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平面向量應(yīng)用舉例,2.5.1平面幾何中的向量方法,平面幾何中的向量方法,向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計(jì)算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。 由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。,問題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？,猜想：,1.長方形對(duì)角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系？,2.類比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？,例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和,已知：平行四邊形ABCD。 求證：,解：設(shè) ，則,（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；常設(shè)基底向量或建立向量坐標(biāo)。 （2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； （3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。,用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：,簡(jiǎn)述：形到向量 向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形,例2 如圖，平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD 、 DC邊的中點(diǎn)，BE 、 BF分別與AC交于R 、 T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR 、 RT 、TC之間的關(guān)系嗎？,猜想： AR=RT=TC,又因?yàn)?共線， 所以設(shè),因?yàn)?所以,解：設(shè) 則,由于 與 共線，故設(shè),線，,故AT=RT=TC,練習(xí)1、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角,分析：要證ACB=90，只須證向 量 ，即 。,解：設(shè) 則 ， 由此可得：,即 ，得 ACB=90,思考：能否用向量 坐標(biāo)形式證明？,簡(jiǎn)

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