3.4.2圓周角定理的推論23

第2課時圓周角定理的推論2，3關(guān)鍵問答圓周角定理的推論有哪些？圓的內(nèi)接四邊形有什么性質(zhì)？1從下列三角尺與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是()A B C D 圖34152.如圖3416，AB是O的直徑，C，D是圓周上的兩點(diǎn)已知AC7，BC24，AD15，則BD_圖34163.如圖3417，四邊形ABCD內(nèi)接于O，若BAD110，則C的度數(shù)是_圖3417命題點(diǎn) 1利用圓周角的推論2進(jìn)行計算與證明熱度：99%4.如圖3418，ABCD的頂點(diǎn)A，B，D在O上，頂點(diǎn)C在O的直徑BE上，連接AE，E36，則ADC的度數(shù)是()圖3418A44 B54 C72 D53方法點(diǎn)撥求與圓有關(guān)的角的度數(shù)時，一般情況下，都是利用圓周角定理及其推論1.特別地，當(dāng)題中有直徑出現(xiàn)時，往往要用到“直徑所對的圓周角是直角”這一性質(zhì).5.如圖3419，AB是O的直徑，CD是弦，且ABCD，若AB8，ABC30，則弦AD的長為()圖3419A. B4 C2 D8方法點(diǎn)撥見直徑，構(gòu)造直徑所對的圓周角.62019咸寧如圖3420，已知O的半徑為5，弦AB，CD所對的圓心角分別是AOB，COD，若AOB與COD互補(bǔ)，弦CD6，則弦AB的長為()圖3420A6 B8 C5 D5 7.如圖3421，半徑為3的A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0，2)，B是y軸左側(cè)A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tanOBC的值為()圖3421A. B2C. D.方法點(diǎn)撥求一個不在直角三角形中的銳角的三角函數(shù)值，一般思路為：構(gòu)造含有這個角(或與這個角相等的角)的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.8如圖3422，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AE，ED，則下列結(jié)論中不一定正確的是()圖3422AAEBC BBEECCEDEC DBACEDC知識鏈接等腰三角形三線合一9已知：如圖3423，ABC的頂點(diǎn)都在O上，AB為直徑，CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交O于點(diǎn)D，DEAB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連接AD.(1)求證：DACDBA；(2)求證：P是線段AF的中點(diǎn)；(3)若O的半徑為5，AF，求tanABF的值圖3423命題點(diǎn) 2圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計算與證明熱度：92%10如圖3424所示，四邊形ABCD內(nèi)接于O，F(xiàn)是弧CD上一點(diǎn)，且，連接CF并延長交AD的延長線于點(diǎn)E，連接AC，若ABC105，BAC25，則E的度數(shù)為()圖3424A45 B50 C55 D6011.如圖3425，已知四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為4的O中，且C2A，則BD_圖3425方法點(diǎn)撥計算弦長，通常需要構(gòu)造直角三角形，再借助勾股定理或三角函數(shù)求解.12已知：如圖3426，四邊形ABCD內(nèi)接于O，延長AD，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是BD延長線上的點(diǎn)，且DE平分CDF.(1)求證：ABAC；(2)若AC3 cm，AD2 cm，求DE的長圖342613.如圖3427所示，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點(diǎn)E，且DE.(1)求證：DCBE；(2)求證：CBCE；(3)設(shè)AD不是圓O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MBMC，求證：ADE為等邊三角形圖3427方法點(diǎn)撥欲證明一個三角形是等邊三角形，可以證明這個三角形的三條邊相等或三個角相等或證明這個三角形是有一個角是60的等腰三角形.14.如圖3428，已知O的半徑為2，弦AB的長為2，點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是劣弧AB與優(yōu)弧AmB上的任一點(diǎn)(點(diǎn)C，D均不與點(diǎn)A，B重合)(1)求ACB的度數(shù)；(2)求ABD的最大面積圖3428解題突破(1)題中出現(xiàn)半徑長和弦長，要聯(lián)想到垂徑定理，再想辦法利用邊的關(guān)系求角的度數(shù)；(2)要求ABD的最大面積，AB是定值，只需使AB邊上的高最大即可.15.如圖3429，在RtABC中，ABBC，AB6，BC4.P是ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足PABPBC，則線段CP長的最小值為()圖3429A. B2C. D.解題突破根據(jù)三角形內(nèi)角和與已知條件求出APB90，由圓周角定理的推論判斷出動點(diǎn)P的軌跡為以AB為直徑的圓在ABC內(nèi)的弧，則可把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)與圓上動點(diǎn)的距離最值問題方法點(diǎn)撥在動態(tài)問題中求兩點(diǎn)之間距離的最值問題，一般應(yīng)先確定動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，再運(yùn)用相關(guān)知識求解.16.如圖3430，A，P，B，C是O上四點(diǎn)，APCCPB60.(1)判斷ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)P位于什么位置時，四邊形PBOA是菱形？并說明理由；(3)求證：PAPBPC.圖3430方法點(diǎn)撥探索結(jié)論成立的條件，可采用逆向思維，由果索因.詳解詳析1B解析 只有B選項符合圓周角為90時，所對的弦為直徑，由此可知該弧為半圓故選B.220解析 AB是O的直徑，ACBADB90.AC7，BC24，AB25.AD15，BD20.370解析 四邊形ABCD內(nèi)接于O，BADC180.BAD110，C70.4B解析 BE為O的直徑，BAE90，ABC90AEB54.四邊形ABCD是平行四邊形，ADCABC54.故選B.5. B解析 連接BD，ABCD，BADADC.ADCABC，ABC30，ADC30，BAD30.AB是O的直徑，ADB90，ADABcos3084 .故選B.6B解析 如圖，延長AO交O于點(diǎn)E，連接BE，則AOBBOE180.AOBCOD180，BOECOD，BECD6.AE為O的直徑，ABE90，AB8.故選B.7C解析 連接CD.DOC90，CD是A的直徑在RtOCD中，CD6，OC2，則OD4，tanCDO.由圓周角定理，得OBCCDO，tanOBCtanCDO.故選C.8D解析 AB為O的直徑，AEBC.ABAC，BEEC，BAECAE，BC，BEED，EDEC，EDCC，EDCB.故選D.9解：(1)證明：BD平分CBA，CBDDBA.DAC與CBD都是所對的圓周角，DACCBD，DACDBA.(2)證明：AB為O的直徑，ADB90.又DEAB于點(diǎn)E，DEB90，ADEEDBDBAEDB90，ADEDBACBDDAP，PDPA.DFADACADEPDF90，且ADEDAC，PDFDFA，PDPF，PAPF，即P是線段AF的中點(diǎn)(3)DAFDBA，ADBFDA90，F(xiàn)DAADB，.在RtABD中，tanABD，即tanABF.10B解析 因為四邊形ABCD內(nèi)接于O，所以ADC180ABC18010575.因為，所以DCEBAC25.因為ADCDCEE，所以EADCDCE752550.故選B.114 解析 連接OD，OB，過點(diǎn)O作OFBD，垂足為F.OFBD，DFBF，DOFBOF.四邊形ABCD內(nèi)接于O，AC180.C2A，A60，BOD120，BOF60.OB4，BFOBsinBOF4sin602 ，BD2BF4 .12解：(1)證明：如圖，ABCADC180，2ADC180，ABC2.又213，43，ABC4，ABAC.(2)34ABE，DABBAE，ABDAEB，.ABAC3 cm，AD2 cm，AE cm，DE2(cm)13證明：(1)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，ABCD180.又ABCCBE180，DCBE.(2)DCBE，DE，CBEE，CBCE.(3)設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN.MBMC，MNBC，圓心O在直線MN上又AD不是圓O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，OMAD，即MNAD，BCAD，ACBE.又CBED，DE，ADE，ADE為等邊三角形14解：(1)連接OA，OB，過點(diǎn)O作OEAB，E為垂足，則AEBE.在RtAOE中，OA2，AE，sinAOE，AOE60，AOB2AOE120.又ADBAOB，ADB60.四邊形ACBD為圓內(nèi)接四邊形，ACBADB180，ACB180ADB120.(2)過點(diǎn)D作DFAB，垂足為F，則SABD2DF.顯然，當(dāng)DF經(jīng)過圓心O時，DF取得最大值，從而SABD取得最大值，此時DFDOOFDOOE22sin303，SABD233，即ABD的最大面積是3.15B解析 如圖，ABBC，ABPPBC90.PABPBC，ABPPAB90，APB90，點(diǎn)P在以AB為直徑的E上，當(dāng)點(diǎn)C，P，E在一條直線上時，CP長取最小值，此時由勾股定理，得CE5，CPCEPE532.故選B.16解：(1)ABC是等邊三角形證明如下：在O中，BAC與CPB是所對的圓周角，ABC與APC是所對的圓周角，BACCPB，ABCAPC.又APCCPB60，ABCBAC60，ABC為等邊三角形(2)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時，四邊形PBOA是菱形理由：如圖，連接OP.AOB2ACB120，P是的中點(diǎn)，AOPBOP60.又OAOPOB，OAP和OBP均為等邊三角形，OAAPOBPB，四邊形PBOA是菱形(3)如圖，在PC上截