人教版九年級數(shù)學第22章二次函數(shù)22.1用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式講義

合作探究探究點1 用配方法將一般形式化為頂點式情景激疑在前面我們研究了及的形式的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，那么一般形式的二次函數(shù)能否通過轉(zhuǎn)化為的形式來研究它的圖象與性質(zhì)呢？轉(zhuǎn)化的方法又是什么呢？下面我們通過畫出二次函數(shù)的圖象來感受這一轉(zhuǎn)化過程知識講解二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的形狀與拋物線的形狀完全相同，只是位置不同，拋物線的頂點坐標是，對稱軸是直線，二次函數(shù)的圖象具有如下性質(zhì)當a0時，拋物線的開口向上，時，y隨x的增大而減?。?，時，y隨x的增大而增大；時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點當a0時，拋物線的開口向下，時，y隨x的增大而增大；時，y隨x的增大而減??；時y取得最大值即頂點是拋物線的最高點.二次函數(shù)可通過配方法化為的形式，則拋物線可由拋物線平移得到，二次函數(shù)的圖象可由拋物線向左（或向右）平移個單位，再向上（或向下）下平移個單位而得到.典例剖析例1 畫出二次函數(shù)的圖象解析 本題主要考查二次函數(shù)圖象的畫法，先確定二次數(shù)的頂點坐標，然后列表、描點、連線答案 所以拋物線的頂點坐標為（1，4）列表x.-10123.y.-4242-4.描點、連線規(guī)律方法畫二次函數(shù)的圖象先確定拋物線的頂點坐標，然后列表，列表時先列頂點坐標，然后對稱地向兩邊取值，再描點、連線類題突破1 拋物線的頂點坐標為（ ）A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) D.（-3,4)答案A點撥 配方：所以頂點坐標為（3，-4)類題突破2 拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，則平移的方法是（ ）A向左平移1個單位，再向下平移3個單位B.向左平移1個單位，再向上平移3個單位C向右平移1個單位，再向下平移3個單位D向右平移1個單位，再向上平移3個單位答案D點撥 由拋物線平移為拋物線需向右平移1個單位，再向上平移3個單位探究點2 （高頻考點）拋物線與a，b，C的符號的關(guān)系知識講解作用說明a決定開口方向a0開口向上a0交點在y軸正半軸c=0拋物線過原點c0,a,b同號對稱軸在軸y左側(cè)ab0,ab不同號對稱軸在y軸右側(cè)決定頂點的位置典例剖析例2 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，試判斷abc，2ab，abc，abc的符號思路圖示 判斷a，bc符號abc的符號對稱軸與1的關(guān)系2ab的符號x1的函數(shù)值abc的符號答案 拋物線開口向上，a0,b0拋物線與y軸的交點在x軸的下方c0.,-b2a2a+b0abc0，2ab0，abc0，a-bc0規(guī)律總結(jié)拋物線的位置與函數(shù)解析式中系數(shù)a，b，c的關(guān)系如下：a決定拋物線的開口方向和增減性；c決定拋物線與y軸交點的位置；a，b共同決定拋物線的對稱軸的位置，簡記作“左同右異”，除了二次函數(shù)解析式的系數(shù)本身的符號外，有時還需借助圖象對自變量取某些特殊值時的函數(shù)值進行考察，比如當x1時，abc的情況：當x-1時，abc的情況等等類題突破3 如圖，若a0，b0，c0，則二次函數(shù)的大致圖象為答案 B點撥a0，開口向下，排除C；c0，二次函數(shù)圖象與y軸交點在x軸的下方，排除A；a0，b0，對稱軸在y軸的右側(cè)，排除D；則只有B滿足開口向下，與y軸交點在y軸負半軸，對稱軸在y軸右側(cè)的特征探究點3 利用確定解析式知識講解確定二次函數(shù)解析式，就是要確定解析式中的待定系數(shù)（常數(shù)）由已知條件（如二次函數(shù)圖象上三個點的坐標）列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，求出待定系數(shù)，就可以寫出二次函數(shù)的解析式（1）若問題中沒有設(shè)出待定系數(shù)，第一步先設(shè)出二次函數(shù)解析式，常用到以下兩種形式：；（2）把圖象上點的坐標分別代入，得到一個方程組，并求解（3）寫出二次函數(shù)的解析式典例剖析例3 已知拋物線的形狀和開口方向與相同，并且經(jīng)過點（1，1）和（1，2），則a_.b_.c=_.解析 由兩個拋物線形狀、開口方向相同可知a2，把（1，1），（1，2）分別代入可得解得于是a=2,答案 2 方法指導待定系數(shù)法的一般步驟為：設(shè)解折式：把點的坐標代入解析式，組成方程組；解方程組；寫出答案類題突破4 如圖，已知拋物載經(jīng)過點（0、3），請你確定一個b的值，使該拋物線與x軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間、你所確定的b的值是_.答案 （答案不唯一）點撥 把（0，3）代入函數(shù)的解析式可得c3，只要是再已知一個點的坐標代入解析式就可求出b值由“與x軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間”可選擇滿足條件的點的坐標代入即可，如代入（2，0）可求出探究點4 （高頻考點）利用頂點式確定二次函數(shù)解析式知識講解如果已知條件是二次函數(shù)的最大（?。┲担蛘呤菆D象的頂點坐標，那么一般采用頂點式求解析式典例剖析例4 已知拋物線的頂點為（2，4），與y軸的交點為（0，3），求這個二次函數(shù)的解析式解析 當已知物線的預點坐標（h，k）和拋物線上另一點的坐標時，通常設(shè)函數(shù)解析式為求解答案 設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為即，把（0，3）代入，得，解得，所以，可化為，即二次函數(shù)解析式為規(guī)律總結(jié)只要已知拋物線的頂點坐標，一般設(shè)為的形式易于求解類題突破5 已知拋物線的頂點（2，k）在直線yx1上，且點（1，1）在拋物線上，求拋物線的解析式答案 把（2，k）代人yx1得3，于是設(shè)拋物線解析式為，把（1，1）代入得a31，解得a2于是得拋物線的解析式為3，即點撥 先求出k的值，確定拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式求拋物線的解析式重點難點重難點1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)歸納如下a的取值圖象開口方向頂點坐標對稱軸增減性最值a0向上直線當時，y隨x的增大而減??；當時，y隨x的增大而增大當時，y最小值a0向下直線當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小當時，y最小值例1 已知拋物線，則拋物線的對稱軸為直線x=_,滿足y0的x的取值范圍是_，將拋物線向_平移_個單位，可得到拋物線解析 畫出拋物線由圖象可得拋物線的對稱軸為直線x3，當y0開口向上a0c與y軸正半軸相交c0與y軸負半軸相交例2 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)于a、b、c間的關(guān)系判斷正確的是A.abo B.bc0 D.a-b+c0解析 由拋物線的開口向下可知a0；由圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上可知c0；拋物線的對稱（直線在y軸左側(cè)，說明a、b同號，則b0，所以b0，bc0，從而排除選項A、B當x1時，對應(yīng)的坐標在第四象限，所以y0，即ya+b+c0：當x1時，對應(yīng)的坐標在第三象限，所以y0，即yabc0故選D答案D類題突破3 如圖所示，二次函數(shù)的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點（1，2）和（1，0），且與y軸相交于負半軸（1）給出四個結(jié)論：a0；b0c0：a+bc0其中正確結(jié)論的序號是_.（2）給出四個結(jié)論：abc0；2ab0；ac1；a1其中正確結(jié)論的序號是_.答案（1） （2）點拔（1）由圖象可知a0，b0，c0，故正確；把x1代入可得abc0，故正確（2）由（1）易知不正確，由可知2ab0，故正確；當x-1時，y2，a-bc2，當x1時，y0，ab十c0，兩式相加得2a2c2，故ac1故正確；由ac1，c0可知a1，故正確重難點3 與二函數(shù)有關(guān)的面積問題求圖形的面積要先確定相關(guān)點的坐標，根據(jù)點的坐標求出相應(yīng)垂線段的長后再求圖形的面積例3 如圖所示，已知拋物線與直線y=xb交于兩點A，B，若A點坐標為（1，2），求（1）這個拋物線與直線的解析式；（2）B點的坐標；（3）AOB的面積.解析 （1）解析式中只有一個未知系數(shù)，只要知道圖象上一個點的坐標即可：（2）B點坐標可用兩函數(shù)組成方程組求解; （3）AOB的面積可轉(zhuǎn)化為AOC與COB的面積差求解答案 （1）拋物線ya2，直線yxb都經(jīng)過點A（1，2），所以拋物線的解析式為，直線的解析式為yx1（2）根據(jù)題意得,解這個方程組得到點B的坐標是（3）因直線與x軸交于點C（1，0），所以方法指導求三角形的面積時，往往把一些不特殊的三角形轉(zhuǎn)化為一些邊在坐標軸上的三角形的面積的差或和，本題就是把AOB的面積轉(zhuǎn)化成AOC和COB的面積的差，AOC和COB都是以x軸上的線段為底類題突破4 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，在x軸上方的拋物線上有一點C且ABC的面積等于10求C點的坐標答案 拋物線與x軸交點的坐標為（3，0），（1，0），又因，所以ABC的邊AB上的高為5于是點C的縱坐標為5，把代入，得，所以點C的坐標為（一2，5）或（4，5）重難點4 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式通常有兩種形式：一般式為；頂點式為確定二次函數(shù)的解析式時常用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式的步驟如下第一步，設(shè)：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，如或第二步，代：將題中所給條件代入二次函數(shù)的解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程（組）；第三步，解：解此方程或方程組，求待定系數(shù)第四步，還原：將求出的待定系數(shù)還原到解析式中在設(shè)函數(shù)的解析式時，一定要根據(jù)題中所給條件選擇合適的形式：當已知拋物線上的三點坐標時，可設(shè)函數(shù)的解析式為；當已知拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最大值、最小值時，可設(shè)函數(shù)的解析式為：當已知拋物線與x軸的兩個交點時，可設(shè)函數(shù)的解析式為例4 已知拋物線與y軸交點的縱坐標為，且還經(jīng)過（1，6）和（1，0）兩點，求拋物線的解析式；解析 由已知的三點，可選用一般式、從而得到關(guān)于a、b、c三元一次方程組，解方程組求出a、b、c的值，就可求得拋物線的解析式答案 設(shè)所求的拋物線的解析式為拋物線經(jīng)過三點、（1，-6）、（-1，0）把三點坐標分別代入有，即，解方程組可得，拋物線的解析式為規(guī)律總結(jié)此題“一設(shè)”“二代”:把已知條件代入解析式;“三解”:解方程組;“四寫”:寫出拋物線解析式。類題突破5 2019年5月2229日在美麗的青島市舉行了蘇迪曼杯羽毛球混合團體錦標賽，在比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線的一部分，其中出球點B離地面O點的距離是1m.球落地點A到O點的距離是4m,那么這條拋物線的解析式是（ ）A.B.C.D. 答案A點撥 根據(jù)出球點B離地面O 點的距離是1m,球落地點A到O點的距離是4m,可知A，B兩點坐標分別為（4、0），(0,1)且點在拋物線上將A（4，0），B（0、1）坐標分別代入拋物線解析式可得故選A例5 已知二次函數(shù)圖象過點P（2，0），頂點坐標為（1，3），則這個函數(shù)的解析式為_.解析 設(shè)所求函數(shù)的解析式為，則頂點坐標為（h，k）頂點坐標為（1，3），即h1，k3所求的二次函數(shù)為圖象過P（2，0）點，解得a3函數(shù)的解析式為，即答案 誤區(qū)警示不能熟記頂點式的形式，將頂點坐標代入時橫坐標常出符號錯誤類題突破6 二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（1，6），許且圖象經(jīng)過點（2，3）求這個函數(shù)的解析式答案 因為二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（1，6）所以可以設(shè)二次函數(shù)的解析式為又因為圖象經(jīng)過點（2，3），將坐標代入上式，得解得 a1所以，這個二次函數(shù)的解析式是易錯指導易錯點1 求二次函數(shù)的最值時忽略了自變量的取值范圍例1 求二次函數(shù) 的最值，錯解 由配方，得，函數(shù)的圖象的頂點坐標是,該函數(shù)的最小值是 ,無最大值錯因分析 本題只是通過配方確定函數(shù)的頂點坐標，從而就確定了最值，而忽略了自變量的取值范圍，因此導致出錯。正解:，當時，y隨x的增大而增大.又x6,y存在最小值，即當x=6時，y的最小值為.無最大值，糾錯心得 在討論函數(shù)的最值問題時，一定要注