2020版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)案新人教B版選修.docx

2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸長和虛軸長等).2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.3.能用雙曲線的幾何性質(zhì)解決一些簡單問題.4.了解直線與雙曲線相交的相關(guān)問題知識點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)1漸近線：直線yx叫做雙曲線1(a0，b0)的漸近線2離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫做雙曲線的離心率，用e表示(e1)3雙曲線的幾何性質(zhì)見下表：標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(a,0)，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0，a)，A2(0，a)軸長實(shí)軸長：2a；虛軸長：2b漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中ca，b，c間的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)1等軸雙曲線的離心率是.()2橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同()3雙曲線1與1(a0，b0)的形狀相同()4雙曲線1與1(a0，b0)的漸近線相同()題型一由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c，漸近線解將9y24x236化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即1，所以a3，b2，c.因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(3,0)，A2(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，實(shí)軸長2a6，虛軸長2b4，離心率e，漸近線方程為yxx.引申探究求雙曲線nx2my2mn(m0，n0)的實(shí)半軸長、虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1(m0，n0)，由此可知，實(shí)半軸長a，虛半軸長b，c，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，離心率e，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，所以漸近線方程為yx，即yx.反思感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是解決本題的關(guān)鍵(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線9y216x2144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程1.由此可知，實(shí)半軸長a4，虛半軸長b3，c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，(0,5)，離心率e，漸近線方程為yx.題型二由雙曲線的幾何性質(zhì)確定標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個焦點(diǎn)為(0,13)，且離心率為；(2)漸近線方程為yx，且經(jīng)過點(diǎn)A(2，3)解(1)依題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且c13，又，a5，b2c2a2144，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)方法一雙曲線的漸近線方程為yx，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.由聯(lián)立，無解若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.由聯(lián)立，解得a28，b232.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二由雙曲線的漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線方程為y2(0)，A(2，3)在雙曲線上，(3)2，即8.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思感悟由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，當(dāng)焦點(diǎn)位置明確時直接設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時，應(yīng)注意分類討論，也可以不分類討論直接把雙曲線方程設(shè)成mx2ny21(mn0)，從而直接求出來當(dāng)雙曲線的漸近線方程為yx時，可以將方程設(shè)為(0)跟蹤訓(xùn)練2(1)求與雙曲線1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)M(3，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率e，過點(diǎn)A(0，b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)設(shè)所求雙曲線的方程為(0)點(diǎn)M(3，2)在雙曲線上，即2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)e，a23b2.又直線AB的方程為bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解組成的方程組，得a23，b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.題型三直線與雙曲線的位置關(guān)系例3(1)求直線yx1被雙曲線x21截得的弦長；(2)求過定點(diǎn)(0,1)的直線被雙曲線x21截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程解(1)由得4x2(x1)240.化簡得3x22x50.設(shè)此方程的解為x1，x2，則有x1x2，x1x2.故所截得的弦長d|x1x2|.(2)方法一當(dāng)該直線的斜率不存在時，直線與雙曲線無交點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為ykx1，它被雙曲線截得的弦AB對應(yīng)的中點(diǎn)為P(x，y)由得(4k2)x22kx50.設(shè)此方程的解為x1，x2，則4k20，4k220(4k2)0，16k280，即|k|，k2，且x1x2，x1x2，x(x1x2)，y(y1y2)(x1x2)1.由消去k，得4x2y2y0(y4或y1)方法二設(shè)弦的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中點(diǎn)為P(x，y)，則，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，當(dāng)直線AB的斜率k0時，得，即，整理得4x2y2y0(y1)當(dāng)k0時，y1y21，x1x20，x0，y1，也滿足4x2y2y0.綜上所述，弦中點(diǎn)的軌跡方程為4x2y2y0(y0，b0)，由已知可得左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(2,0)，(2,0)，則|PF1|PF2|22a，所以a1，又c2，所以b，所以雙曲線方程為x21.(2)由題意可知直線m的方程為yx2，聯(lián)立雙曲線及直線方程消去y得2x24x70，設(shè)兩交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22，x1x2，由弦長公式得|AB|x1x2|6.存在性問題需驗(yàn)證典例已知雙曲線2x2y22，過點(diǎn)B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于點(diǎn)Q1，Q2，且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)，若存在這樣的直線l，求出它的方程；若不存在，請說明理由考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的其他問題解設(shè)Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是雙曲線上的兩點(diǎn)，則x1x2，且x1x22，y1y22，由兩式相減并變形得2，若存在，則直線l為y12(x1)，即y2x1，聯(lián)立得2x24x30，而80，方程無實(shí)根，即直線與雙曲線無交點(diǎn)，故不存在滿足條件的直線素養(yǎng)評析(1)利用“點(diǎn)差法”解題，其過程是無法保證直線與雙曲線相交的，因此必須對所求得直線方程的存在性進(jìn)行驗(yàn)證(2)確定好運(yùn)算方法，形成運(yùn)算程序的完備性，有利于培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)素養(yǎng)1雙曲線mx2y21的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m的值為()A4B4CD.考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程研究其它問題答案C解析由雙曲線方程mx2y21，知m0，則雙曲線方程可化為y21，則a21，a1，又虛軸長是實(shí)軸長的2倍，b2，b24，m，故選C.2設(shè)雙曲線1的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A4B3C2D1答案A解析方程表示雙曲線，a0)的右焦點(diǎn)為(3,0)，則雙曲線的離心率等于()A.B.C.D.答案C解析由題意知a259, 解得a2，e.4若雙曲線1的漸近線方程為yx，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_答案(，0)解析由漸近線方程為yxx，得m3，c，且焦點(diǎn)在x軸上5設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析由條件知2b2,2c2，b1，c，a2c2b22，即a，雙曲線方程為y21，因此其漸近線方程為yx.雙曲線的綜合問題常涉及其離心率、漸近線、范圍等，與向量、三角函數(shù)、不等式等知識交匯考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力(1)當(dāng)與向量知識結(jié)合時，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問題，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問題與條件建立關(guān)系求解(2)當(dāng)與直線有關(guān)時，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)關(guān)系求解一、選擇題1下列雙曲線中，漸近線方程為y2x的是()Ax21B.y21Cx21D.y21答案A解析由雙曲線的幾何性質(zhì)知，雙曲線x21的漸近線方程為y2x，故選A.2直線yx1被雙曲線2x2y23所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是()A(1,2) B(2，1)C(1，2) D(2,1)答案C解析將yx1代入2x2y23，得x22x40，由此可得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.故選C.3過雙曲線x2y24的右焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長是()A1B2C3D4答案D解析設(shè)弦與雙曲線的交點(diǎn)為A，B(A點(diǎn)在B點(diǎn)上方)，由ABx軸且過右焦點(diǎn)，可得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，代入雙曲線方程得A(2，2)，B(2，2)，故|AB|4.4已知雙曲線C：1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案A解析雙曲線C的漸近線方程為0，點(diǎn)P(2,1)在漸近線上，0，即a24b2，又a2b2c225，解得b25，a220，故選A.5已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，與直線yx交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則該雙曲線的方程為()Ax2y26Bx2y29Cx2y216Dx2y225答案B解析設(shè)等軸雙曲線的方程為x2y2a2(a0)，與yx聯(lián)立，得x2a2，|AB|a2，a3，故選B.6已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則C的漸近線方程為()AyxByxCyxDyx答案C解析由e知，a2k，ck，k(0，)，由b2c2a2k2知bk.所以.即漸近線方程為yx.7若在雙曲線1(a0，b0)的右支上到原點(diǎn)O和右焦點(diǎn)F的距離相等的點(diǎn)有兩個，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A() B(1，) C(2，) D(1,2)答案C解析由于到原點(diǎn)O和右焦點(diǎn)F距離相等的點(diǎn)在線段OF的垂直平分線上，其方程為x.依題意知，在雙曲線1(a0，b0)的右支上到原點(diǎn)和右焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個，所以直線x與右支有兩個交點(diǎn)，故應(yīng)滿足a，即2，得e2.8設(shè)F為雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若3，則雙曲線C的離心率e等于()A.B.C.D.答案D解析設(shè)F(c,0)，則過雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l的方程為y(xc)，而漸近線方程是yx，由得B，由得A，由3，得3，則3，即ba，則ca，則e，故選D.二、填空題9過點(diǎn)A(3，1)且被A點(diǎn)平分的雙曲線y21的弦所在的直線方程是_答案3x4y50解析易知所求直線的斜率存在，設(shè)為k，則該直線的方程為y1k(x3)，代入y21，消去y得關(guān)于x的一元二次方程(14k2)x2(24k28k)x36k224k80，6，k，所求直線方程為3x4y50.10過雙曲線x21的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為的弦AB，則|AB|_.考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線相交弦長與三角形的面積答案3解析易得雙曲線的左焦點(diǎn)F1(2,0)，直線AB的方程為y(x2)，與雙曲線方程聯(lián)立，得8x24x130.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|3.11已知雙曲線1(b0)的離心率為2，則它的一個焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為_答案2解析由雙曲線方程知a2，又e2，所以c4，所以b2.所以雙曲線的一條漸近線方程為yxx，一個焦點(diǎn)為F(4,0)焦點(diǎn)F到漸近線yx的距離d2.三、解答題12已知雙曲線的一條漸近線為xy0，且與橢圓x24y264有相同的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解橢圓方程為1，可知橢圓的焦距為8.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.13設(shè)雙曲線1(a0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2.(1)求此雙曲線的漸近線l1，l2的方程(l1的斜率大于零)；(2)若A，B分別為l1，l2上的點(diǎn)，且2|AB|5|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程解(1)e2，c24a2.c2a23，a1，c2.雙曲線方程為y21，漸近線方程為yx.l1的方程為yx，l2的方程為yx.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x，y)2|AB|5|F1F2|52c20，|AB|10，10，即(x1x2)2(y1y2)2100.y1x1，y2x2，x1x22x，y1y22y，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)，y(x1x2)，y1y2x，代入(x1x2)2(y1y2)2100，得3(2y)2(2x)2100，整理得1.14雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30的直線，交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為_答案解析如圖，在RtMF1F2中，MF1F230.又|F1F2|2c，|MF1|c，|MF2|2ctan30c.2a|MF1|MF2|c.e.15已知雙曲線C1：x21.(1)求與雙曲線C