線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述.ppt

1,第一章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,1.1 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述,1.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣,1.5 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,1.4 線性系統(tǒng)等價(jià)的狀態(tài)空間描述,2,1.1 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述,一系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的基本類型,1幾個(gè)基本定義,系統(tǒng)：是由相互關(guān)聯(lián)和相互作用的若干組成部分按一定規(guī)律組合而成的具有特定功能的整體。 對(duì)于控制工程而言，它可能是被控對(duì)象、控制裝置，也可能是某些部件的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋組合。,3,圖1-1 系統(tǒng)的方塊圖表示,圖中方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境; 環(huán)境對(duì)系統(tǒng)施加的作用或激勵(lì)稱為系統(tǒng)輸入， 用向量 表示; 系統(tǒng)對(duì)環(huán)境的作用（即從外部量測(cè)到的系統(tǒng)信 息）稱為系統(tǒng)輸出，用向量 表示； 系統(tǒng)輸入和輸出統(tǒng)稱為系統(tǒng)的外部變量。 描述系統(tǒng)內(nèi)部狀況的變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量， 用向量 表示，它是系統(tǒng)的內(nèi)部變量。,4,主要的數(shù)學(xué)描述,5,2系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的基本類型,1）輸入輸出描述（外部描述）,輸入輸出描述是描述系統(tǒng)輸入輸出變量關(guān)系的模型。如傳遞函數(shù)、微分方程等.,輸入輸出描述（外部描述）僅描述系統(tǒng)的外部特性，不能反映系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征（即不能反映“黑箱”內(nèi)部的某些部分），是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述。,6,例如：,從輸入輸出關(guān)系來(lái)看，它們具有相同的傳遞函數(shù)：,實(shí)際上這兩個(gè)系統(tǒng)是不等價(jià)的，一個(gè)是能觀不能控的，一個(gè)是能控不能觀的。 表明:系統(tǒng)的內(nèi)部特性比起由傳遞函數(shù)表達(dá)的外部特性要復(fù)雜得多，輸入輸出描述沒(méi)有包含系統(tǒng)的全部信息，不能完整的描述一個(gè)系統(tǒng)。,7,2）狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）,狀態(tài)空間描述通過(guò)建立系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和系統(tǒng)的輸入以及輸出之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，來(lái)描述系統(tǒng)的行為。,圖1-3 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）能完全表征系統(tǒng)的一切動(dòng)力學(xué)特征，它是對(duì)系統(tǒng)的一個(gè)完全描述。,8,狀態(tài)空間描述是基于內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析的數(shù)學(xué)模型，通常由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程組成。,狀態(tài)方程：是描述系統(tǒng)內(nèi)部變量 與輸入變量 間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，常具有微分方程或差分方程的形式。 輸出方程：是表征系統(tǒng)內(nèi)部變量 及輸入變量 和輸出變量 間轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，具有代數(shù)方程的形式.,9,系統(tǒng)的狀態(tài) 描述系統(tǒng)的過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)行為的變量組，是用來(lái)完善地描述系統(tǒng)行為的最小的一組變量。,狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是指構(gòu)成系統(tǒng)狀態(tài)的每一個(gè)變量。狀態(tài)變量構(gòu)成的列向量為狀態(tài)向量。,二. 狀態(tài)的含義,10,狀態(tài)變量組可完全地表征系統(tǒng)行為的屬性體現(xiàn)在： 只要給定這組變量 在初始時(shí)刻t0的值，以及輸入變量 在各瞬時(shí)tt0的值，則系統(tǒng)中任何一個(gè)變量在tt0時(shí)的運(yùn)動(dòng)行為就可以被完全確定。,系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,關(guān)于狀態(tài)的幾點(diǎn)說(shuō)明,狀態(tài)變量組的最小性體現(xiàn)在： 狀態(tài)變量 是為完全表征系統(tǒng)行為所必需的系統(tǒng)變量的最少個(gè)數(shù)，減少變量數(shù)將破壞表征的完全性，而增加變量數(shù)將是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。,11,狀態(tài)變量組選取上的不唯一性： 由于系統(tǒng)中變量的個(gè)數(shù)必大于n，而其中僅有n個(gè)是線性無(wú)關(guān)的，因此決定了狀態(tài)變量組在選取上的不唯一性。,系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,關(guān)于狀態(tài)的幾點(diǎn)說(shuō)明,系統(tǒng)的任意選取的兩個(gè)狀態(tài)變量組之間為線性非奇異變換的關(guān)系。,12,狀態(tài)向量：是由狀態(tài)變量所構(gòu)成的向量，即向量 稱為n維狀態(tài)向量。,狀態(tài)空間：以n個(gè)線性無(wú)關(guān)的狀態(tài)變量作為基底所組成的 n 維空間稱為狀態(tài)空間Rn。,狀態(tài)軌線：隨著時(shí)間推移，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在狀態(tài)空間所留下的軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。,13,1狀態(tài)方程（）：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組(連續(xù)時(shí)間系統(tǒng))或一階差分方程組(離散時(shí)間系統(tǒng))稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內(nèi)部狀態(tài)變化，其一般形式為：,或,三 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,14,2輸出方程（）：描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程組稱為系統(tǒng)的輸出方程。其一般形式為：,或,15,3狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱為動(dòng)態(tài)方程或狀態(tài)空間描述。其一般形式為：,連續(xù)系統(tǒng)：,離散系統(tǒng)：,16,4線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程都是線性方程的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分方程或一階向量線性差分方程。,線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：,線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：,（簡(jiǎn)記為 ）,17,式中：若狀態(tài)x、輸入u、輸出y的維數(shù)分別為n, p, q，則,系統(tǒng)矩陣(或狀態(tài)矩陣、系數(shù)矩陣); 控制矩陣（或輸入矩陣）； 觀測(cè)矩陣（或輸出矩陣）； 前饋矩陣（或輸入輸出矩陣）；,18,5線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式()：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述中，若系數(shù)矩陣的各元素都是常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)(線性時(shí)不變系統(tǒng)), 否則為線性時(shí)變系統(tǒng).,線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：,線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：,（簡(jiǎn)記為 ）,（簡(jiǎn)記為 ）,19,圖1-4 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,圖1-5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,注意：1）每一個(gè)方塊的輸入輸出關(guān)系規(guī)定為： 輸出向量 = (方塊所示矩陣)(輸入向量) 2）向量、矩陣的乘法運(yùn)算中，相乘順序不允許任意顛倒。,20,從以上兩個(gè)結(jié)構(gòu)圖中可以看出，D描述了輸入u不經(jīng)狀態(tài)變量x對(duì)輸出y的直接影響，它不影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)外部模型的一部分。 因此，當(dāng)利用狀態(tài)模型來(lái)分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為時(shí)，常假設(shè)D0，并不失對(duì)問(wèn)題討論的一性。,連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)：,連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)：,21,輸入輸出描述僅揭示系統(tǒng)在初始松弛假定下輸入輸出間的關(guān)系，不能揭示系統(tǒng)的內(nèi)部行為。,復(fù)雜的線性系統(tǒng)，求狀態(tài)空間描述較困難，可借助于直接量測(cè)求取輸入輸出描述。,動(dòng)態(tài)方程能夠推廣到時(shí)變情形，而傳遞函數(shù)向時(shí)變情形的推廣是不成功的。,若采用動(dòng)態(tài)方程描述，較容易在計(jì)算機(jī)上對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。,輸入輸出描述和狀態(tài)空間描述的比較,系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,22,1.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法主要有兩種： 1.根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式：屬于分析的途徑，適用于結(jié)構(gòu)和參數(shù)為已知的系統(tǒng)。 直接根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程，繼而選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量，從而導(dǎo)出其狀態(tài)空間表達(dá)式。 2.由系統(tǒng)其它數(shù)學(xué)模型建立狀態(tài)空間表達(dá)式：屬于辨識(shí)的途徑，適用于結(jié)構(gòu)和參數(shù)難以搞清楚的系統(tǒng)。 通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段取得數(shù)據(jù)并采用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定系統(tǒng)的輸入輸出模型，再由所得的系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出相應(yīng)的狀態(tài)空間描述。,23,一根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間描述的基本步驟： 1）根據(jù)系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，建立系統(tǒng)的微分方程或差分方程； 2）選取有關(guān)物理量 (變量) 作為狀態(tài)變量，推導(dǎo)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。,24,例1-1（P403例9-1）：建立RCL網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程,解：根據(jù)各元件的電流與電壓關(guān)系、回路電壓和等于零，得到系統(tǒng)的方程：,系統(tǒng)的輸入、輸出分別為,25,a）選取狀態(tài)變量 ，則狀態(tài)空間描述為：,b）選取狀態(tài)變量 ，則狀態(tài)空間描述為：,狀態(tài)變量選取方法不同，則狀態(tài)空間描述不同。,26,比較兩種狀態(tài)變量選取方法，很容易得到它們之間的變換矩陣：,即,和,注意：該例說(shuō)明系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述不是唯一的，各種描述之間可以相互轉(zhuǎn)換，且不改變系統(tǒng)的固有性質(zhì)。,27,二由系統(tǒng)其它數(shù)學(xué)模型建立狀態(tài)空間表達(dá)式 （即化輸入輸出描述為狀態(tài)空間描述）,狀態(tài)實(shí)現(xiàn)：由輸入-輸出描述建立狀態(tài)空間描述，稱為狀態(tài)實(shí)現(xiàn)。,一個(gè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)有多種形式。在線性系統(tǒng)理論中，要討論某種性質(zhì)時(shí)，為敘述方便，常采用特定的標(biāo)準(zhǔn)形式。,可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 對(duì)角型實(shí)現(xiàn) 約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn),28,1 問(wèn)題的提法,考慮一個(gè)單變量線性定常系統(tǒng)，其輸入輸出描述微分方程如下：,狀態(tài)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題將歸結(jié)為選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組和 確定各個(gè)系數(shù)矩陣。,其中：,或：,29,2. 可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)（）,設(shè),則矩陣形式的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為,式中：,友矩陣,30,總結(jié)：系統(tǒng)矩陣A的上方次對(duì)角線的元素全為1，最后一行是G(s)的特征多項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)的逆序排列，其余元素全為零，上述形式的A陣稱為友矩陣； 控制矩陣（向量）b是最后一個(gè)元素為1，其余元素均為零的列向量；輸出矩陣（向量）c是G(s)分子多項(xiàng)式系數(shù)的逆序排列。若動(dòng)態(tài)方程中的A，b具有這種形式，則為可控標(biāo)準(zhǔn)型。,31,3 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)（）,則矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程為,式中：,友矩陣,32,總結(jié)：系統(tǒng)矩陣A的下方次對(duì)角線的元素均為1，最后一列是G(s)的特征多項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)的逆序排列，其余元算全為零，上述形式的A陣稱為友矩陣； 輸出矩陣（向量）c是最后一個(gè)元素為1，其余元素均為零的行向量；控制矩陣（向量）b是G(s)分子多項(xiàng)式系數(shù)的逆序排列。若動(dòng)態(tài)方程中的A，c具有這種形式，則為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。,33,例1-2（P411例9-5）（）：已知二階系統(tǒng)的微分方程,試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式.,解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,可控標(biāo)準(zhǔn)型：,可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：,34,4 對(duì)角型實(shí)現(xiàn),當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)，還可作對(duì)角型實(shí)現(xiàn)，該實(shí)現(xiàn)形式系統(tǒng)矩陣A是一個(gè)對(duì)角陣。,分母多項(xiàng)式D(s)有n個(gè)單實(shí)極點(diǎn) ，對(duì)傳遞函數(shù)作部分分式展開(kāi)則有 ：,其中： 為G(s)在極點(diǎn) 處的留數(shù)。,35,對(duì)角型實(shí)現(xiàn)為：,或,對(duì)偶關(guān)系,36,例1-3：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,請(qǐng)寫(xiě)出系統(tǒng)的對(duì)角型實(shí)現(xiàn)。,解：1）求系統(tǒng)極點(diǎn)：,故系統(tǒng)有三個(gè)單實(shí)極點(diǎn)，即,2）對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行部分分式展開(kāi)為,即：,37,3）對(duì)角型實(shí)現(xiàn)為：,或,38,5 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),當(dāng)傳遞函數(shù)除含有單實(shí)極點(diǎn)以外，還含有重極點(diǎn)時(shí)，不能作對(duì)角型實(shí)現(xiàn)，但總可以作成分塊對(duì)角形實(shí)現(xiàn)，稱之為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，其系統(tǒng)矩陣A是一個(gè)含有約當(dāng)塊的矩陣。,39,即：,例1-4：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。,解：系統(tǒng)極點(diǎn)為：3重極點(diǎn)1= 3，2重極點(diǎn)4 = - 2， 單極點(diǎn)6 = 1。,部分分式改寫(xiě)為：,40,約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為：,41,或,42,總結(jié)： 1）對(duì)角型實(shí)現(xiàn)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，需要計(jì)算系統(tǒng)的極點(diǎn)(特征值)和特征向量，很不方便。 2）在線性系統(tǒng)理論中，許多定理或性質(zhì)的證明過(guò)程中，使用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是很方便的。 3）在作狀態(tài)實(shí)現(xiàn)時(shí)選用可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型最為方便。如需要其它標(biāo)準(zhǔn)型式，可通過(guò)非奇異變換來(lái)獲取。,43,由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式（自學(xué)P405-409）,由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式的整個(gè)思路與由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式的思路是類似的，所以這里不再詳細(xì)介紹，請(qǐng)參看教材P405-407。 另外，當(dāng)給定系統(tǒng)微分方程時(shí)，可先求出其傳遞函數(shù)，然后按照前面推導(dǎo)的公式直接寫(xiě)出其可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，例如我們?cè)诶?-2種所做的那樣。,44,方法一：,（1）m=0（微分方程右邊不含輸入變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）,選取系統(tǒng)的n個(gè)狀態(tài)變量為,45,寫(xiě)成向量方程的形式：,46,（2）m=n（微分方程右邊含輸入變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）,按如下方法選取狀態(tài)變量組：,47,經(jīng)推導(dǎo)可得：,48,可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：,49,方法二（中間變量法）,令系統(tǒng)的輸入輸出描述微分方程如下：,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,50,引入中間變量z(t),則上式表示為：,對(duì)上面兩式求拉氏反變換：,51,按方法一的方法選取狀態(tài)變量：,52,可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：,53,1.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 (P421),一傳遞函數(shù)矩陣的定義和表達(dá)式,1定義：初始條件為零時(shí)，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換式之間的傳遞關(guān)系稱為傳遞函數(shù)矩陣，簡(jiǎn)稱傳遞矩陣。,2表達(dá)式：設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：,在初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為：,（）,54,證明：在初始條件為零的條件下，作拉普拉斯變換有：,(sI-A)非奇異,55,三點(diǎn)說(shuō)明：,1）若輸入u為p維向量，輸出y為q維向量，則G(s)為(qp)矩陣。Y(s)=G(s)U(s)的展開(kāi)式為：,式中：Gij(s)表示第i個(gè)輸出量與第j個(gè)輸入量之間的傳函。,2）幾個(gè)概念：, 系統(tǒng)的特征矩陣：(sI-A),56,系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：det(sI-A) , n維系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為:,系統(tǒng)的特征方程：, 系統(tǒng)的特征根（或特征值）：特征方程 的根。,3）前饋矩陣D不影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，在分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能時(shí)，通常認(rèn)為D =0，即：,當(dāng)D0時(shí)，G(s)為真有理分式陣； 當(dāng)D=0時(shí)，G(s)為嚴(yán)格真有理分式陣。,57,例1-5（P422例9-10） （） ：已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為,解：,試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。,58,傳遞函數(shù)矩陣為：,59,二G(s)的實(shí)用算法（補(bǔ)充）,結(jié)論：給定狀態(tài)空間描述的系數(shù)矩陣A, B, C, D，求出特征多項(xiàng)式,和,則相應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣就可按下式來(lái)定出：,特別適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算,60,例1-6：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：,求傳遞函數(shù)矩陣G(s)。,解：1) 先定出系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：,2) 再計(jì)算系數(shù)矩陣：,61,3) 傳遞函數(shù)矩陣為:,62,三、計(jì)算特征多項(xiàng)式(s)的算法 萊弗勒算法（補(bǔ)充）,萊弗勒算法：給定nn階常陣A，其特征多項(xiàng)式為：,其系數(shù)i（i=n-1,n-2,1,0）可按如下順序遞推定出：,其中：tr表示矩陣的主對(duì)角線上元素之和，稱為矩陣的跡。 I為n階單位陣。,63,一 坐標(biāo)變換,1 基底 設(shè)在線性空間中有一組線性無(wú)關(guān)向量，若該空 間中的每一個(gè)向量均可唯一地由該組向量的線性組合 表示，則稱該組向量是該線性空間中的一個(gè)基底。 在n維向量空間中，任何n個(gè)線性無(wú)關(guān)向量均可作為 基底。,1.4 線性系統(tǒng)等價(jià)的狀態(tài)空間描述,64,2 坐標(biāo)變換 將系統(tǒng)在狀態(tài)空間的一個(gè)基底上的表征， 化為另一個(gè)基底上的表征。 坐標(biāo)變換是一種非奇異變換。,65,二 線性系統(tǒng)等價(jià)狀態(tài)空間描述,1 線性定常系統(tǒng),對(duì)x進(jìn)行非奇異變換 ，則有,式中： 稱兩種狀態(tài)空間描述是代數(shù)等價(jià)的。,66,2 線性時(shí)變系統(tǒng),對(duì)x進(jìn)行非奇異變換 ，則有,式中：,代數(shù)等價(jià)狀態(tài)空間描述,67,三 代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)的主要性質(zhì),對(duì)于兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng) （1）它們的特征值相同； （2）它們的傳遞函數(shù)矩陣相同。 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，兩個(gè)代數(shù)等價(jià)的狀態(tài)空 間描述，可以化為相同的對(duì)角線規(guī)范形或約 當(dāng)規(guī)范形。,68,對(duì)角規(guī)范形 狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣A具 有對(duì)角形的形式。,約當(dāng)規(guī)范形 狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣A具 有分塊對(duì)角形的形式。,四 狀態(tài)方程的對(duì)角規(guī)范形和約當(dāng)規(guī)范形,69,當(dāng)A的n個(gè)特征值 兩兩互異時(shí) 或當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的n個(gè)特征向量 線性無(wú)關(guān) 此時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以通過(guò)線性非奇異變換，變換為對(duì)角線規(guī)范形形式。,1 化對(duì)角規(guī)范形的條件,70,2 化對(duì)角線規(guī)范形的方法,（1） 當(dāng)A矩陣為一般形式時(shí) 結(jié)論：設(shè)系統(tǒng)滿足化為對(duì)角規(guī)范形的條件，那么 系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換 下必可化為如下 的對(duì)角線規(guī)范形：,其中：,(1) Q矩陣由A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成的。 (2)在對(duì)角規(guī)范形下，各個(gè)狀態(tài)變量間實(shí)現(xiàn)了完全解耦。,71,（2） 當(dāng)A為友矩陣時(shí) 即,當(dāng)A的特征值 兩兩互異時(shí)，則下 列的范德蒙特（Vandermode）矩陣P可使A對(duì)角化：,范德蒙特矩陣,72,1. 5 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（補(bǔ)充）(),組合系統(tǒng)：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的子系統(tǒng)按一定方式相互聯(lián)接而構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。 基本的互聯(lián)方