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第三講導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用一、選擇題1設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),yf(x)圖象如下圖所示,則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能為 答案:D2(2009江西)設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2,曲線yg(x)在點(1,g(1)處的切線方程為y2x1,則曲線yf(x)在點(1,f(1)處切線的斜率為 () A4 B C2 D解析:依題意得f(x)g(x)2x,f(1)g(1)24.答案:A3(2010江西)等比數(shù)列an中,a12,a84,函數(shù)f(x)x(xa1)(xa2)(xa8),則f(0) ()A26 B29 C212 D215解析:函數(shù)f(x)的展開式含x項的系數(shù)為a1a2a8(a1a8)484212,而f(0)a1a2a8212,故選C.答案:C4若f(x)x2bln(x2)在(1,)上是減函數(shù),則b的取值范圍是 ()A1,) B(1,)C(,1 D(,1)解析:由題意知f(x)x0,x(1,),即f(x)0,即x22xb(x1)21b0.1b0,b1.答案:C5(2010天津理)設(shè)函數(shù)f(x)xln x(x0),則方程f(x)0 ()A在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均有實根B在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均無實根C在區(qū)間內(nèi)有實根,在區(qū)間(1,e)內(nèi)無實根D在區(qū)間內(nèi)無實根,在區(qū)間(1,e)內(nèi)有實根解析:因為f(x),令f(x)0,則x3.當(dāng)x(0,3)時,f(x)0,因此f(x)在內(nèi)無零點又f(1)f(e)0)(1)當(dāng)a1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若f(x)在(0,1上的最大值為,求a的值解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,2),f(x)a.(1)當(dāng)a1時,f(x),所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2)(2)當(dāng)x(0,1時f(x)a0,即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增,故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)a,因此a.11(2010課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)ex1xax2.(1)若a0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)x0時f(x)0,求a的取值范圍解:(1)a0時,f(x)ex1x,f(x)ex1,當(dāng)x(,0)時,f(x)0.故f(x)在(,0)單調(diào)減少,在(0,)單調(diào)增加(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x,當(dāng)且僅當(dāng)x0時等號成立故f(x)x2ax(12a)x,從而當(dāng)12a0,即a時,f(x)0(x0),而f(0)0,于是當(dāng)x0時,f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)從而當(dāng)a時,f(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a),故當(dāng)x(0,ln 2a)時,f(x)0,而f(0)0,于是當(dāng)x(0,ln 2a)時,f(x)0,b0,證明:.解:(1)f(x),g(x)(x0),由已知得解得a,xe2,兩條曲線交點的坐標(biāo)為(e2,e)切線的斜率為kf(e2),切線的方程為ye(xe2)(2)由條件知h(x)aln x(x0),h(x),(i)當(dāng)a0時,令h(x)0,解得x4a2,當(dāng)0x4a2時,h(x)4a2時, h(x)0,h(x)在(4a2,)上遞增x4a2是h(x)在(0,)上的唯一極值點,且是極小值點,從而也是h(x)的最小值點最小值(a)h(4a2)2aaln 4a22a(1ln 2a)(ii)當(dāng)a0時,h(x)0,h(x)在(0,)上遞增,無最小值故h(x)的最小值(a)的解析式為(a)2a(1ln 2a)(a0)(3)證明:
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