微分方程數(shù)值解第一章答案.ppt

1,北京中國地質(zhì)大學(xué) China University of Geosciences，Beijing,微分方程數(shù)值解法,教材： 微分方程數(shù)值方法 (第二版)， 胡健偉,湯懷民著, 科學(xué)出版社, 2007,2,參考書: 微分方程數(shù)值解法 李榮華等編, 高教出版社,2,參考書: 微分方程數(shù)值解法 李榮華等編, 高教出版社 課堂授課+計算實驗 考核方式: 平時作業(yè)+課堂+期末考試 任課教師,3,第一章、常微分方程的數(shù)值解法 第二章、橢圓型方程的差分方法 第七章、橢圓型方程的有限元方法 第四章、拋物型方程的差分方法 第五章、雙曲型方程的差分格式,教學(xué)內(nèi)容,第一章 基本概念,4,第一章 常微分方程初值問題 的數(shù)值解法,教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)重點 教學(xué)過程,5,教學(xué)目標(biāo),了解ODE數(shù)值解法的基本內(nèi)容, 掌握Euler法和線性多步方法, 會判斷常用方法的優(yōu)劣之處.,第一章 基本概念,6,教學(xué)重點,基本概念和Euler法 線性多步方法 穩(wěn)定性,第一章 基本概念,7,教學(xué)過程,常微分方程基本概念 常微分方程初值問題 Euler法及其基本問題 線性多步方法 數(shù)值穩(wěn)定性 Runge-Kutta方法,8,1: 常微分方程的基本概念,微分方程: 常微分方程和偏微分方程 階 解，通解和特解 定解問題: 初值問題和邊值問題,9,常微分方程,偏微分方程,聯(lián)系著自變量, 未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(微分)的方程, 稱為微分方程 .,:未知函數(shù)是一元函數(shù),分類,微分方程: 常微分方程和偏微分方程,:未知函數(shù)是多元函數(shù),10,方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.,一階微分方程,三階微分方程,一階微分方程,例如：,微分方程的階,11, 是使方程成為恒等式的函數(shù).,通解, 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程,的階數(shù)相同.,特解,微分方程的解, 不含任意常數(shù)的解.,（微分方程的絕大部分解）,解, 通解, 特解,12, 確定通解中任意常數(shù)的條件.,1) n 階方程的初始條件(或初值條件):,定解條件,定解條件: 初值問題和邊值問題,2) n 階方程的邊界條件(或邊值條件):,13,2 初值問題：標(biāo)量形式,考慮一階常微分方程初值問題：,存在性：f(t,u)在定義域上連續(xù),唯一性：f(t,u)關(guān)于u滿足Lipschitz條件,14,常微分方程來源舉例1,問題1.1 上上世紀(jì)初英國物理學(xué)家Rutherford發(fā)現(xiàn)放射性元素的原子是不穩(wěn)定的,在每一段時間內(nèi)總有一定比例的原子自然衰變而形成新元素的原子. 記t時刻放射性物質(zhì)的原子數(shù)為x(t), 據(jù)觀測單位時間內(nèi)衰變原子的個數(shù)x與當(dāng)時放射性原子數(shù)x(t)之比為常數(shù)a. 考慮到放射過程中 x0, 因此a0為負(fù)實數(shù). 這時有方程,15,問題1.2 世界上生物種類多種多樣, 對特定生物種群的數(shù)量進(jìn)行預(yù)測,是制定對該生物實施保護(hù)還是控制的依據(jù). 設(shè)t時刻某種群的數(shù)量為x(t),單位時間內(nèi)種群數(shù)量的增加量 x和當(dāng)時數(shù)量的比值為a-bx(t),其中a, b0為常數(shù). 這樣得到方程,常微分方程來源舉例2,Logistic方程,16,問題1.3 并不是所有的方程可以用初等積分法求出其解, 例如形式上很簡單的里卡蒂(Riccati)方程,常微分方程舉例3,不能用初等函數(shù)表示通解.,尋求方程非解析函數(shù)的其它形式解, 顯得非常必要。而數(shù)值求解就是其重要的一個方法,17,2 Euler方法,18,計算在離散點（節(jié)點）的值，有,這就是Euler法的計算公式,19,舉例1,利用Euler方法計算初值問題,的解在t=0.3處的數(shù)值解.步長h=0.1,解: Euler公式為:,20,舉例2,P55 習(xí)題1 利用Euler方法求數(shù)值解,步長h=0.1, 解區(qū)間0,1,繪制折線，與真解比較,21,Matlab實現(xiàn) u=null(1);h=0.1;u0=1; u(1)=u0+h*0.5*u0; for n=1:9 u(n+1)=u(n)+h*0.5*u(n); end t=0:0.1:1;un=u0,u； plot(t,un,ro,Linewidth,2) ut=exp(0.5*t); hold on plot(t,ut,Linewidth,2),22,0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1,精確解ut,數(shù)值解un,節(jié)點 ti,1.0000 1.0500 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763 1.3401 1.4071 1.4775 1.5513 1.6289,1.0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683 1.6487,23,Euler方法的三種解釋,數(shù)值微分：用差商來代替導(dǎo)數(shù) 數(shù)值積分：把微分方程變成積分方程 冪級數(shù)展開：將u(t+h) 在t 做Taylor展開,24,截斷誤差(局部、整體) 相容性 收斂性 穩(wěn)定性,數(shù)值方法的基本問題,25,局部截斷誤差,設(shè)u(t)是初值問題(1)的解, 在t,t+h上定義算子,那么, R(t, u;h)稱為局部截斷誤差,如果t=tn,局部截斷誤差也記為,此時,26,整體截斷誤差,設(shè)u(t)是初值問題(1)的解, un是(2)的解,定義算子,那么, n稱為整體截斷誤差,與局部截斷誤差不同, 此時,未必成立, 且一般,27,截斷誤差,局部截斷誤差Rn：假設(shè)第n步精確計算的前提下，計算解un+1和精確解u(tn+1)的誤差 整體截斷誤差n：在考慮誤差累積的效應(yīng)下，計算解un和精確解u(tn)的誤差,28,相容性和相容的階,相容性針對的是建立差分格式時由差商代替微商所引起的局部截斷誤差. q階相容: 若一個離散變量方法的局部截斷誤差對任意n滿足：,29,收斂性與收斂的階,收斂性研究的是誤差累積產(chǎn)生的整體截斷誤差. 收斂：對任意的t(t0,T ，成立 若此時，整體截斷誤差滿足 則稱方法的收斂為p階的,30,穩(wěn)定性,在利用公式(2)計算數(shù)值解的過程中,難免有舍入誤差.穩(wěn)定性就是討論舍入誤差是否會隨著計算無限擴(kuò)大地傳遞下去. 數(shù)值方法穩(wěn)定性指對初始誤差的連續(xù)依賴性,以線性k步方法為例，即為存在常數(shù)C和h00,使得當(dāng)h(0,h0 時 這里常數(shù)C不依賴于h。通常這里定義的穩(wěn)定性指 h0 情況下的穩(wěn)定性。,31,Eular方法的性質(zhì),相容性 (1階) 收斂性 (1階) 穩(wěn)定性 絕對穩(wěn)定區(qū)域,32,總結(jié)：基本步驟, 解差分方程，求出格點函數(shù), 對區(qū)間作分割：,求 y(x) 在xi 上的近似值yi。, 由微分方程出發(fā)，建立求格點函數(shù)的差分方程。 這個方程應(yīng)該滿足：,A、解存在唯一；B、穩(wěn)定，收斂；C、相容,目的,關(guān)鍵,33,為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實用價值， 需要知道如下幾個結(jié)論：, 步長充分小時，所得到的數(shù)值解能否逼近 問題得真解；即收斂性問題, 誤差估計,產(chǎn)生得舍入誤差，在以后得各步計算中，是否會 無限制擴(kuò)大；穩(wěn)定性問題,34,數(shù)值求解微分方程過程示意,微分方程,區(qū)域剖