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第六節(jié) 對坐標的曲面積分,一、基本概念,觀察以下曲面的側 (假設曲面是光滑的),曲面分上側和下側,曲面分內側和外側,（非封閉曲面）,（封閉曲面）,決定了側的曲面稱為有向曲面.,有向曲面的側是由曲面法向量的指向決定的.,曲面的投影問題:（計算對坐標的曲面積分時要把曲面積分化成二重積分，涉及曲面在坐標面上的投影問題）,分別是曲面在點（x,y,z)的法線向量與X，Y，Z軸正向的夾角,類似地有：,其中,二、概念的引入,實例: 流向曲面一側的流量.,1. 分割,則該點流速為 .,法向量為 .,2. 求和,3.取極限,被積函數(shù),積分曲面,類似可定義,常用的形式是組合形式:,對坐標的曲面積分存在的充分條件:,對坐標的曲面積分的物理意義:,的穩(wěn)定的密度為1的不可壓縮流體在單位時間內流向 指定側的流量,表示流速為,性質:,計算時把曲面積分化成二重積分：,一。將曲面 投影到XOY坐標面上；,二。將被積函數(shù)中的z用曲面方程 代替。,如果 是曲面的下側，則有：,例：教材 P.203 2.,四、計算法,注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側.,（前側為正，后側為負）,（右側為正，左側為負）,解,五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,如果設曲面過點(x,y,z) 的法線向量與x,y,z軸正向的 夾角分別為,則有：,兩類曲面積分之間的聯(lián)系為,與兩類曲線積分之間的聯(lián)糸：,相比較，兩者有什么不同？,兩類曲面積分之間的聯(lián)系：,復合形式,應如何計算？,逐個計算當然可以，但要將曲面投影在三個不同的坐標面上，比較麻煩。,注意到：,且當,時，（,因此有：,時變號）,這樣可將三個曲面積分簡化成一個曲面積分統(tǒng)一計算,同理還有：,原式,解：原式=,=,=,=,例：P.203 3.（3）,例：P.203 3.（4）,對坐標的曲線積分和對坐標的曲面積分，一般不用變量的奇偶性和區(qū)域的對稱性來簡化計算。,本題涉及的是另一種形式的對稱性，各變量在曲面積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域

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