2020版高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學案新人教B版選修.docx

2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學習目標1.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、實軸長和虛軸長等).2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.3.能用雙曲線的幾何性質(zhì)解決一些簡單問題.4.了解直線與雙曲線相交的相關問題知識點雙曲線的幾何性質(zhì)1漸近線：直線yx叫做雙曲線1(a0，b0)的漸近線2離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率，用e表示(e1)3雙曲線的幾何性質(zhì)見下表：標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點頂點坐標：A1(a,0)，A2(a,0)頂點坐標：A1(0，a)，A2(0，a)軸長實軸長：2a；虛軸長：2b漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中ca，b，c間的關系c2a2b2(ca0，cb0)1等軸雙曲線的離心率是.()2橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同()3雙曲線1與1(a0，b0)的形狀相同()4雙曲線1與1(a0，b0)的漸近線相同()題型一由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a，b，c，漸近線解將9y24x236化為標準方程為1，即1，所以a3，b2，c.因此頂點坐標為A1(3,0)，A2(3,0)，焦點坐標為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，實軸長2a6，虛軸長2b4，離心率e，漸近線方程為yxx.引申探究求雙曲線nx2my2mn(m0，n0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化為標準方程為1(m0，n0)，由此可知，實半軸長a，虛半軸長b，c，焦點坐標為(，0)，(，0)，離心率e，頂點坐標為(，0)，(，0)，所以漸近線方程為yx，即yx.反思感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標準方程是解決本題的關鍵(2)由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)跟蹤訓練1求雙曲線9y216x2144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程解把方程9y216x2144化為標準方程1.由此可知，實半軸長a4，虛半軸長b3，c5，焦點坐標是(0，5)，(0,5)，離心率e，漸近線方程為yx.題型二由雙曲線的幾何性質(zhì)確定標準方程例2求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)一個焦點為(0,13)，且離心率為；(2)漸近線方程為yx，且經(jīng)過點A(2，3)解(1)依題意可知，雙曲線的焦點在y軸上，且c13，又，a5，b2c2a2144，故其標準方程為1.(2)方法一雙曲線的漸近線方程為yx，若焦點在x軸上，設所求雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.由聯(lián)立，無解若焦點在y軸上，設所求雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.由聯(lián)立，解得a28，b232.所求雙曲線的標準方程為1.方法二由雙曲線的漸近線方程為yx，可設雙曲線方程為y2(0)，A(2，3)在雙曲線上，(3)2，即8.所求雙曲線的標準方程為1.反思感悟由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標準方程常用待定系數(shù)法，當焦點位置明確時直接設出雙曲線的標準方程即可，當焦點位置不明確時，應注意分類討論，也可以不分類討論直接把雙曲線方程設成mx2ny21(mn0)，從而直接求出來當雙曲線的漸近線方程為yx時，可以將方程設為(0)跟蹤訓練2(1)求與雙曲線1有共同的漸近線，且經(jīng)過點M(3，2)的雙曲線的標準方程；(2)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率e，過點A(0，b)和B(a,0)的直線與原點的距離為，求此雙曲線的標準方程解(1)設所求雙曲線的方程為(0)點M(3，2)在雙曲線上，即2.雙曲線的標準方程為1.(2)e，a23b2.又直線AB的方程為bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解組成的方程組，得a23，b21.雙曲線的標準方程為y21.題型三直線與雙曲線的位置關系例3(1)求直線yx1被雙曲線x21截得的弦長；(2)求過定點(0,1)的直線被雙曲線x21截得的弦中點的軌跡方程解(1)由得4x2(x1)240.化簡得3x22x50.設此方程的解為x1，x2，則有x1x2，x1x2.故所截得的弦長d|x1x2|.(2)方法一當該直線的斜率不存在時，直線與雙曲線無交點，故可設直線的方程為ykx1，它被雙曲線截得的弦AB對應的中點為P(x，y)由得(4k2)x22kx50.設此方程的解為x1，x2，則4k20，4k220(4k2)0，16k280，即|k|，k2，且x1x2，x1x2，x(x1x2)，y(y1y2)(x1x2)1.由消去k，得4x2y2y0(y4或y1)方法二設弦的兩個端點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中點為P(x，y)，則，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，當直線AB的斜率k0時，得，即，整理得4x2y2y0(y1)當k0時，y1y21，x1x20，x0，y1，也滿足4x2y2y0.綜上所述，弦中點的軌跡方程為4x2y2y0(y0，b0)，由已知可得左、右焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(2,0)，(2,0)，則|PF1|PF2|22a，所以a1，又c2，所以b，所以雙曲線方程為x21.(2)由題意可知直線m的方程為yx2，聯(lián)立雙曲線及直線方程消去y得2x24x70，設兩交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22，x1x2，由弦長公式得|AB|x1x2|6.存在性問題需驗證典例已知雙曲線2x2y22，過點B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于點Q1，Q2，且點B是弦Q1Q2的中點，若存在這樣的直線l，求出它的方程；若不存在，請說明理由考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的其他問題解設Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是雙曲線上的兩點，則x1x2，且x1x22，y1y22，由兩式相減并變形得2，若存在，則直線l為y12(x1)，即y2x1，聯(lián)立得2x24x30，而80，方程無實根，即直線與雙曲線無交點，故不存在滿足條件的直線素養(yǎng)評析(1)利用“點差法”解題，其過程是無法保證直線與雙曲線相交的，因此必須對所求得直線方程的存在性進行驗證(2)確定好運算方法，形成運算程序的完備性，有利于培養(yǎng)學生一絲不茍、嚴謹求實的科學素養(yǎng)1雙曲線mx2y21的虛軸長是實軸長的2倍，則m的值為()A4B4CD.考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程研究其它問題答案C解析由雙曲線方程mx2y21，知m0，則雙曲線方程可化為y21，則a21，a1，又虛軸長是實軸長的2倍，b2，b24，m，故選C.2設雙曲線1的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A4B3C2D1答案A解析方程表示雙曲線，a0)的右焦點為(3,0)，則雙曲線的離心率等于()A.B.C.D.答案C解析由題意知a259, 解得a2，e.4若雙曲線1的漸近線方程為yx，則雙曲線的焦點坐標是_答案(，0)解析由漸近線方程為yxx，得m3，c，且焦點在x軸上5設雙曲線1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析由條件知2b2,2c2，b1，c，a2c2b22，即a，雙曲線方程為y21，因此其漸近線方程為yx.雙曲線的綜合問題常涉及其離心率、漸近線、范圍等，與向量、三角函數(shù)、不等式等知識交匯考查綜合運用數(shù)學知識的能力(1)當與向量知識結(jié)合時，注意運用向量的坐標運算，將向量間的關系，轉(zhuǎn)化為點的坐標問題，再根據(jù)根與系數(shù)的關系，將所求問題與條件建立關系求解(2)當與直線有關時，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系構造相關關系求解一、選擇題1下列雙曲線中，漸近線方程為y2x的是()Ax21B.y21Cx21D.y21答案A解析由雙曲線的幾何性質(zhì)知，雙曲線x21的漸近線方程為y2x，故選A.2直線yx1被雙曲線2x2y23所截得的弦的中點坐標是()A(1,2) B(2，1)C(1，2) D(2,1)答案C解析將yx1代入2x2y23，得x22x40，由此可得弦的中點的橫坐標為1.故選C.3過雙曲線x2y24的右焦點且平行于虛軸的弦長是()A1B2C3D4答案D解析設弦與雙曲線的交點為A，B(A點在B點上方)，由ABx軸且過右焦點，可得A，B兩點的橫坐標為2，代入雙曲線方程得A(2，2)，B(2，2)，故|AB|4.4已知雙曲線C：1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案A解析雙曲線C的漸近線方程為0，點P(2,1)在漸近線上，0，即a24b2，又a2b2c225，解得b25，a220，故選A.5已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，與直線yx交于A，B兩點，若|AB|2，則該雙曲線的方程為()Ax2y26Bx2y29Cx2y216Dx2y225答案B解析設等軸雙曲線的方程為x2y2a2(a0)，與yx聯(lián)立，得x2a2，|AB|a2，a3，故選B.6已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則C的漸近線方程為()AyxByxCyxDyx答案C解析由e知，a2k，ck，k(0，)，由b2c2a2k2知bk.所以.即漸近線方程為yx.7若在雙曲線1(a0，b0)的右支上到原點O和右焦點F的距離相等的點有兩個，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A() B(1，) C(2，) D(1,2)答案C解析由于到原點O和右焦點F距離相等的點在線段OF的垂直平分線上，其方程為x.依題意知，在雙曲線1(a0，b0)的右支上到原點和右焦點距離相等的點有兩個，所以直線x與右支有兩個交點，故應滿足a，即2，得e2.8設F為雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點，過點F且斜率為1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若3，則雙曲線C的離心率e等于()A.B.C.D.答案D解析設F(c,0)，則過雙曲線1(a0，b0)的右焦點F且斜率為1的直線l的方程為y(xc)，而漸近線方程是yx，由得B，由得A，由3，得3，則3，即ba，則ca，則e，故選D.二、填空題9過點A(3，1)且被A點平分的雙曲線y21的弦所在的直線方程是_答案3x4y50解析易知所求直線的斜率存在，設為k，則該直線的方程為y1k(x3)，代入y21，消去y得關于x的一元二次方程(14k2)x2(24k28k)x36k224k80，6，k，所求直線方程為3x4y50.10過雙曲線x21的左焦點F1作傾斜角為的弦AB，則|AB|_.考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線相交弦長與三角形的面積答案3解析易得雙曲線的左焦點F1(2,0)，直線AB的方程為y(x2)，與雙曲線方程聯(lián)立，得8x24x130.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|3.11已知雙曲線1(b0)的離心率為2，則它的一個焦點到其中一條漸近線的距離為_答案2解析由雙曲線方程知a2，又e2，所以c4，所以b2.所以雙曲線的一條漸近線方程為yxx，一個焦點為F(4,0)焦點F到漸近線yx的距離d2.三、解答題12已知雙曲線的一條漸近線為xy0，且與橢圓x24y264有相同的焦距，求雙曲線的標準方程解橢圓方程為1，可知橢圓的焦距為8.當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線方程為1(a0，b0)，解得雙曲線的標準方程為1.當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線方程為1(a0，b0)，解得雙曲線的標準方程為1.由可知，雙曲線的標準方程為1或1.13設雙曲線1(a0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2.(1)求此雙曲線的漸近線l1，l2的方程(l1的斜率大于零)；(2)若A，B分別為l1，l2上的點，且2|AB|5|F1F2|，求線段AB的中點M的軌跡方程解(1)e2，c24a2.c2a23，a1，c2.雙曲線方程為y21，漸近線方程為yx.l1的方程為yx，l2的方程為yx.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x，y)2|AB|5|F1F2|52c20，|AB|10，10，即(x1x2)2(y1y2)2100.y1x1，y2x2，x1x22x，y1y22y，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)，y(x1x2)，y1y2x，代入(x1x2)2(y1y2)2100，得3(2y)2(2x)2100，整理得1.14雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30的直線，交雙曲線右支于M點，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為_答案解析如圖，在RtMF1F2中，MF1F230.又|F1F2|2c，|MF1|c，|MF2|2ctan30c.2a|MF1|MF2|c.e.15已知雙曲線C1：x21.(1)求與雙曲線C