的關(guān)注越來越大，處理數(shù)據(jù)，已經(jīng)成為百姓生活不可回避的問題。生活中的很多數(shù)據(jù)都是“雜亂”的，但并非“無章”，如何發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，如何利用這些規(guī)律提高生活質(zhì)量。數(shù)據(jù)處理能力成為現(xiàn)代人的基本能力。在高中學習中，有必要掌握基本數(shù)據(jù)處理能力：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中提取信息，利用信息說明問題等等。,目標變化的意義,主動學習和創(chuàng)新能力 接受、記憶、模仿和練習是同學們重要的數(shù)學學習活動，但是，不應只限于此，高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式。這些方式有助于發(fā)揮同學們學習的主動性，使同學們的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。“通過不同形式的自主學習、探究活動體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程?！?目標變化的意義,主動學習和創(chuàng)新能力 創(chuàng)新的最好體現(xiàn)應反映在：培養(yǎng)學生的問題意識。鼓勵學生提出問題；鼓勵學生從多種角度尋求解決問題的方法；課程應具有一定的開放性，給學生思考的空間；為學生營造一個積極思考、探索創(chuàng)新的氛圍，等等。,目標變化的意義,關(guān)于情感、態(tài)度和價值觀與數(shù)學課程的結(jié)合 興趣 視野 學習習慣,目標變化的意義,興 趣 “興趣”的培養(yǎng)在某種程度上被忽視了。 對于學生而言，能夠引起他們興趣的東西很多，數(shù)學是其中之一，數(shù)學是很有意思的，她有極大的魅力，引人入勝，作為數(shù)學和數(shù)學教育工作者，我們應該盡力吸引更多的學生喜歡數(shù)學，使他們從數(shù)學中得到對將來發(fā)展有用的東西，并能把這些東西用到他們的工作中。當然，對一些對數(shù)學有興趣的有才華的學生，我們希望他們投身到數(shù)學和數(shù)學應用的事業(yè)中，展示他們的才華，為數(shù)學發(fā)展作貢獻。 培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣，是數(shù)學教育面臨的一個巨大的挑戰(zhàn)，在很多國家，不喜歡數(shù)學，甚至討厭數(shù)學的比例在增加，這應該引起數(shù)學和數(shù)學教育工作者的高度重視。,目標變化的意義,視 野 標準要求學生形成“具有一定的數(shù)學視野”?！爸R”是重要的，“見識”更為重要。選修3、4課程目的之一，就是為學生奠定基礎(chǔ)、開闊視野，這只是開始，數(shù)學和數(shù)學教育工作者應該不斷開發(fā)更多新的選修課程。前面，我們用了很大篇幅從不同的角度理解什么是數(shù)學，也是希望教師和學生對數(shù)學有一個比較全面的認識。,目標變化的意義,學 習 習 慣 不同的同學有不同的學習習慣。養(yǎng)成一個適合自身的，好的學習習慣，會提高學習的效率，會自然地保持下去終生受益。 數(shù)學學習有自身的特點，例如，很多人在講解數(shù)學時，喜歡畫圖，總會用最直觀、形象的語言來解釋本質(zhì)的內(nèi)容；有些人在講解抽象數(shù)學概念時，總喜歡選擇一些大家非常熟悉的例子，一下子就會把抽象概念很清晰地表示出來；有些人在教授數(shù)學時，總讓人有一種整體的感覺，來源、過程、結(jié)果、應用等，哪一部分都是不可缺少的，十分自然。用直觀的圖像來表述抽象的概念；用具體的事例來理解一般的事物；不斷地形成整體知識框架；等等。這些都是非常好的“習慣”。 這些好習慣的形成需要長時間的積累，希望同學們自覺、主動的在學習中，成為有心人，形成一些適合自身條件、行之有效的好習慣，改變一些不好的習慣，提高學習效率。,（一）、整體把握課程目標,新課程新在哪？ 從跑道到跑的過程：傳統(tǒng)與變革 課程不再是跑道，而成為跑的過程自身。學習則成為知識創(chuàng)造過程之中的“探險”。 背景：知識就是力量 運用知識創(chuàng)造新的知識、運用知識去解決問題。,（一）、整體把握課程目標,傳統(tǒng) 與 變革（課程） 名詞 動詞 表述 實現(xiàn) 概念 意義 說明 展開 結(jié)論 過程 達到 提高 認識 本領(lǐng) 書本 人本,（二）、整體把握課程 素養(yǎng)和能力,Jan de Lange OECD program Mathematical literacy -ability to use mathematics to solve problems for everyday living and for work and for further study -involves wide range of key competencies (reasoning,communication,modeling,reproduction,connections) In this respect ,mathematical thinking is an important goal of schooling ,to support science ,technology ,economic life and development,（二）、整體把握課程 素養(yǎng)和能力,數(shù)學素養(yǎng) 運用數(shù)學解決日常生活、工作、進一步學習中的問題的能力 包括一系列重要的能力： 推理、交流、建模、知識重構(gòu)、聯(lián)系 在這一方面,數(shù)學思考是教育的重要目標之一.為科技,經(jīng)濟和社會的發(fā)展提供支持和幫助. 還包括：發(fā)現(xiàn)和提出問題、閱讀、整體理解,（二）、整體把握課程 素養(yǎng)和能力,推理：演繹推理、歸納推理（合情推理） 交流：會用數(shù)學的基本語言進行交流，自 然語言、符號語言、圖形語言、圖表語言等。 建模：會把實際問題（或某些數(shù)學問題）轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，會討論數(shù)學的結(jié)果是否符合實際。,（二）、整體把握課程 素養(yǎng)和能力,知識重構(gòu)：幫助、引導學生結(jié)合自己學習和生活的經(jīng)驗，經(jīng)歷某些數(shù)學知識產(chǎn)生、形成、應用的過程。 聯(lián)系：數(shù)學知識之間的聯(lián)系，數(shù)學與其他學科知識之間的聯(lián)系，數(shù)學與日常生活之間的聯(lián)系。 發(fā)現(xiàn)和提出問題：“問題”是數(shù)學的靈魂，“問題”是創(chuàng)造的前提，培養(yǎng)學生的“問題意識”，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)。,（二）、整體把握課程 素養(yǎng)和能力,閱讀：閱讀能力是學生自主學習的基礎(chǔ)，也是提高學生學習能力的主要載體，提高學生的數(shù)學閱讀能力應是數(shù)學教育中的一項基本任務。 整體理解：學習數(shù)學不僅要深入地理解每一個知識，掌握每一種技能，還需要理解所學數(shù)學內(nèi)容的體系、結(jié)構(gòu)和基本脈絡。,（二）、整體把握課程 素養(yǎng)和能力,從素養(yǎng)、能力到數(shù)學方法、技能 通性通法 例如： 模型待定系數(shù)法 變量替換換元法 降冪配方法 消元加減、代入消元 等等，這些都是貫穿初高中課程的方法,（三）、整體把握數(shù)學課程 內(nèi)容,高中數(shù)學課程內(nèi)容的基本脈絡 主線 高中數(shù)學課程內(nèi)容的基本結(jié)構(gòu),一）高中數(shù)學課程內(nèi)容主線,函 數(shù) 幾 何 運 算 算 法 統(tǒng) 計 概 率 應 用,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線函數(shù),高中數(shù)學課程內(nèi)容主線函數(shù),20世紀初，在英國數(shù)學家貝利和德國數(shù)學家克萊因等人的大力倡導和推動下，函數(shù)進入了中學數(shù)學?？巳R因提出了一個重要的思想以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學教育的內(nèi)容，他認為：“函數(shù)概念，應該成為數(shù)學教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學教材集中在它周圍，進行充分地綜合?！?高中數(shù)學課程內(nèi)容主線函數(shù),高中數(shù)學課程設(shè)計中，把函數(shù)作為貫穿整個高中數(shù)學課程始終的主線，這條線將延續(xù)到大學的數(shù)學中，我們知道，大學幾乎所有的專業(yè)都開設(shè)了高等數(shù)學，有文科的高等數(shù)學，有工科的高等數(shù)學，在數(shù)學系中，有數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)、信息與計算專業(yè)、統(tǒng)計數(shù)學專業(yè)，這些專業(yè)開設(shè)了不同高等數(shù)學內(nèi)容的課程，雖然，不同的專業(yè)開設(shè)不同的高等數(shù)學課程，但是，函數(shù)是這些高等數(shù)學課程的一條主線，在數(shù)學系課程中，尤顯突出，例如，數(shù)學分析、復變函數(shù)、實變函數(shù)、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，這些課程都是把函數(shù)作為研究對象。函數(shù)、映射不僅是數(shù)學的基本研究對象，它們的思想滲透到幾乎每一個數(shù)學分支。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線函數(shù),1對函數(shù)的認識 （1）函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型 （2）函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁 對應關(guān)系 （3）函數(shù)是“圖形”關(guān)系,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線函數(shù),以上是認識函數(shù)的三個不同角度，它們可以幫助我們更全面地認識函數(shù)，也是學生在高中階段中應留下的東西。這些對于進一步學習是很重要的。進入大學，在高等數(shù)學的學習中，我們還會學習認識函數(shù)的新的視角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函數(shù)作為一個整體，并討論整體的結(jié)構(gòu)。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線函數(shù),2中學數(shù)學研究函數(shù)的什么性質(zhì) 數(shù)學中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。因為，函數(shù)的變化特征反映了它所刻畫的自然規(guī)律的特征。在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性。 單調(diào)性是在高中階段討論函數(shù)“變化”的一個最基本的性質(zhì)。 在高中數(shù)學課程中，對于函數(shù)這個性質(zhì)的研究分成兩個階段。 第一階段，用運算的性質(zhì)研究單調(diào)性； 第二階段，用導數(shù)的性質(zhì)研究單調(diào)性。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線函數(shù),3具體函數(shù)模型 簡單的冪函數(shù)及其拓展 實際函數(shù)的模型分段函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 數(shù)列,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線函數(shù),4函數(shù)與其他內(nèi)容的聯(lián)系 函數(shù)與方程 函數(shù)與數(shù)列 函數(shù)與不等式 函數(shù)與線性規(guī)劃 函數(shù)與算法,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線函數(shù),總之，在高中課程中，函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、線性規(guī)劃、算法、導數(shù)及其應用，包括概率統(tǒng)計中的隨機變量等，以及選修系列3、4中的大部分專題內(nèi)容，都與函數(shù)有著密切的聯(lián)系。用函數(shù)（映射）的思想去理解這些內(nèi)容，是非常重要的一個出發(fā)點。反過來，通過這些內(nèi)容的學習，可以加深對于函數(shù)思想的認識。實際上，在整個高中數(shù)學課程中，都需要不斷地體會、理解“函數(shù)思想”給我們帶來的“好處”。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線幾何,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線幾何,1. 幾何的教育功能 高中數(shù)學課程中，幾何的作用主要在于培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和推理論證能力。這兩種能力對于學生思維的發(fā)展和對數(shù)學本質(zhì)的理解都是非常重要的。 在高中數(shù)學課程中，幾何是“圖”“文”并茂的內(nèi)容，它把數(shù)學所特有的邏輯思維和形象思維有機地結(jié)合起來。幾何思想主要體現(xiàn)在幾何直觀能力，即把握圖形的能力。幾何直觀能力主要包括空間想象力、直觀洞察力、用圖形語言來思考問題的能力。借助幾何這個載體，可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。但僅僅把幾何作為培養(yǎng)形式推理能力載體的認識是片面的。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線幾何,1. 幾何的教育功能 在中學數(shù)學課程中重視幾何內(nèi)容是我國數(shù)學教育的傳統(tǒng)，也是共識。但是，如何運用幾何思想、把握圖形的能力去學習其它的數(shù)學內(nèi)容，卻沒有引起足夠的重視。在實驗區(qū)聽課時，最令我們感到遺憾的是：教師不太喜歡“畫圖”，講解析幾何時也不畫圖。 事實上，幾何學能夠給我們提供一種直觀的形象，通過對圖形的把握，可以發(fā)展空間想象能力，這種能力是非常重要的，無論是數(shù)學本身、數(shù)學學習本身，還是在其他方面，都是一種基本能力。搞藝術(shù)的人就經(jīng)常說，這種空間想象能力與他們藝術(shù)上的想象能力、藝術(shù)創(chuàng)作能力是一種殊途同歸的感覺。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線幾何,2中學幾何研究的對象 中學幾何主要是研究圖形的位置關(guān)系和度量的。最基本的幾何圖形是點、線、面，由線可圍成平面圖形，由面可圍成幾何體。中學幾何研究的圖形可分為兩類，一類是直邊或直面圖形，例如，直線，由直線圍成的三角形，由平面圍成的四面體、長方體等；另一類是曲邊或曲面圖形，例如，圓，球等。在中學幾何中，基本幾何圖形點、線、面之間的位置關(guān)系主要有平行、垂直、包含（如點在直線上，線在平面內(nèi)，線與線、面與面重合等），由基本圖形圍成的平面圖形之間的關(guān)系主要有全等、相似、位似等。圖形的度量主要有夾角、長度、面積、體積等。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線幾何,3幾何研究圖形的方法 中學幾何研究圖形的方法主要有：綜合幾何的方法，解析法，向量幾何的方法，函數(shù)的方法等。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線幾何,4幾何內(nèi)容的設(shè)計 幾何課程的設(shè)計分為兩部分。一部分是將“把握圖形”的能力作為指導思想，貫穿在整個數(shù)學課程的始終。另一部分是設(shè)計了相應的幾何內(nèi)容。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線運算,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線運算,對數(shù)學最樸實的理解是：數(shù)學就是“算”，即“運算”?！斑\算”包括兩方面，一個是“運算的對象”，一個是“運算的規(guī)律”。“數(shù)”、“字母”（代數(shù)式）、“指數(shù)”、“對數(shù)”、“三角函數(shù)”、“向量”等等都是運算對象。“結(jié)合律”、“a+(-a)=0”（即加一項，減一項）、“交換律”、各種“分配律”等等都是運算規(guī)律。“運算”幾乎滲透到數(shù)學的每一個角落，運算是貫穿數(shù)學的基本脈絡，是貫穿數(shù)學課程的主線，在高中數(shù)學課程中，發(fā)揮著不可替代的作用。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線運算,1對運算的認識 運算是數(shù)學學習的一個基本內(nèi)容。運算對象的不斷擴展是數(shù)學發(fā)展的一條重要線索。 從數(shù)的運算到字母運算，是運算的一次跳躍。 從數(shù)的運算，到向量運算，是認識運算的又一次跳躍。 在以后的學習中，運算對象還要進一步拓展。上述種種運算的學習，為學生今后進一步學習其它數(shù)學運算，體會數(shù)學運算的意義以及運算在建構(gòu)數(shù)學系統(tǒng)中的作用，奠定了基礎(chǔ)。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線運算,2運算的作用 （1）運算與推理 （2）運算與算法 （3）運算與恒等變形,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線運算,3運算內(nèi)容的設(shè)計 在高中數(shù)學課程中，主要有幾部分內(nèi)容集中的介紹了運算：指數(shù)運算；對數(shù)運算；三角函數(shù)運算；向量運算，包括平面向量和空間向量；復數(shù)運算；導數(shù)運算；等等。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線 算法時代性,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線 算法時代性,算法也是設(shè)計高中數(shù)學課程的一條主線。有三方面的問題應該特別注意：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。 算法教學應該采用“案例教學”，從具體的學生熟悉的實例出發(fā)，在具體的情境中、在處理具體問題過程中，使學生理解：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線 算法時代性,1算法的作用 （1）算法學習能夠幫助學生清晰思考問題、提高邏輯思維能力 （2）算法學習有助于學生全面的理解運算 （3）算法學習有助于提高學生的信息素養(yǎng),高中數(shù)學課程內(nèi)容主線 算法時代性,2算法的基本思想 算法的基本思想是指按照確定的步驟，一步一步去解決某個問題的程序化思想。在數(shù)學中，完成每一件工作，例如，計算一個函數(shù)值，求解一個方程，證明一個結(jié)果，等等，我們都需要有一個清晰的思路，一系列的步驟，一步一步地去完成，這就是算法的思想，即程序化的思想。以前，在高中數(shù)學課程中沒有給出“算法”這個名詞，但是，我們卻熟悉許多問題的算法，一直在利用算法的思想。例如，我們知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式，一元二次不等式的算法，求解線性方程組的算法，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的算法，等等。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線 算法時代性,3算法的基本結(jié)構(gòu) （1）順序結(jié)構(gòu); （2）分叉（選擇）結(jié)構(gòu); （3）循環(huán)結(jié)構(gòu)。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線 算法時代性,4算法的基本語句 輸入輸出語句 條件語句 循環(huán)語句,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線 算法時代性,5算法內(nèi)容的設(shè)計 在高中數(shù)學課程中，算法內(nèi)容的設(shè)計分為兩部分。 一部分主要介紹算法的基礎(chǔ)知識，可以稱作算法的“三基”：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。 另一部分是把算法的思想融入相關(guān)數(shù)學內(nèi)容中。,高中數(shù)學課程主線統(tǒng)計概率,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線統(tǒng)計概率,目前我們的社會已經(jīng)進入了信息時代，信息的主要載體是數(shù)據(jù)。收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取有用信息、利用數(shù)據(jù)中的信息說明問題等等，這些已經(jīng)成為人們的基本素質(zhì)和能力。這些變化必然會直接影響到數(shù)學課程的設(shè)置。概率與統(tǒng)計是在1958年前后，進入中國大學數(shù)學課程。幾經(jīng)反復，到了文化革命以后，概率與統(tǒng)計在大學數(shù)學課程中，站住了腳，同時，也滲透到其它相關(guān)學科中，在大學，相當多的專業(yè)都需要開設(shè)統(tǒng)計概率課程，例如，在生物學科中，學習統(tǒng)計也成為了重要的課程。這是一個重大的變化。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線統(tǒng)計概率,在傳統(tǒng)的大學概率統(tǒng)計課程中，概率的分量大于統(tǒng)計，或者說在這些課程中是重概率。隨著時代的發(fā)展，統(tǒng)計在社會發(fā)展中的作用越來越大，在大學的概率統(tǒng)計課程又發(fā)生了新的變化，近年來，在數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)中，統(tǒng)計概率課已經(jīng)成為基礎(chǔ)課，它與數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、普通物理、數(shù)學建模、計算機基礎(chǔ)都成為基礎(chǔ)課。在概率統(tǒng)計課程中，課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化，統(tǒng)計的分量大大的加強了。 這種變化也影響到了中小學的課程，現(xiàn)在中小學的課程中統(tǒng)計概率的內(nèi)容大大的增加，這已經(jīng)成為國際中小學數(shù)學課程發(fā)展的趨勢。,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線統(tǒng)計概率,數(shù)據(jù)處理的能力 統(tǒng)計注重過程 統(tǒng)計采用的案例的教學方式 統(tǒng)計是一種歸納的思維 隨機的思想 統(tǒng)計中的隨機思想,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線 應用時代性,高中數(shù)學課程內(nèi)容主線 應用時代性,對于高中課程中數(shù)學的應用，可以分成三個層次來理解，分別是：知識的背景和對實際問題的數(shù)學描述；對數(shù)學模型的認識和在實際中的直接應用；經(jīng)歷數(shù)學建模的過程。,（二）整體把握課程結(jié)構(gòu),高中課程基本結(jié)構(gòu) 必修內(nèi)容的基本結(jié)構(gòu) 必修與選修系列1內(nèi)容的基本結(jié)構(gòu) 必修與選修系列2內(nèi)容的基本結(jié)構(gòu) 選修系列3內(nèi)容的基本結(jié)構(gòu) 選修系列4內(nèi)容的基本結(jié)構(gòu),（二）數(shù)學課程標準的結(jié)構(gòu),數(shù)學課程標準的結(jié)構(gòu),選擇性與系統(tǒng)性 （1）“體系”是數(shù)學課程的一個基本要求 在學習高中課程時，應該了解高中課程設(shè)計的原則。不同的設(shè)計原則，得到的課程體系就不同，以選擇性作為前提，我們就會有一種設(shè)計。如果沒有選擇性，會得到另一種設(shè)計。我們現(xiàn)在所學的課程，就是以選擇性作為前提來設(shè)計的。在理解我們整個數(shù)學課程時，應該對選擇性有一個充分的認識。,數(shù)學課程標準的結(jié)構(gòu),選擇性與系統(tǒng)性 （2）學習數(shù)學是“線性序” 、數(shù)學內(nèi)容不是“線性序” 我們從義務教育開始就按照一定的順序來學習數(shù)學。例如，我們在小學學習了自然數(shù)，接著學習了自然數(shù)的加、減、乘等運算，它們之間有著嚴格的順序關(guān)系。然而，對于有些數(shù)學內(nèi)容而言，目的不同決定不同的順序。例如，在我們以后要學習的導數(shù)這部分，極限理論和導數(shù)及其應用就沒有先后的順序關(guān)系，我們可以先學習極限理論，然后，用極限理論去認識一種重要、特殊的極限導數(shù)，現(xiàn)在，數(shù)學系的課程數(shù)學分析就是這樣安排的；我們也可以先從重要、特殊的極限導數(shù)入手，理解這種特殊極限的意義、作用、應用，把它作為認識極限理論的一個階梯，現(xiàn)在，高中課程標準就是這樣安排的。當然，不同的順序會有不同的學習過程，數(shù)學的內(nèi)容本身存在內(nèi)在的聯(lián)系，但是這不影響我們學習數(shù)學的過程。在整個高中課程的學習過程中，要特別注意這個問題。,數(shù)學課程標準的結(jié)構(gòu),學生選課建議 有意識的發(fā)現(xiàn)、培養(yǎng)自己的興趣 選修課的設(shè)置就是希望從不同的角度激發(fā)同學們學習數(shù)學的興趣，希望數(shù)學能為同學們的發(fā)展提供幫助，這是數(shù)學工作者的最高追求。我們將會想方設(shè)法努力，讓數(shù)學課程更有吸引力。也希望同學們努力發(fā)現(xiàn)、培養(yǎng)自己對數(shù)學的興趣。,數(shù)學課程標準的結(jié)構(gòu),學生選課建議 有意識的發(fā)現(xiàn)、培養(yǎng)自己的特長 特長和興趣是有聯(lián)系，又有區(qū)別的。在數(shù)學學習中，有的學生善于計算，“數(shù)感”非常好，善于發(fā)現(xiàn)“數(shù)、式”中的規(guī)律；有的學生圖形想象力非常強，善于發(fā)現(xiàn)“圖形”中的規(guī)律；有的學生對數(shù)據(jù)有明銳的感覺，善于發(fā)現(xiàn)“數(shù)據(jù)”中的有用信息；等等。每個人都有特長，不同的人特長不同，有一些人不知道自己的特長所在，這也是個缺憾。,必修課程知識結(jié)構(gòu),選修3結(jié)構(gòu)定位,選修系列3的六個專題可以按照以下方式進行分類： 文化類： 選修3-1 數(shù)學史選講 代數(shù)類： 選修3-6 三等分角與數(shù)域擴充 選修3-4 對稱與群 幾何類： 選修3-3 球面幾何 選修3-5 歐拉公式與閉曲面分類 應用類： 選修3-2 信息安全與密碼,選修3結(jié)構(gòu)定位,“系列3和系列4是為對數(shù)學有興趣和希望進一步提高數(shù)學素養(yǎng)的學生設(shè)置的，所涉的內(nèi)容都是數(shù)學的基礎(chǔ)性內(nèi)容，反映了某些重要的數(shù)學思想。有些專題是中學課程某些內(nèi)容的延伸，有些專題是通過典型實例介紹數(shù)學的一些應用方法。這些專題的學習有利于學生的終身發(fā)展，有利于擴展學生的數(shù)學視野，有利于提高學生對數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值的認識，有助于學生進一步打好數(shù)學基礎(chǔ)，提高應用意識?！?“專題力求深入淺出、通俗易懂，進一步提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，讓學生掌握和體會一些重要的概念、結(jié)論和思想方法，體會數(shù)學的作用，發(fā)展應用意識?！?選修3結(jié)構(gòu)定位,在系列3教學中應該注意的幾個問題： 系列3是基礎(chǔ)。系列3不是學習大學數(shù)學的預備課程，也不是為將來準備進入數(shù)學系學習的學生做準備。 在系列3的教學中，應該把重點放在介紹基本的數(shù)學思想。 在系列3的教學中，要不斷地開發(fā)資源，把難的東西變?nèi)菀?，用具體來反映一般，用直觀來反映抽象。 系列3課程是不進入高考的課程，但是學習這部分課程對于提高數(shù)學素養(yǎng)、培養(yǎng)學生解決問題的能力和激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣是十分有用的。各個學?？梢园凑崭髯缘那闆r有選擇性地逐步開設(shè)這些專題。下面我們按專題介紹：背景，知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位，重、難點定位，教學要求，參考文獻等。,數(shù)學史選講,“數(shù)學史選講”是希望告訴學生數(shù)學發(fā)展的一個基本的脈絡，選擇了數(shù)學歷史發(fā)展中一些重要的事件、成果作為線索，介紹一些偉大的數(shù)學家的貢獻和奮斗人生。,數(shù)學史選講,球面上的幾何,對球面上的幾何，顧名思義，討論“球面上圖形的性質(zhì)”，我們學過平面幾何，這兩種幾何有什么相同，有什么不同？球面上的幾何有什么用處？“球面上的幾何”這一專題主要就討論這些問題。,球面上的幾何,信息安全與密碼,在“信息時代”，傳送信息時對保密的要求越來越大。在“信息安全與密碼”中，將告訴學生一些基本的數(shù)學原理，學生可以通過操作，進一步了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。,信息安全與密碼,對稱與群,“對稱”是日常生活中常用的詞，特別在生活中有很多“對稱的”很漂亮的圖形，這些對稱圖形不相同，如何對它們加以區(qū)別？這些對稱圖形中蘊涵了什么數(shù)學思想方法？“對稱”有什么用處？“對稱與群”專題將討論這些問題。,對稱與群,歐拉公式與閉曲面分類,歐拉是最偉大的數(shù)學家之一，他的成就非常豐富，多面體的歐拉公式就是其中之一。四面體、長方體等都是多面體，歐拉發(fā)現(xiàn)了：這些圖形的“面數(shù)減去棱數(shù)再加上頂點數(shù)等于2”，并且他給出了很好的證明。這是很有趣的，它反映了這些圖形曲面的性質(zhì)。那么，是否還有其他圖形也有這樣的性質(zhì)？是否所有多面體的曲面都有這樣的性質(zhì)？等等?！皻W拉定理與閉曲面分類”這個專題將回答這些問題。,歐拉公式與閉曲面分類,三等分角與數(shù)域擴充,“用尺規(guī)可以三等分角嗎？”這是學生都想了解的一個問題。在“三等分角與數(shù)域擴充”這個專題中，將引導學生一步一步地解決這個問題。學生會發(fā)現(xiàn)，解決這樣問題與做習題不大一樣，其中蘊涵著一種思考方法，不論是否專門學習數(shù)學，這種思考問題的方法都是很有用的。,三等分角與數(shù)域擴充,選修4結(jié)構(gòu)定位,選修系列4的十個專題可以按照以下方式進行分類： 代數(shù)類： 選修4-5 不等式選講 選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 選修4-6 初等數(shù)論初步 幾何類： 選修4-2 矩陣與變換 選修4-1 幾何證明選講 分析類： 選修4-3 數(shù)列與差分 應用類： 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步 選修4-10開關(guān)電路與布爾代數(shù) 選修4-9 風險與決策 選修4-8 統(tǒng)籌法與圖論初步,選修4結(jié)構(gòu)定位,在系列4教學中應該注意的幾個問題是： 系列4是基礎(chǔ)，系列4不是學習大學數(shù)學的預備課程，也不是為將來準備進入數(shù)學系學習的學生做準備。 在系列4的教學中，應該把重點放在介紹基本的數(shù)學思想。 在系列4的教學中，要不斷地開發(fā)資源，把難的東西變?nèi)菀祝镁唧w來反映一般，用直觀來反映抽象。 系列4課程是進入高考的課程，學習這部分課程對于提高數(shù)學素養(yǎng)、培養(yǎng)學生解決問題的能力和激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣是十分有用的。各學?？梢园凑崭髯缘那闆r有選擇性地逐步開設(shè)這些專題。,幾何證明選講,幾何課程是數(shù)學課程的主要內(nèi)容，也是中小學數(shù)學課程的主要內(nèi)容。在高中必修課程中，我們設(shè)置了立體幾何初步、解析幾何初步、平面向量等幾何課程的內(nèi)容，在選修1、2課程中，我們設(shè)置了圓錐曲線、空間向量與立體幾何等幾何課程內(nèi)容。 在本專題中，我們是在義務教育數(shù)學課程學習的基礎(chǔ)上，設(shè)置了兩部分的內(nèi)容。一部分內(nèi)容是以直線與圓的關(guān)系為載體，利用相似的理論，討論圓與直線的位置關(guān)系，及其位置關(guān)系中的一些幾何結(jié)果。這部分內(nèi)容可以成為一個相對獨立的體系，對于提高學生的邏輯推理能力會發(fā)揮一些作用。在另一部分內(nèi)容中，我們利用綜合幾何的方法，依托錐面與平面的關(guān)系，討論它們所截得的曲線的幾何特征，即討論圓錐曲線的基本性質(zhì)。,幾何證明選講,不等式選講,恒等關(guān)系和不等關(guān)系是數(shù)學中兩種基本的關(guān)系，也是中小學數(shù)學課程的基本內(nèi)容，這些內(nèi)容都是依托不同運算對象的運算規(guī)律來完成的。在高中必修課程中，我們設(shè)置了有關(guān)不等式和簡單線性規(guī)劃的內(nèi)容。 本專題在義務教育課程的基礎(chǔ)上，進一步討論了不等式的基本性質(zhì)和基本不等式；絕對值不等式及其幾何意義，并利用絕對值不等式的幾何意義證明和求解一些絕對值不等式；認識柯西不等式的幾種不同形式及其幾何意義，用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況；用向量遞歸方法討論排序不等式；了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題；會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式；會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值；通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。,不等式選講,坐標系與參數(shù)方程,解析幾何有兩個核心概念，一個是坐標系，一個是在坐標系中建立曲線與方程的關(guān)系。在義務教育階段和高中必修課程中，主要學習直角坐標系，并在直角坐標系中討論了直線、圓、圓錐曲線，及其這些曲線與方程的關(guān)系。 本專題將在義務教育課程的基礎(chǔ)上，介紹極坐標系、柱坐標系、球坐標系等內(nèi)容，在這些坐標系中討論簡單曲線（直線、圓、圓錐曲線、擺線等）與它們方程的關(guān)系。,坐標系與參數(shù)方程,矩陣與變換,在義務教育階段我們學習了幾種重要的幾何變換，例如，反射變換，旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，放縮變換等。 本專題在義務教育的基礎(chǔ)上，介紹反映上述變換的代數(shù)表達形式二階矩陣，把二階矩陣看作表示變換的工具，二階矩陣把平面上的每一個點或每一個向量變成平面上另一個點或一個向量。在這里，矩陣就是映射。我們討論了反映變換的矩陣的基本性質(zhì)及其幾何意義、在討論問題中的作用。對于矩陣來說，既可以把它看作一個代數(shù)的研究對象，從運算的角度來討論它；矩陣又可以看作描述幾何變換的對象。在本專題中，我們更強調(diào)矩陣的幾何背景和在討論幾何問題中的作用。,矩陣與變換,數(shù)列與差分,函數(shù)是數(shù)學中一類重要的對象，對于可導的函數(shù)，導數(shù)和微分是研究這些函數(shù)的基本工具。數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，有時也稱為“離散”的函數(shù)，差分是研究這一類函數(shù)的工具。 本專題在義務教育學習的基礎(chǔ)上，利用差分工具討論了一些簡單數(shù)列的規(guī)律，例如，等差數(shù)列、等比數(shù)列以及一階差分數(shù)列。初步體會研究數(shù)列這樣的離散函數(shù)的思想方法。,數(shù)列與差分,初等數(shù)論初步,整數(shù)有加、減、乘、除的運算，整數(shù)除法是大家熟悉的運算。本專題的第一個重要概