2020版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.1等差數(shù)列（第1課時(shí)）等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式學(xué)案.docx

第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的定義.2.會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡單的問題.3.掌握等差中項(xiàng)的概念知識點(diǎn)一等差數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，可正可負(fù)可為零知識點(diǎn)二等差中項(xiàng)的概念如果三個(gè)數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x與y的等差中項(xiàng)，且A.思考下列所給的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的數(shù)分別為(1)3，(2)2，(3)0，(4).知識點(diǎn)三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若一個(gè)等差數(shù)列an，首項(xiàng)是a1，公差為d，則ana1(n1)d.此公式可用疊加法證明1數(shù)列4,4,4，是等差數(shù)列()2數(shù)列3,2,1是等差數(shù)列()3數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an則an是等差數(shù)列()4等差數(shù)列an中，a1，n，d，an任給三個(gè)，可求其余()題型一等差數(shù)列的概念例1判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？(1)9,7,5,3，2n11，；(2)1,11,23,35，12n13，；(3)1,2,1,2，；(4)1,2,4,6,8,10，；(5)a，a，a，a，a，.解由等差數(shù)列的定義得(1)(2)(5)為等差數(shù)列，(3)(4)不是等差數(shù)列反思感悟判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷從第二項(xiàng)起該數(shù)列的每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)的差是否為同一個(gè)常數(shù)，但當(dāng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)較多或是無窮數(shù)列時(shí)，逐一驗(yàn)證顯然不行，這時(shí)可以驗(yàn)證an1an(n1，nN)是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n5(nN)，則此數(shù)列()A是公差為2的等差數(shù)列B是公差為5的等差數(shù)列C是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D是公差為n的等差數(shù)列答案A解析an1an2(n1)5(2n5)2，an是公差為2的等差數(shù)列題型二等差中項(xiàng)例2在1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c，使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列解1，a，b，c，7成等差數(shù)列，b是1與7的等差中項(xiàng)，b3.又a是1與3的等差中項(xiàng)，a1.又c是3與7的等差中項(xiàng)，c5.該數(shù)列為1,1,3,5,7.反思感悟在等差數(shù)列an中，由定義有an1ananan1(n2，nN)，即an，從而由等差中項(xiàng)的定義知，等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練2若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5，求m和n的等差中項(xiàng)解由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m2n8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5，得2mn10.兩式相加，得3m3n18，即mn6.所以m和n的等差中項(xiàng)為3.題型三等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用例3在等差數(shù)列an中，(1)若a515，a1739，試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng)(2)若a211，a85，求a10.解(1)因?yàn)榻獾盟詀n72(n1)2n5.令2n591，得n43.因?yàn)?3為正整數(shù)，所以91是此數(shù)列中的項(xiàng)(2)設(shè)an的公差為d，則解得an12(n1)(1)13n，所以a1013103.反思感悟根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系，列出方程求解的思想方法，稱為方程思想等差數(shù)列an中的每一項(xiàng)均可用a1和d表示，這里的a1和d就像構(gòu)成物質(zhì)的基本粒子，我們可以稱為基本量跟蹤訓(xùn)練3(1)求等差數(shù)列8,5,2，的第20項(xiàng)；(2)判斷401是不是等差數(shù)列5，9，13，的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？解(1)由a18，a25，得da2a1583，由n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an5(n1)(4)4n1.由題意，令4014n1，得n100，即401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)等差數(shù)列的判定與證明典例1已知數(shù)列an滿足an13an3n，且a11.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明由an13an3n，兩邊同時(shí)除以3n1，得，即.由等差數(shù)列的定義知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知(n1)，故ann3n-1，nN.典例2已知數(shù)列an：a1a21，anan12(n3)(1)判斷數(shù)列an是否為等差數(shù)列？說明理由；(2)求an的通項(xiàng)公式解(1)當(dāng)n3時(shí)，anan12，即anan12，而a2a10不滿足anan12(n3)，an不是等差數(shù)列(2)當(dāng)n2時(shí)，an是等差數(shù)列，公差為2.當(dāng)n2時(shí)，an12(n2)2n3，又a11不適合上式，an的通項(xiàng)公式為an素養(yǎng)評析(1)證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法：定義法，即證明anan1d(n2，d為常數(shù))或an1and(d為常數(shù))，若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可(2)證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，主要的推理形式為演繹推理，通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是()A1,1,1,1,1B4,7,10,13,16C.，1，D3，2，1,1,2答案D2已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an32n(nN)，則它的公差d為()A2B3C2D3答案C解析由等差數(shù)列的定義，得da2a1112.3已知在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則角B等于()A30B60C90D120答案B解析因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以B是A，C的等差中項(xiàng)，則有AC2B，又因?yàn)锳BC180，所以3B180，從而B60.4若數(shù)列an滿足3an13an1，則數(shù)列an是()A公差為1的等差數(shù)列B公差為的等差數(shù)列C公差為的等差數(shù)列D不是等差數(shù)列答案B解析由3an13an1，得3an13an1，即an1an.所以數(shù)列an是公差為的等差數(shù)列5已知等差數(shù)列1，1，3，5，89，則它的項(xiàng)數(shù)是()A92B47C46D45答案C解析d112，設(shè)89為第n項(xiàng)，則89a1(n1)d1(n1)(2)，n46.1判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法(1)an1and(d為常數(shù)，nN)an是等差數(shù)列；(2)2an1anan2(nN)an是等差數(shù)列；(3)anknb(k，b為常數(shù)，nN)an是等差數(shù)列但若要說明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個(gè)反例即可2由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首項(xiàng)a1和公差d，就可以求出通項(xiàng)公式，反過來，在a1，d，n，an四個(gè)量中，只要知道其中任意三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量.一、選擇題1設(shè)數(shù)列an(nN)是公差為d的等差數(shù)列，若a24，a46，則d等于()A4B3C2D1答案D解析a4a22d642.d1.2已知等差數(shù)列5，2,1，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為()A52B62C62D52答案A解析公差d2(5)3，a20a1(201)d519352.3在數(shù)列an中，a12,2an12an1，則a101的值為()A52B51C50D49答案A解析因?yàn)?an12an1，a12，所以數(shù)列an是首項(xiàng)a12，公差d的等差數(shù)列，所以a101a1100d210052.4若5，x，y，z，21成等差數(shù)列，則xyz的值為()A26B29C39D52答案C解析5，x，y，z，21成等差數(shù)列，y既是5和21的等差中項(xiàng)也是x和z的等差中項(xiàng)5212y，y13，xz2y26，xyz39.5已知在等差數(shù)列an中，a3a822，a67，則a5等于()A15B22C7D29答案A解析設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)題意得解得a147，d8.所以a547(51)(8)15.6等差數(shù)列20,17,14,11，中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是()A第7項(xiàng)B第8項(xiàng)C第9項(xiàng)D第10項(xiàng)答案B解析a120，d3，an20(n1)(3)233n，a720，a810.故數(shù)列中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第8項(xiàng)7一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a，x，b，2x，則等于()A.B.C.D.答案C解析b是x,2x的等差中項(xiàng)，b，又x是a，b的等差中項(xiàng)，2xab，a，.8在數(shù)列an中，a22，a60，且數(shù)列是等差數(shù)列，則a4等于()A.B.C.D.答案A解析由題意可得，解得a4，故選A.二、填空題9若一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為a,2a1,3a，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為_答案an1，nN解析a(3a)2(2a1)，a.這個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，d，an(n1)1，nN.10現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_升答案解析設(shè)此等差數(shù)列為an，公差為d，則解得a5a14d4.11首項(xiàng)為24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是_答案解析設(shè)an24(n1)d，則解得d3.三、解答題12已知an為等差數(shù)列，且a36，a60，求an的通項(xiàng)公式解設(shè)數(shù)列an的公差為d，由已知得解得所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d10(n1)22n12.13已知數(shù)列an滿足an1，且a13(nN)(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明由，得，nN，故數(shù)列是等差數(shù)列(2)解由(1)知(n1)，所以an，nN.14已知數(shù)列an中，a11，an1ananan1(n2，nN)，則a10_.答案解析易知an0，數(shù)列an滿足an1ananan1(n2，nN