人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)第22章二次函數(shù)22.1用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式講義

合作探究探究點(diǎn)1 用配方法將一般形式化為頂點(diǎn)式情景激疑在前面我們研究了及的形式的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，那么一般形式的二次函數(shù)能否通過(guò)轉(zhuǎn)化為的形式來(lái)研究它的圖象與性質(zhì)呢？轉(zhuǎn)化的方法又是什么呢？下面我們通過(guò)畫出二次函數(shù)的圖象來(lái)感受這一轉(zhuǎn)化過(guò)程知識(shí)講解二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的形狀與拋物線的形狀完全相同，只是位置不同，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是直線，二次函數(shù)的圖象具有如下性質(zhì)當(dāng)a0時(shí)，拋物線的開口向上，時(shí)，y隨x的增大而減?。?，時(shí)，y隨x的增大而增大；時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)當(dāng)a0時(shí)，拋物線的開口向下，時(shí)，y隨x的增大而增大；時(shí)，y隨x的增大而減小；時(shí)y取得最大值即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).二次函數(shù)可通過(guò)配方法化為的形式，則拋物線可由拋物線平移得到，二次函數(shù)的圖象可由拋物線向左（或向右）平移個(gè)單位，再向上（或向下）下平移個(gè)單位而得到.典例剖析例1 畫出二次函數(shù)的圖象解析 本題主要考查二次函數(shù)圖象的畫法，先確定二次數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后列表、描點(diǎn)、連線答案 所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）列表x.-10123.y.-4242-4.描點(diǎn)、連線規(guī)律方法畫二次函數(shù)的圖象先確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后列表，列表時(shí)先列頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后對(duì)稱地向兩邊取值，再描點(diǎn)、連線類題突破1 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) D.（-3,4)答案A點(diǎn)撥 配方：所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-4)類題突破2 拋物線經(jīng)過(guò)平移得到拋物線，則平移的方法是（ ）A向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位B.向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位C向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位D向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位答案D點(diǎn)撥 由拋物線平移為拋物線需向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位探究點(diǎn)2 （高頻考點(diǎn)）拋物線與a，b，C的符號(hào)的關(guān)系知識(shí)講解作用說(shuō)明a決定開口方向a0開口向上a0交點(diǎn)在y軸正半軸c=0拋物線過(guò)原點(diǎn)c0,a,b同號(hào)對(duì)稱軸在軸y左側(cè)ab0,ab不同號(hào)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)決定頂點(diǎn)的位置典例剖析例2 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，試判斷abc，2ab，abc，abc的符號(hào)思路圖示 判斷a，bc符號(hào)abc的符號(hào)對(duì)稱軸與1的關(guān)系2ab的符號(hào)x1的函數(shù)值abc的符號(hào)答案 拋物線開口向上，a0,b0拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方c0.,-b2a2a+b0abc0，2ab0，abc0，a-bc0規(guī)律總結(jié)拋物線的位置與函數(shù)解析式中系數(shù)a，b，c的關(guān)系如下：a決定拋物線的開口方向和增減性；c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置；a，b共同決定拋物線的對(duì)稱軸的位置，簡(jiǎn)記作“左同右異”，除了二次函數(shù)解析式的系數(shù)本身的符號(hào)外，有時(shí)還需借助圖象對(duì)自變量取某些特殊值時(shí)的函數(shù)值進(jìn)行考察，比如當(dāng)x1時(shí)，abc的情況：當(dāng)x-1時(shí)，abc的情況等等類題突破3 如圖，若a0，b0，c0，則二次函數(shù)的大致圖象為答案 B點(diǎn)撥a0，開口向下，排除C；c0，二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在x軸的下方，排除A；a0，b0，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，排除D；則只有B滿足開口向下，與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)的特征探究點(diǎn)3 利用確定解析式知識(shí)講解確定二次函數(shù)解析式，就是要確定解析式中的待定系數(shù)（常數(shù)）由已知條件（如二次函數(shù)圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)）列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，求出待定系數(shù)，就可以寫出二次函數(shù)的解析式（1）若問(wèn)題中沒(méi)有設(shè)出待定系數(shù)，第一步先設(shè)出二次函數(shù)解析式，常用到以下兩種形式：；（2）把圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得到一個(gè)方程組，并求解（3）寫出二次函數(shù)的解析式典例剖析例3 已知拋物線的形狀和開口方向與相同，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）和（1，2），則a_.b_.c=_.解析 由兩個(gè)拋物線形狀、開口方向相同可知a2，把（1，1），（1，2）分別代入可得解得于是a=2,答案 2 方法指導(dǎo)待定系數(shù)法的一般步驟為：設(shè)解折式：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，組成方程組；解方程組；寫出答案類題突破4 如圖，已知拋物載經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0、3），請(qǐng)你確定一個(gè)b的值，使該拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（1，0）和（3，0）之間、你所確定的b的值是_.答案 （答案不唯一）點(diǎn)撥 把（0，3）代入函數(shù)的解析式可得c3，只要是再已知一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可求出b值由“與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（1，0）和（3，0）之間”可選擇滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可，如代入（2，0）可求出探究點(diǎn)4 （高頻考點(diǎn)）利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式知識(shí)講解如果已知條件是二次函數(shù)的最大（?。┲担蛘呤菆D象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，那么一般采用頂點(diǎn)式求解析式典例剖析例4 已知拋物線的頂點(diǎn)為（2，4），與y軸的交點(diǎn)為（0，3），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式解析 當(dāng)已知物線的預(yù)點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）和拋物線上另一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)函數(shù)解析式為求解答案 設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為即，把（0，3）代入，得，解得，所以，可化為，即二次函數(shù)解析式為規(guī)律總結(jié)只要已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，一般設(shè)為的形式易于求解類題突破5 已知拋物線的頂點(diǎn)（2，k）在直線yx1上，且點(diǎn)（1，1）在拋物線上，求拋物線的解析式答案 把（2，k）代人yx1得3，于是設(shè)拋物線解析式為，把（1，1）代入得a31，解得a2于是得拋物線的解析式為3，即點(diǎn)撥 先求出k的值，確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式求拋物線的解析式重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)歸納如下a的取值圖象開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性最值a0向上直線當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)時(shí)，y最小值a0向下直線當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)時(shí)，y最小值例1 已知拋物線，則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=_,滿足y0的x的取值范圍是_，將拋物線向_平移_個(gè)單位，可得到拋物線解析 畫出拋物線由圖象可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x3，當(dāng)y0開口向上a0c與y軸正半軸相交c0與y軸負(fù)半軸相交例2 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)于a、b、c間的關(guān)系判斷正確的是A.abo B.bc0 D.a-b+c0解析 由拋物線的開口向下可知a0；由圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知c0；拋物線的對(duì)稱（直線在y軸左側(cè)，說(shuō)明a、b同號(hào)，則b0，所以b0，bc0，從而排除選項(xiàng)A、B當(dāng)x1時(shí)，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)在第四象限，所以y0，即ya+b+c0：當(dāng)x1時(shí)，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)在第三象限，所以y0，即yabc0故選D答案D類題突破3 如圖所示，二次函數(shù)的圖象開口向上，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）和（1，0），且與y軸相交于負(fù)半軸（1）給出四個(gè)結(jié)論：a0；b0c0：a+bc0其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.（2）給出四個(gè)結(jié)論：abc0；2ab0；ac1；a1其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.答案（1） （2）點(diǎn)拔（1）由圖象可知a0，b0，c0，故正確；把x1代入可得abc0，故正確（2）由（1）易知不正確，由可知2ab0，故正確；當(dāng)x-1時(shí)，y2，a-bc2，當(dāng)x1時(shí)，y0，ab十c0，兩式相加得2a2c2，故ac1故正確；由ac1，c0可知a1，故正確重難點(diǎn)3 與二函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題求圖形的面積要先確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出相應(yīng)垂線段的長(zhǎng)后再求圖形的面積例3 如圖所示，已知拋物線與直線y=xb交于兩點(diǎn)A，B，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），求（1）這個(gè)拋物線與直線的解析式；（2）B點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）AOB的面積.解析 （1）解析式中只有一個(gè)未知系數(shù)，只要知道圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可：（2）B點(diǎn)坐標(biāo)可用兩函數(shù)組成方程組求解; （3）AOB的面積可轉(zhuǎn)化為AOC與COB的面積差求解答案 （1）拋物線ya2，直線yxb都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2），所以拋物線的解析式為，直線的解析式為yx1（2）根據(jù)題意得,解這個(gè)方程組得到點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3）因直線與x軸交于點(diǎn)C（1，0），所以方法指導(dǎo)求三角形的面積時(shí)，往往把一些不特殊的三角形轉(zhuǎn)化為一些邊在坐標(biāo)軸上的三角形的面積的差或和，本題就是把AOB的面積轉(zhuǎn)化成AOC和COB的面積的差，AOC和COB都是以x軸上的線段為底類題突破4 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)C且ABC的面積等于10求C點(diǎn)的坐標(biāo)答案 拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），（1，0），又因，所以ABC的邊AB上的高為5于是點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為5，把代入，得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一2，5）或（4，5）重難點(diǎn)4 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式通常有兩種形式：一般式為；頂點(diǎn)式為確定二次函數(shù)的解析式時(shí)常用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式的步驟如下第一步，設(shè)：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，如或第二步，代：將題中所給條件代入二次函數(shù)的解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程（組）；第三步，解：解此方程或方程組，求待定系數(shù)第四步，還原：將求出的待定系數(shù)還原到解析式中在設(shè)函數(shù)的解析式時(shí)，一定要根據(jù)題中所給條件選擇合適的形式：當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值、最小值時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為：當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為例4 已知拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且還經(jīng)過(guò)（1，6）和（1，0）兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；解析 由已知的三點(diǎn)，可選用一般式、從而得到關(guān)于a、b、c三元一次方程組，解方程組求出a、b、c的值，就可求得拋物線的解析式答案 設(shè)所求的拋物線的解析式為拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)、（1，-6）、（-1，0）把三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入有，即，解方程組可得，拋物線的解析式為規(guī)律總結(jié)此題“一設(shè)”“二代”:把已知條件代入解析式;“三解”:解方程組;“四寫”:寫出拋物線解析式。類題突破5 2019年5月2229日在美麗的青島市舉行了蘇迪曼杯羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽，在比賽中，某次羽毛球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分，其中出球點(diǎn)B離地面O點(diǎn)的距離是1m.球落地點(diǎn)A到O點(diǎn)的距離是4m,那么這條拋物線的解析式是（ ）A.B.C.D. 答案A點(diǎn)撥 根據(jù)出球點(diǎn)B離地面O 點(diǎn)的距離是1m,球落地點(diǎn)A到O點(diǎn)的距離是4m,可知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4、0），(0,1)且點(diǎn)在拋物線上將A（4，0），B（0、1）坐標(biāo)分別代入拋物線解析式可得故選A例5 已知二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)P（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），則這個(gè)函數(shù)的解析式為_.解析 設(shè)所求函數(shù)的解析式為，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），即h1，k3所求的二次函數(shù)為圖象過(guò)P（2，0）點(diǎn)，解得a3函數(shù)的解析式為，即答案 誤區(qū)警示不能熟記頂點(diǎn)式的形式，將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入時(shí)橫坐標(biāo)常出符號(hào)錯(cuò)誤類題突破6 二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，6），許且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）求這個(gè)函數(shù)的解析式答案 因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，6）所以可以設(shè)二次函數(shù)的解析式為又因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），將坐標(biāo)代入上式，得解得 a1所以，這個(gè)二次函數(shù)的解析式是易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1 求二次函數(shù)的最值時(shí)忽略了自變量的取值范圍例1 求二次函數(shù) 的最值，錯(cuò)解 由配方，得，函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,該函數(shù)的最小值是 ,無(wú)最大值錯(cuò)因分析 本題只是通過(guò)配方確定函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而就確定了最值，而忽略了自變量的取值范圍，因此導(dǎo)致出錯(cuò)。正解:，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大.又x6,y存在最小值，即當(dāng)x=6時(shí)，y的最小值為.無(wú)最大值，糾錯(cuò)心得 在討論函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，一定要注