線性代數(shù)綜合練習題三.ppt

線 性 代 數(shù) 綜 合 練 習 題 （三）,一、填空題：,解：把行列式按第一列展開,第一個行列式按第三行展開，第二個行列式按第一行展開，,解：因為A為四階方陣，且秩為2，所以A的任何3階子式為零，而A的伴隨矩陣 的元素為A的3階子式，故 為零矩陣，所以 0。,解： 對下面矩陣施行初等行變換,解：因為A的任意行和為2，所以,所以5為 的一個特征值 。,解：,所以答案為,二、選擇題,線性相關,線性無關,線性表示,線性表示,答: 正確的結論為C.,解：因為f為正定二次型，所以二次型矩陣A為正定矩陣，故A的行列式大于零，即,解得,所以選(c).,解：因為AB為m階方陣，當 時，有,所以選(b).,4、A為n階方陣，則 必為,正交陣； (b) 對稱陣; (c) 可逆陣； (d) 正定陣。,解：,所以 為對稱矩陣。,5、設n階方陣A，B，C滿足ABC=E，則下面結論正確的是,(a) ACB=E; (b) CBA=E; (c) BAC=E; (d) BCA=E.,解：因為ABC=E，所以A可逆， 且A的逆矩陣為BC，因此有,BCA=E，故選(d).,故選(d).,1. 設三階矩陣,其中 均為三維行向量.且,求,解:,三，計算下面各題：,解： 因為 是三個三維向量，故只需證明它們線性無關即可，也就是由它們?yōu)榱袠嫵傻木仃?A與單位矩陣E等價，而 由它們線行表示，就是求方程組 的解 ，因此對矩陣,施行初等行變換,其中,為AX=b的解，,為AX=b的一個特解，,為方程組AX=0的兩個解，且是線性無關的，所以可以作為基礎解系，因此非齊次線性方程組的通解為,(其中 為任意實數(shù)),解：由已知得,5、設向量組A：,解：由 為列構成矩陣A，并對其施行初等行變換，,所以，秩 為3，,為一個極大無關組。,四、設線性方程組,判斷其相容性，若相容，求出其所有解。,解：對增廣矩陣B=(A b)施行初等行變換,可知R(A)=R(B)=3,所以方程組是相容的，其同解方程組為,取 為自由未知量，得方程組的所有解為,(其中 c 為任意實數(shù))。,五、設方陣,問：A是否可以對角化，若 可以，求出一個正交陣，使其化為對角陣。,解：因為A是一個實對稱矩陣，所以必存在一個正交矩陣P，使 即A能對角化；,解特征方程 得A的 特征值，,得基礎解系的解向量為,它們已經(jīng)正交，只需單位化取,得基礎解系的解向量為,為列構成的矩陣P 既為所求的正交矩陣，易證,其中,解：二次型矩陣為,解A的特征多項式,即,解得A的特征值為,當 時，解方程組,當 時，解方程組,得基礎解系,當 時，解方程組,得基礎解系,單位化得,