常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)(模板.ppt

第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù),無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，無(wú)論在數(shù)學(xué)理論本身還是在實(shí)際中的應(yīng)用都是一個(gè)非常有利的工具.本章主要研究常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其收斂準(zhǔn)則，然后討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，主要討論冪級(jí)數(shù)以及如何將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的問(wèn)題.,7.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì),7.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,7.3 冪級(jí)數(shù),7.4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),第七章,小結(jié),級(jí)數(shù)的概念,級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),問(wèn)題的提出,7.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念,第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù),給定一個(gè)數(shù)列,將各項(xiàng)依,即,稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，,其中第 n 項(xiàng),叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和,稱為級(jí)數(shù)的部分和.,次相加, 簡(jiǎn)記為,定義1：,一、級(jí)數(shù)的定義,定義2：,當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值,為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .,顯然,并稱 S 為級(jí)數(shù)的和,定義3：,證明：,顯然：,因此級(jí)數(shù)是發(fā)散的。,級(jí)數(shù)得部分和為：,證明：,矛盾，故假設(shè)不成立因此級(jí)數(shù)是發(fā)散的。,假設(shè)級(jí)數(shù)收斂，其和為S，則有：,調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。,則有：,但有：,解,因?yàn)?從而,拆項(xiàng)相消法。,解,判別 級(jí)數(shù)的斂散性:,解:,所以級(jí)數(shù)發(fā)散,技巧:,利用 “拆項(xiàng)相消” 求和,例. 討論等比級(jí)數(shù),(又稱幾何級(jí)數(shù)),( q 稱為公比 ) 的斂散性.,解: 1) 若,從而,因此級(jí)數(shù)收斂 ,從而,則部分和,因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .,其和為,2). 若,因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,因此,n 為奇數(shù),n 為偶數(shù),從而,綜合 1)、2)可知,時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;,時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .,則,級(jí)數(shù)成為,不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.,解,結(jié)論: 乘上一個(gè)不為零的數(shù)不改變級(jí)數(shù)的斂散性.,結(jié)論: 收斂級(jí)數(shù)的和（或差）仍然收斂.,1,2,三、基本性質(zhì),解,1.若級(jí)數(shù) 收斂，而級(jí)數(shù) 發(fā)散,則，級(jí)數(shù) 一定發(fā)散,注意,2.若級(jí)數(shù) 發(fā)散，而級(jí)數(shù) 發(fā)散,則，級(jí)數(shù) 可能收斂也可能發(fā)散,例如:,證明,級(jí)數(shù)的收斂性與它的項(xiàng)數(shù)無(wú)關(guān). 或： 在級(jí)數(shù)的前面加上或去掉有限項(xiàng)，收斂性不變。,3,結(jié)論,證明,4,結(jié)論：收斂級(jí)數(shù)滿足結(jié)合律 或:收斂級(jí)數(shù)的各項(xiàng)可以任意組合（順序不變）. 其和不變,收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,注意,推論,判斷級(jí)數(shù)的斂散性:,解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù),發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,證明,（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）,5,如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,注意,1,2,如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零,則級(jí)數(shù)不一定收斂,判別收斂性：,解,解,判別收斂性：,解,一 寫出下列級(jí)數(shù)的通項(xiàng),二 利用級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),判別級(jí)數(shù)的斂散性,三 判別級(jí)數(shù)的斂散性,(1),(2),(1),(1),(2),(2),一 (1),(2),二