四川高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線及方程第5課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)同步測試新人教A版選修.docx

第5課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)達標(biāo)(水平一 )1.雙曲線9y2-16x2=144的漸近線方程為().A.y=xB.x=yC.y=xD.x=y【解析】令9y2-16x2=0,可得漸近線方程為y=x.【答案】C2.若雙曲線-=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=r2(r0)相切,則r等于().A.B.2C.3D.6【解析】由題可知,雙曲線的漸近線方程為y=x,圓的圓心為(3,0).由題意得圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=.【答案】A3.對于方程-y2=1和-y2=(0且1)所分別表示的雙曲線有如下結(jié)論:有相同的頂點;有相同的焦點;有相同的離心率;有相同的漸近線.其中正確結(jié)論的序號是().A.B.C.D.【解析】對于方程-y2=1,a=2,b=1,c=;對于方程-y2=,a=2,b=,c=.顯然a,b,c分別是a,b,c的倍,因此有相同的離心率和漸近線.【答案】C4.已知m,n為兩個不相等的非零實數(shù),則方程mx-y+n=0與nx2+my2=mn所表示的曲線可能是().【解析】由題意,方程可化為y=mx+n和+=1,B,D選項中,兩橢圓中m0,n0,但直線中m0,m0,矛盾;C選項中,雙曲線中m0,n0,n0,b0),若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點分別為雙曲線E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則雙曲線E的離心率是.【解析】假設(shè)點A在第一象限,點B在第四象限,則A,B,所以|AB|=,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得離心率e=2或e=-(舍去),所以雙曲線E的離心率為2.【答案】26.已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左,右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圓(x+c)2+y2=4c2與雙曲線C位于x軸上方的兩個交點,且F1AF2B,則雙曲線C的離心率為.【解析】由雙曲線定義得AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因為F1AF2B,所以cosF2F1A=-cosF1F2B,再利用余弦定理得=-,化簡得2e2-3e-1=0,又e1,所以e=.【答案】7.已知雙曲線的中心在原點,離心率為2,一個焦點F是(-2,0).(1)求雙曲線的方程;(2)設(shè)Q是雙曲線上一點,且過點F,Q的直線l與y軸交于點M,若|=2|,求直線l的方程.【解析】(1)由題意可設(shè)所求的雙曲線方程為-=1(a0,b0),e=2,c=2,a=1,b=,所求的雙曲線方程為x2-=1.(2)直線l與y軸相交于點M且過焦點F(-2,0),直線l的斜率一定存在.設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),令x=0,得點M(0,2k).|=2|且M,Q,F三點共線于l,=2或=-2.當(dāng)=2時,xQ=-,yQ=k,Q.又點Q在雙曲線x2-=1上,-=1,k=.當(dāng)=-2時,同理可將點Q(-4,-2k)代入雙曲線方程,得16-=1,k=,故所求直線l的方程為y=(x+2)或y=(x+2).拓展提升(水平二)8.已知離心率為e的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點F1,F2,P是兩曲線的一個公共點,若F1PF2=,則e等于().A.B.C.D.3【解析】由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2c|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=8c2,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2,從而解得|PF1|PF2|=c2(|PF1|-|PF2|)2=8c2-4a2=e=.故選A.【答案】A9.中心在坐標(biāo)原點,離心率為的雙曲線的焦點在y軸上,則它的漸近線方程為().A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】=,=,=,=,=.又雙曲線的焦點在y軸上,雙曲線的漸近線方程為y=x,故所求雙曲線的漸近線方程為y=x.【答案】D10.已知雙曲線-=1(b0)的左、右焦點分別是F1、F2,其一條漸近線方程為y=x,點P(,y0)在雙曲線上,則=.【解析】由漸近線方程為y=x知,=1,即b=,因為點P(,y0)在雙曲線上,所以y0=1.當(dāng)y0=1時,P(,1),F1(-2,0),F2(2,0),所以=0;當(dāng)y0=-1時,P(,-1),=0.【答案】011.已知雙曲線C:-y2=1,P是C上的任意一點.(1)求證:點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù).(2)若點A的坐標(biāo)為(3,0),求|PA|的最小值.【解析】(1)設(shè)P(x1,y1)是C上任意一點,由題可知,雙曲線的兩條漸近線方程分別是x-2y=0和x+2y=0.所以點P(x1,y1)到兩條漸近線的距離分別是和,所以=.故點P到雙曲線C的兩條漸近線的距