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線 性 代 數(shù) 綜 合 練 習(xí) 題 (三),一、填空題:,解:把行列式按第一列展開,第一個(gè)行列式按第三行展開,第二個(gè)行列式按第一行展開,,解:因?yàn)锳為四階方陣,且秩為2,所以A的任何3階子式為零,而A的伴隨矩陣 的元素為A的3階子式,故 為零矩陣,所以 0。,解: 對下面矩陣施行初等行變換,解:因?yàn)锳的任意行和為2,所以,所以5為 的一個(gè)特征值 。,解:,所以答案為,二、選擇題,線性相關(guān),線性無關(guān),線性表示,線性表示,答: 正確的結(jié)論為C.,解:因?yàn)閒為正定二次型,所以二次型矩陣A為正定矩陣,故A的行列式大于零,即,解得,所以選(c).,解:因?yàn)锳B為m階方陣,當(dāng) 時(shí),有,所以選(b).,4、A為n階方陣,則 必為,正交陣; (b) 對稱陣; (c) 可逆陣; (d) 正定陣。,解:,所以 為對稱矩陣。,5、設(shè)n階方陣A,B,C滿足ABC=E,則下面結(jié)論正確的是,(a) ACB=E; (b) CBA=E; (c) BAC=E; (d) BCA=E.,解:因?yàn)锳BC=E,所以A可逆, 且A的逆矩陣為BC,因此有,BCA=E,故選(d).,故選(d).,1. 設(shè)三階矩陣,其中 均為三維行向量.且,求,解:,三,計(jì)算下面各題:,解: 因?yàn)?是三個(gè)三維向量,故只需證明它們線性無關(guān)即可,也就是由它們?yōu)榱袠?gòu)成的矩陣 A與單位矩陣E等價(jià),而 由它們線行表示,就是求方程組 的解 ,因此對矩陣,施行初等行變換,其中,為AX=b的解,,為AX=b的一個(gè)特解,,為方程組AX=0的兩個(gè)解,且是線性無關(guān)的,所以可以作為基礎(chǔ)解系,因此非齊次線性方程組的通解為,(其中 為任意實(shí)數(shù)),解:由已知得,5、設(shè)向量組A:,解:由 為列構(gòu)成矩陣A,并對其施行初等行變換,,所以,秩 為3,,為一個(gè)極大無關(guān)組。,四、設(shè)線性方程組,判斷其相容性,若相容,求出其所有解。,解:對增廣矩陣B=(A b)施行初等行變換,可知R(A)=R(B)=3,所以方程組是相容的,其同解方程組為,取 為自由未知量,得方程組的所有解為,(其中 c 為任意實(shí)數(shù))。,五、設(shè)方陣,問:A是否可以對角化,若 可以,求出一個(gè)正交陣,使其化為對角陣。,解:因?yàn)锳是一個(gè)實(shí)對稱矩陣,所以必存在一個(gè)正交矩陣P,使 即A能對角化;,解特征方程 得A的 特征值,,得基礎(chǔ)解系的解向量為,它們已經(jīng)正交,只需單位化取,得基礎(chǔ)解系的解向量為,為列構(gòu)成的矩陣P 既為所求的正交矩陣,易證,其中,解:二次型矩陣為,解A的特征多項(xiàng)式,即,解得A的特征值為,當(dāng) 時(shí),解方程組,當(dāng) 時(shí),解方程組,得基礎(chǔ)解系,當(dāng) 時(shí),解方程組,得基礎(chǔ)解系,單位化得,
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