平面向量的坐標運算.ppt

4.2 平面向量的坐標運算 基礎(chǔ)知識 自主學習 要點梳理 1.兩個向量的夾角 （1）定義 已知兩個 向量a和b,作OA=a，OB=b，則 AOB= 叫做向量a與b的夾角. (2)范圍 向量夾角的范圍是 ,a與b同向 時，夾角= ;a與b反向時，夾角= .,非零,0180,0,180,(3)向量垂直 如果向量a與b的夾角是 ，則a與b垂直，記 作 . 2.平面向量基本定理及坐標表示 （1）平面向量基本定理 定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)兩個 的向 量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a, 一對實數(shù)1,2,使a= . 其中，不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi) 所有向量的一組 .,90,ab,不共線,有且只有,1e1+2e2,基底,(2)平面向量的正交分解 一個平面向量用一組基底e1,e2表示成a=1e1+2 e2的形式，我們稱它為向量a的分解. 當e1,e2所在直 線 時，就稱為向量a的正交分解. (3)平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向 相同的兩個單位向量i,j作為基底，對于平面上的 向量a,有且只有一對有序?qū)崝?shù)x,y,使a=xi+yj, 把有 序數(shù)對 稱為向量a的（直角）坐標，記作a= ，其中 叫a在x軸上的坐標， 叫a在y軸上 的坐標.,互相垂直,(x,y),(x,y),y,x,設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標（x,y)就是終 點A的坐標，即若OA= ，則A點坐標為 ,反之亦成立.（O是坐標原點） 3.平面向量的坐標運算 （1）加法、減法、數(shù)乘運算 （2）向量坐標的求法 已知A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=(x2-x1, y2-y1),即一個向量的坐標等于該向量 的坐 標減去 的坐標. (3)平面向量共線的坐標表示 設(shè)a=(x1,y1), b=(x2, y2), 其中b0,則a與b共線 a= .,(x,y),(x,y),終點,始點,b,x1y2-x2y1 =0,基礎(chǔ)自測 1.（2010鎮(zhèn)江調(diào)研）若向量a=(1,1)， b=(1,-1),c=(-2,1),則c= （用a,b表 示）. 解析 設(shè)c=xa+yb,則 （-2，1）=x（1，1）+y（1,-1）=(x+y,x-y), c= .,2.（2008安徽理）在平行四邊形ABCD中，AC為 一條對角線，若AB=（2，4）,AC=（1，3）,則 BD= . 解析 如圖所示，AD=BC=AC-AB=(-1,-1)， 所以BD=AD-AB=（-3，-5）.,（-3，-5）,3.設(shè)a= b= 且ab，則銳角x 為 . 解析 a= b= 且ab, sin xcos x- =0,即 sin 2x- =0, sin 2x=1.又x為銳角，2x= ,x= .,4.（2009湖北改編）若向量a=(1,1),b=(-1,1), c= （4，2），則c= . 解析 設(shè)c=a+b=（-,+）=(4,2) -=4, =3 +=2, =-1 c=3a-b.,3a-b,典型例題 深度剖析 【例1】如圖，P是ABC內(nèi)一點，且滿 足條件AP+2BP+3CP=0，設(shè)Q為CP 的延長線與AB的交點，令CP=p，試 用p表示CQ. 選取BQ，QP兩不共線向量作基底，運 用化歸思想，最終變成xe1+ye2=0的形式求解， 其中把題中向量用基底表示是關(guān)鍵. 解 AP=AQ+QP，BP=BQ+QP， （AQ+QP）+2（BQ+QP）+3CP=0， AQ+3QP+2BQ+3CP=0，,分析,又A，B，Q三點共線，C，P，Q三點共線， AQ=BQ，CP=QP， BQ+3QP+2BQ+3QP=0， （+2）BQ+(3+3)QP=0. 而BQ，QP為不共線向量， +2=0, 3+3=0, =-2,=-1. CP=-QP=PQ. 故CQ=CP+PQ=2CP=2p.,跟蹤練習1 設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線. 如果AB=e1-e2，BC=3e1+2e2，CD=-8e1-2e2， 求證：A、C、D三點共線； 證明 AB=e1-e2，BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2, AC=AB+BC=4e1+e2=- （-8e1-2e2） =- CD, AC與CD共線， 又AC與CD有公共點C，A、C、D三點共線.,【例2】（2009廣東改編）已知平面向量a= （x,1）,b=（-x,x2），則向量a+b平行于 . 解析 a=(x,1),b=(-x,x2),a+b=(0,x2+1). 由1+x20及向量的性質(zhì)知a+b平行于y軸.,y軸,跟蹤練習2 （2009寧夏海南改編）已知a=(-3, 2),b=(-1,0)，向量a+b與a-2b垂直，則實數(shù) 的值為 . 解析 a=(-3,2),b=(-1,0), a+b=(-3-1,2), a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）. 由（a+b）(a-2b),知4+3+1=0. =-,【例3】已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a -b, 且uv，求實數(shù)x的值. 兩個向量共線的充要條件在解題中具有 重要的應用，一般地，如果已知兩向量共線， 求某些參數(shù)的值，則利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 則ab的充要條件是x1y2-x2y1=0”比較簡捷. 解 因為a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4), v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3), 又因為uv，所以3(2x+1)-4(2-x)=0, 即10x=5,解得x= .,分析,跟蹤練習3 平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1, 2),c=(4,1).回答下列問題： （1）若（a+kc）(2b-a)，求實數(shù)k; (2)設(shè)d=(x,y)滿足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d. 解 （1）（a+kc）（2b-a）， 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, k=- . （2）d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1,【例4】(14分)已知點A（1，0）、B（0，2）、 C （-1，-2），求以A、B、C為頂點的平行四 邊形的第四個頂點D的坐標. “以A、B、C為頂點的平行四邊形”可以 有三種情況：（1）ABCD；（2）ADBC； （3）ABDC. 解題示范 解 設(shè)D的坐標為（x,y）. (1)若是ABCD，則由AB=DC得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y),分析,D點的坐標為（0，-4）（如圖中的D1）.4分 （2）若是ADBC，則由AD=CB得 （x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2）， 即(x-1,y)=(1,4). 解得x=2,y=4. D點坐標為（2，4）（如圖中的D2）. 8分 （3）若是ABDC，則由AB=CD得 （0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2). 解得x=-2,y=0.,D點的坐標為（-2，0）（如圖中的D3）. 12分 綜上所述，以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標為（0，-4）或（2，4）或 （-2，0）. 14分,跟蹤練習4 已知點A（-1，2），B（2，8）以 及AC= AB，DA=- BA，求點C、D的坐標 和向量CD的坐標. 解 設(shè)點C、D的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2), 由題意得AC=（x1+1,y1-2）,AB=(3,6), DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). 因為AC= AB,DA=- BA, 所以點C、D的坐標分別是（0,4）,（-2,0）, 因此CD=（-2，-4）.,思想方法 感悟提高 高考動態(tài)展望 平面向量的坐標運算法則是運算的關(guān)鍵，也是歷年高考考查的一個重點內(nèi)容.平面向量的坐標運算可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，運用它可以解決平面幾何（如解三角形）、三角函數(shù)和解析幾何中的一些問題，突出對數(shù)形結(jié)合思想的考查.,方法規(guī)律總結(jié) 1.坐標的引入使向量的運算完全代數(shù)化，成了數(shù)形 結(jié)合的載體，也加強了向量與解析幾何的聯(lián)系. 2.借助于向量可以方便地解決定比分點問題. 在處理分點問題,比如碰到條件“若P是線段AB 的分點，且|PA|=2|PB|”時，P可能是AB的內(nèi) 分點，也可能是AB的外分點，即可能的結(jié)論有： AP=2PB或AP=-2PB. 3.中點坐標公式：P1（x1,y1）,P2(x2,y2),則P1P2的 中點P的坐標為 ABC中,若A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,則 ABC的重心G的坐標為,定時檢測 一、填空題 1.（2009天津漢沽一中模擬）已知平面向量a= （1，1），b=(1,-1),則向量 a- b= . 解析,(-1,2),2.(2010湖南衡陽四校聯(lián)考)已知向量a=(2,3), b=(-1,2)，若ma+nb與a-2b共線，則 . 解析 ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n, 3m+2n), a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1). 由于ma+nb與a-2b共線，則有 n-2m=12m+8n，,3.(2009寧夏、海南改編)已知a=(-3,2),b= (-1,0)，向量a+b與a-2b垂直，則實數(shù)的值 為 . 解析 a=(-3,2),b=(-1,0), a+b=(-3-1,2), a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）. 由（a+b）(a-2b) 知4+3+1=0. =,4.（2009湖北理改編）已知P=a|a=(1,0)+ m(0,1),mR，Q=b|b=(1,1)+n(-1,1),nR 是兩個向量集合，則PQ= . 解析 P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR =a|a=(1,m),Q=b|b=(1-n,1+n),nR, a=b=(1,1), PQ=(1,1).,(1,1),5.（2009山東濰坊一模）已知向量a= b=（x，1）,其中x0,若（a-2b）（2a+b）, 則x的值為 . 解析 a-2b=(8-2x, x-2),2a+b=(16+x,x+1), 由已知（a-2b）(2a+b),顯然2a+b0， 故有（8-2x, x-2）=(16+x,x+1) 8-2x=(16+x) x-2=(x+1)， 解得x=4(x0).,4,即,6.（2010泰州模擬）已知向量a=(2,4),b=(1,1), 若向量b(a+b)，則實數(shù)的值是 . 解析 a+b=(2,4)+(1,1)=(2+,4+). b(a+b),b(a+b)=0, 即(1,1)（2+,4+）=2+4+=6+2=0, =-3.,-3,7.（2008遼寧文）已知四邊形ABCD的頂點 A （0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且 BC= 2AD，則頂點D的坐標為 . 解析 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 設(shè)D（x，y),AD=(x,y-2),BC=2AD, (4,3)=(2x,2y-4).x=2,y= .,8.（2009遼寧改編）在平面直角坐標系xOy中， 四邊形ABCD的邊ABDC,ADBC.已知A（-2, 0）,B（6,8）,C（8,6）則D點的坐標為 . 解析 設(shè)D點的坐標為（x,y）,由題意知BC= AD, 即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2, D(0,-2).,(0,-2),9.（2009浙江改編）已知向量a=（1，2）， b=(2,-3).若向量c滿足（c+a）b,c(a+b), 則c= . 解析 設(shè)c=（x,y）,則c+a=(x+1,y+2), 又（c+a）b,2(y+2)+3(x+1)=0. 又c（a+b）,(x,y)（3，-1）=3x-y=0. 解得x= ,y=,二、解答題 10.（2009江蘇金陵中學三模）已知A（-2，4）、 B（3,-1）、C（-3,-4）且CM=3CA,CN=2CB, 求點M、N及MN的坐標. 解 A（-2,4）、B（3,-1）、C（-3,-4）, CA=（1，8），CB=（6，3）， CM=3CA=（3，24），CN=2CB=（12，6). 設(shè)M（x，y），則有CM=（x+3，y+4）， x+3=3 x=0 y+4=24， y=20, M點的坐標為（0，20）.,同理可求得N點坐標為（9，2），因此 MN=（9，-18）， 故所求點M、N的坐標分別為（0，20）、 （9，2）， MN的坐標為（9，-18）.,11.（2010江蘇丹陽高級中學一模）已知A （-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）. 設(shè) AB=a，BC=b，CA=c，且CM=3c，CN=-2b， （1）求3a+b-3c； （2）求滿足a=mb+nc的實數(shù)m，n. 解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3