2011年北京高考數(shù)學(xué)：解析幾何(理,學(xué)生)下.doc

24 題型6：最值問題導(dǎo)數(shù)、不等式、二次函數(shù) 弦長、面積弦長公式1.（06，北京，理）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（）求的方程；（）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.（答案：（1）（2）當(dāng)最小值2 ）2.（10，海淀一模，文）已知橢圓的對稱中心為原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在軸上，離心率為， 且點(diǎn)（1，）在該橢圓上. （i）求橢圓的方程； （ii）過橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若的面積為，求圓心在原點(diǎn)o且與直線相切的圓的方程. （答案：(i)橢圓： (ii)圓：）3.（08，北京，文）已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且（）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長及的面積；（）當(dāng)，且斜邊的長最大時(shí)，求所在直線的方程 （答案：(i)， (ii) 平行線間的距離為三角形的高 所在直線的方程為4.（08，北京，理）已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1（）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值 ( 答案：（1）（2）, 所以當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值 ) 5.（10，東城二模，文）已知橢圓的短軸長為，且與拋物線有共同的焦點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為a，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn) （i）求橢圓的方程； （）求線段的長度的最小值；（提示：利用平行線段成比例即可） （）在線段長度取得最小值時(shí)，橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得的面積為，若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由（答案：（）橢圓的方程為（）當(dāng)時(shí)，線段的長度取最小值（）設(shè)直線則由，即由平行線間距離公式，得 ，得或（舍去） 可求得或6.(10，宣武期末，理)已知直線：與圓c：相交于兩點(diǎn)（）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（提示：點(diǎn)差法）（）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，表示的面積， ，求的最大值.（答案：（i）：，（ii）時(shí)，的最大值為 ）提示：=，由，得,時(shí)，最大值為7.（10，東城期末，文）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，且長軸長與短軸長的比是（）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)在橢圓的長軸上，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn). 當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 （答案：（）橢圓的方程為， （），當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)恰好落在橢圓的右頂點(diǎn),故對稱軸，即， 提示：聯(lián)立圓的方程與橢圓的方程，使其判別式為0，即為相切） 8.（10，北京，文）已知橢圓c的左.右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率是，直線橢圓c交與不同的兩點(diǎn)m，n，以線段為直徑作圓p,圓心為p，（）求橢圓c的方程；（）若圓p與x軸相切，求圓心p的坐標(biāo)；（提示：點(diǎn)m（t,t）（）設(shè)q（x，y）是圓p上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求y的最大值答案：（）（）p（0，）（）圓p的方程，設(shè)，則當(dāng)，即，且，取最大值2. 題型7：數(shù)列、向量綜合1.（10，遼寧，理）設(shè)橢圓c：的左焦點(diǎn)為f，過點(diǎn)f的直線與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60o,.(i)求橢圓c的離心率； (ii)如果|ab|=，求橢圓c的方程. （答案：（i）（ii）橢圓c的方程為. ）2.(07，全國ii，理)直角坐標(biāo)中，以為圓心的圓與直線相切（1）求圓的方程；（2）圓與軸相交于兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)使成等比數(shù)列，求的取值范圍 ( 答案：（1）圓的方程為,(2)的取值范圍為提示：設(shè)，由成等比數(shù)列，得，即 由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故由此得所以的取值范圍為)3.（08，全國i，理）雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離心率 ()（）設(shè)被雙曲線所截得的線段長為4，求雙曲線方程() 題型8：交點(diǎn)、等分點(diǎn)問題韋達(dá)定理1. （10，蔣葉光，編寫）已知點(diǎn)和，直線與線段存在公共點(diǎn)，求的取值范圍（提示：點(diǎn)在直線上，代數(shù)化：，解得）2.（10，海淀期末，文）已知為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，那么的值為 3.中點(diǎn)（10，宣武期末，文）橢圓e：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（），點(diǎn)m（，）在橢圓e上（）求橢圓e的方程；（）設(shè)q（1，0），過q點(diǎn)引直線與橢圓e交于兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（）o為坐標(biāo)原點(diǎn)，的任意一條切線與橢圓e有兩個(gè)交點(diǎn)，且，求的半徑（提醒：紛繁計(jì)算量） （答案：（）（） （） 4.中點(diǎn)（06，北京，文）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為f1，f2，點(diǎn)p在橢圓c上，且,（）求橢圓c的方程；（）若直線l過圓的圓心m，交橢圓c于a，b兩點(diǎn)，且a，b關(guān)于點(diǎn)m對稱，求直線的方程. (答案：（）（） )5.中點(diǎn)（10，西城一模，理）橢圓短軸的左右兩端點(diǎn)為，直線與軸.軸交于兩點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn) （i）若，求直線的方程； （ii）設(shè)直線的斜率分別為，若，求的值，（提示：分類討論）（答案：（i）直線l的方程為(ii)提示：平方得6.三等分點(diǎn)（10，北京一模,文）已知，兩點(diǎn)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足.（）求曲線的方程；（）若直線經(jīng)過點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程. （答案：（） （） 題型9：動(dòng)點(diǎn)問題1.（10，海淀期末，文）已知橢圓c：的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”.那么下列結(jié)論正確的是 ( ) a橢圓上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” b橢圓上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” c橢圓上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” d橢圓上有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”2.（10，海淀，上期末）點(diǎn)在曲線：上，若存在過的直線交曲線于點(diǎn)，交直線：于點(diǎn)，滿足或，則稱點(diǎn)為“h點(diǎn)”，那么下列結(jié)論正確的是 （ ) a曲線.上的所有點(diǎn)都是“h點(diǎn)” b曲線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“h點(diǎn)” c曲線上的所有點(diǎn)都不是“h點(diǎn)” d曲線上有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“h點(diǎn)”3.（10，西城一模理，理）如圖，在等腰梯形中，且，設(shè)，以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為，以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的離心率為，則（ ）a隨著角度的增大，增大，為定值b隨著角度的增大，減小，為定值c隨著角度的增大，增大，也增大d隨著角度的增大，減小，也減小 提示：雙曲線減小，橢圓增大abcd4.（2011，海淀期中，理）在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的圖象為直線，且與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：其中所有真命題的序號(hào)是（ ） 存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有一條； 存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有兩條； 存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有三條； 存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有四條.a b c d 參考答案 1.b 2.d 3.b 4.d 知識(shí)歸納：雙曲線 1.定 義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)p與兩定點(diǎn)f1，f2距離差等于定長2 當(dāng)為雙曲線， 當(dāng)為以為端點(diǎn)的兩條射線 當(dāng)不含絕對值，軌跡為一條射線或雙曲線的一支 2.標(biāo)準(zhǔn)方程： 誰正誰為（1） 定義域： 值域：（2） 焦點(diǎn)：， （）（3）實(shí)軸長: 半實(shí)軸長：（4）虛軸長： 半虛軸長：（5）焦距： 半焦距：（6）離心率：（7）漸近線：退化雙曲線，令，即 （8）準(zhǔn)線：（9）焦?jié)u距：焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為（10）焦準(zhǔn)距：雙曲線的焦點(diǎn)與其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離（11）通 徑：（過的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦） （12）焦半徑：， （13）等軸雙曲線：， 且兩漸近線相互垂直 （14）共軛雙曲線：實(shí)軸和虛軸交換 （15）共漸近線雙曲線： 特點(diǎn):1.漸近線相同；2.焦距相等；3.兩離心率平方倒數(shù)和為1 3. 焦點(diǎn)三角形（1）（2）（3）（4）（5） （6）雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 若雙曲線：漸近線： 若漸近線：雙曲線可設(shè)： 若雙曲線與有公共漸近線可設(shè)為 （7）點(diǎn)差法：（橢圓/雙曲線/圓）上a,b兩點(diǎn),弦ab的中點(diǎn)為，弦ab的斜率，則典型例題 例 1.（10，蔣葉光，編寫）已知以為左右焦點(diǎn)的雙曲線右支上點(diǎn)，其中的內(nèi)切圓與軸切于點(diǎn)，則的值為 例 2.（10，蔣葉光，編寫）已知雙曲線右支上點(diǎn)到的距離為，求的值 解法一：.又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上， 所以，即，這是錯(cuò)的！ 解法二：雙曲線右支上點(diǎn)，故， 又因?yàn)椋蠢?.（10，蔣葉光，編寫）若點(diǎn)在雙曲線上，若, 則 解法一：，1或17，這是錯(cuò)的！ 解法二：只能在右支，故17例4.若點(diǎn)雙曲線在上，若,則 例5.若點(diǎn)在橢圓上，則 參考答案 1.8 2. 3.17 4.3或19 5.3題型1.離心率.焦點(diǎn)弦.焦點(diǎn)三角形精題訓(xùn)練（北京卷）1.（10，海淀二模，文）雙曲線的焦距為( ) a.10 b. c. d. 52.(03,北京,理)以雙曲線右頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的方程是 3.(10，北京，理)雙曲線離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；漸近線方程為 4.（10，海淀期末，文）雙曲線的漸近線方程是（ ）a b. c. d. 5.（10，海淀期末，理）雙曲線，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為（ ）a1 b c3 d4 6.（10，宣武期末，文） 若雙曲線的離心率為，則 ；設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果為 .7.（10，東城二模，文）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，若，則雙曲線的離心率等于（ ） a. b. c. d. 8.(10，西城一模，理)已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，則最小值為 9.（10，東城期末，理） 直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在以為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是 10.（10，東城期末，文）若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，且，則該雙曲線離心率的取值范圍是 11.（10，東城二模.理）拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn) 是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且軸，若為雙曲線一漸近線，則傾斜角所在的區(qū)間可能是（ ） a. b. c. d. 參考答案1. a 3.4. a 5.b 6.4,-4 7.a 8.-2 9.10. 11.d 知識(shí)歸納：拋物線 1. 定義：到定點(diǎn)f的距離與到定直線l的距離之比是常數(shù) 2. 標(biāo)準(zhǔn)形式 （1）焦點(diǎn)： （2）準(zhǔn)線： （3）通徑： （4）焦半徑： （5）焦準(zhǔn)距：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離= 3. 拋物線重要結(jié)論 設(shè),中點(diǎn)為 （1）以ab為直徑的圓與準(zhǔn)線相切 （2） （7） （8）弦長公式： （9）切線方程 拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是.題型1.離心率、斜率、焦點(diǎn)弦精題訓(xùn)練（北京卷）1.（05,北京,文）拋物線 的準(zhǔn)線方程是 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)是 2.（10，海淀期末，文）拋物線的準(zhǔn)線方程是 3.（10，西城二模，文）在拋物線上，橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則 4.（10，宣武期末，文）設(shè)斜率為的直線過拋物線焦點(diǎn)，且和軸交于點(diǎn)a，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積為4，則的值為 ( ) a b c d 5.（10.東城一模文）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值等于（ ）a b cd6.（10，東城期末，文） 已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在拋物線上，則的最小值等于 參考答案1.，（-1，0） 2. 3.2 4.b 5.d 6.題型2.定值、定點(diǎn) 1.(04.，北京，理)如圖，過拋物線上一定點(diǎn)p（）（），作兩條直線分別交拋物線于a（），b（） （i）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)f的距離 （ii）當(dāng)pa與pb的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并 證明： 直線ab的斜率是非零常數(shù) (答案：（1）距離為（2），) 2.（10，西城，期末）已知拋物線，直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)， （）當(dāng)，且直線過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求的值； （）當(dāng)直線的傾斜角之和為時(shí)，求，之間滿足的關(guān)系式，并證明直線過定點(diǎn).（答案（1）（2），直線過定點(diǎn)） 3.（10，東城二模，理）已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為 （）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）求的值；（）求證：是和的等比中項(xiàng)（答案：（i） （ii） 4.（10，西城，期末）已知拋物線，直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)， （）當(dāng)，且直線過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求的值； （）當(dāng)直線的傾斜角之和為時(shí)，求，之間滿足的關(guān)系式，并證明直線過定點(diǎn). （答案（1）（2），直線過定點(diǎn)）題型3.中點(diǎn)、交點(diǎn)、等分點(diǎn)1. （10,西城一模，理）已知拋物線，點(diǎn)是其準(zhǔn)線與軸的焦點(diǎn)，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)， （1）當(dāng)線段的中點(diǎn)在直線上時(shí)，求直線的方程； （2）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，求的面積，答案：（1）直線的方程為 （2）2.（09，全國i，理） 如圖，已知拋物線與圓相交于、四個(gè)點(diǎn)。 （i）求得取值范圍； （ii）當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求對角線、的交點(diǎn)坐標(biāo)答案：（i）（ii）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，s取最大值，由三點(diǎn)共線，則得。題型4.對稱點(diǎn)、傾角互補(bǔ)、斜率互為相反數(shù)1.（10，海淀，上期末）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)a(2,1)，過a作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線.（）求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程；（）當(dāng)與拋物線相切時(shí)，求與拋物線所圍成封閉區(qū)域的面積；（）設(shè)直線分別交拋物線于b，c兩點(diǎn)（均不與a重合），若以線段bc為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求直線bc的方程.（答案（1），準(zhǔn)線為（2）（3）2.（10，崇文一模，理）已知拋物線，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線過點(diǎn)交拋物線于兩點(diǎn)（）證明：直線的斜率互為相反數(shù)；（）求面積的最小值；（）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且根據(jù)（）（）推測并回答下列問題（不必說明理由）： 直線的斜率是否互為相反數(shù)？ 面積的最小值是多少？（答案：（i）（ii）面積的最小值（iii）；面積的最小值為）題型5.動(dòng)點(diǎn)問題（北京卷）1.（10，海淀一模，文） 已知?jiǎng)狱c(diǎn)p到定點(diǎn)（2，0）的距離和它到定直線的距離相等，則點(diǎn)p的軌跡方程為 .2.（08，北京，理）若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小1，則點(diǎn)的軌跡為（ ） a圓b橢圓c雙曲線d拋物線3.（09，北京，理）點(diǎn)在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（ ） a直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” b直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” c直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” d直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”4.（10，海淀二模，文）已知直線：，定點(diǎn)(0，1