2020版高中數(shù)學(xué)第二章拋物線的幾何性質(zhì)（第1課時(shí)）拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案新人教B版.docx

第1課時(shí)拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題知識點(diǎn)一拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e1知識點(diǎn)二焦點(diǎn)弦設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y22px(p0)|AB|x1x2py22px(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)1橢圓、雙曲線和拋物線都是中心對稱圖形()2拋物線和雙曲線一樣，開口大小都與離心率有關(guān)()3拋物線只有一條對稱軸和一個(gè)頂點(diǎn)()4拋物線的開口大小與焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離有關(guān)()題型一由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例1已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解由題意，設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，焦點(diǎn)F.直線l：x，所以A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為，所以|AB|2|m|.因?yàn)镺AB的面積為4，所以2|m|4，所以m2.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.引申探究等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則AOB的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2答案B解析因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2p,2p)，同理可得B(2p，2p)，所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.反思感悟把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸重合于橢圓1短軸所在的直線，拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程解橢圓1的短軸所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為x軸設(shè)拋物線的方程為y2ax(a0)，設(shè)5，a20.拋物線的方程為y220x或y220x.題型二拋物線的焦點(diǎn)弦問題例2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)(1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離解(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直線l的方程為y. 聯(lián)立消去y，得x25x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x25.而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26，所以線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3.又準(zhǔn)線方程是x，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3.引申探究本例中，若A，B在其準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，求A1FB1.解由拋物線定義|AA1|AF|，得AA1FAFA1，又AA1x軸，OFA1AA1F，OFA1AFA1，同理得OFB1BFB1，A1FOB1FO90，即A1FB190.反思感悟(1)拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段焦半徑公式P(x0，y0)為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)若拋物線y22px(p0)，則|PF|x0；若拋物線y22px(p0)，則|PF|x0；若拋物線x22py(p0)，則|PF|y0；若拋物線x22py(p0)，則|PF|y0(2)過焦點(diǎn)的弦長的求解方法設(shè)過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2即可跟蹤訓(xùn)練2直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|8，則直線l的方程為_答案xy10或xy10解析因?yàn)閽佄锞€y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，若l與x軸垂直，則|AB|4，不符合題意所以可設(shè)所求直線l的方程為yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2.又AB過焦點(diǎn)，由拋物線的定義可知|AB|x1x2p28，即6，解得k1.所以所求直線l的方程為xy10或xy10.1以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y答案C解析設(shè)拋物線y22px或y22px(p0)，p4.2若拋物線y2x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.B.C.D.答案B解析由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選B.3已知過拋物線y28x的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|的值為_答案10解析由y28x，得p4，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦點(diǎn)弦公式得|AB|x1x2p2423410.4對于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)符合拋物線方程為y210x的條件是_(要求填寫合適條件的序號)答案解析由拋物線方程y210x，知它的焦點(diǎn)在x軸上，所以符合又因?yàn)樗慕裹c(diǎn)坐標(biāo)為F，原點(diǎn)O(0,0)，設(shè)點(diǎn)P(2,1)，可得kPOkPF1，所以也符合而顯然不符合，通過計(jì)算可知，不合題意所以應(yīng)填.5求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4；(2)頂點(diǎn)是雙曲線16x29y2144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸解(1)由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的圖形易知：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故4，p8.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x或x216y.(2)雙曲線方程16x29y2144化為標(biāo)準(zhǔn)形式為1，中心為原點(diǎn)，左頂點(diǎn)為(3,0)，故拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x3.由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，可得3，故p6.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x.1討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程2解決拋物線的焦點(diǎn)弦問題時(shí)，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過定義將焦點(diǎn)弦長度轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解3設(shè)直線方程時(shí)要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨(dú)討論一、選擇題1拋物線yax2(a0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，|PQ|10，則拋物線方程是()Ay24xBy22xCy28xDy26x答案C解析設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則3，即x1x26.又|PQ|x1x2p10，即p4，拋物線方程為y28x.5已知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，點(diǎn)A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|等于()A4B8C8D16答案B解析拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2，焦點(diǎn)F(2,0)，設(shè)A(2，y0)，kAF，則y04，P(x0,4)，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程y28x，(4)28x0，得x06.由拋物線定義可知|PF|PA|x068.6設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于()A.B6C12D7答案C解析設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1，)(x2，y2)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，F(xiàn)，AB的方程為y0tan30，即yx.聯(lián)立消去y，得x2x0.x1x2，由于|AB|x1x2p，|AB|12.7直線yxb交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)，O為拋物線頂點(diǎn)，OAOB，則b的值為()A1B0C1D2考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將yxb代入yx2，化簡可得x22x2b0，故x1x22，x1x22b，所以y1y2x1x2b(x1x2)b2b2.又OAOB，所以x1x2y1y20，即2bb20，則b2或b0，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)b0時(shí)，不符合題意，故b2.二、填空題8設(shè)拋物線y216x上一點(diǎn)P到對稱軸的距離為12，則點(diǎn)P與焦點(diǎn)F的距離|PF|_.答案13解析設(shè)P(x,12)，代入y216x，得x9，|PF|x9413.9拋物線yx2的焦點(diǎn)與雙曲線1的上焦點(diǎn)重合，則m_.答案13解析拋物線yx2可化為x216y，則其焦點(diǎn)為(0,4)，3m16，則m13.10拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF|3，則|BF|_.答案解析由題意知F(1,0)，且AB與x軸不垂直，則由|AF|3，知xA2.設(shè)lAB：yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以xAxB1，故xB，故|BF|xB1.11一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)都在拋物線y24x上，其中一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積是_答案48解析設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)為(x,2)，則tan30，x12.S12848.三、解答題12若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|，|AF|3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，A(x0，y0)，由題知M.|AF|3，y03.|AM|，x217，x8，代入方程x2py0得82p，解得p2或p4.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y或x28y.13已知拋物線y22x.(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)在拋物線上求一點(diǎn)P，使P到直線xy30的距離最短，并求出距離的最小值解(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)(x0)，則|PA|22y222x2.x0，且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x0時(shí)，|PA|min，故距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y22x上任一點(diǎn)，則P到直線xy30的距離為d，當(dāng)y01時(shí)，dmin，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.14設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析M到準(zhǔn)線的距離大于p，即y024，y02.15設(shè)F(1,0)，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，且2，0.(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲線C上除去原點(diǎn)外的不同三點(diǎn)，且|，|，|成等差數(shù)列，當(dāng)線段AD的垂直平分線與x