教育部課題4.2.2圓與圓的位置關(guān)系.ppt

教育部重點(diǎn)課題新教育子課題 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何達(dá)到理想課堂的實(shí)踐,溫州市甌海區(qū)三溪中學(xué) 張明,圓與圓的位置關(guān)系,一、我們知道，在笛卡爾之前，幾何和代數(shù)是老死不相往來(lái)，各自分開。是笛卡爾讓幾何代數(shù)聯(lián)系在一起。也就是通過(guò)直角坐標(biāo)系。笛卡兒向世人證明，幾何問(wèn)題可以歸結(jié)成代數(shù)問(wèn)題，也可以通過(guò)代數(shù)轉(zhuǎn)換來(lái)發(fā)現(xiàn)、證明幾何性質(zhì)。 其實(shí)笛卡爾曾經(jīng)有個(gè)偉大構(gòu)想，那就是：把一切問(wèn)題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問(wèn)題，把一切數(shù)學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題，把一切代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為方程，最后得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的方程。只要把這個(gè)方程解出來(lái)，就解決了任何問(wèn)題。我們知道按當(dāng)代科技這個(gè)構(gòu)想是不能實(shí)現(xiàn)的。比如化學(xué)、生物學(xué)科。就算是數(shù)學(xué)也不能都?xì)w結(jié)為方程問(wèn)題。 把幾何問(wèn)題歸結(jié)成代數(shù)問(wèn)題這是個(gè)很新鮮的想法。 比如點(diǎn)有個(gè)坐標(biāo)，但直線由點(diǎn)組成，所以直線是否有代數(shù)形式，這很新鮮的。我們知道在幾何中兩直線由相交、平行，那反應(yīng)在代數(shù)上會(huì)是怎么回事，也是很新鮮的。在幾何中有圓，那圓的代數(shù)形式是怎樣的，在幾何中直線與圓有好幾種關(guān)系，這幾種關(guān)系如果從代數(shù)角度講會(huì)有新鮮的結(jié)論嗎？ 這節(jié)課我們講直線的代數(shù)形式，那就是直線的方程。這是很新鮮的東西，在笛卡爾之前是沒(méi)有的。,解析幾何是17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成果之一，它的產(chǎn)生有著深刻的原因 首先，生產(chǎn)力的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出了新的要求，常量數(shù)學(xué)的局限性越來(lái)越明顯了例如，航海業(yè)的發(fā)展，向數(shù)學(xué)提出了如何精確測(cè)定經(jīng)緯度的問(wèn)題；造船業(yè)則要求描繪船體各部位的曲線，計(jì)算不同形狀船體的面積和體積；顯微鏡與望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明，提出了研究透鏡鏡面形狀的問(wèn)題；隨著火器的發(fā)展，拋射體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)顯得越來(lái)越重要了，它要求正確描述拋射體運(yùn)動(dòng)的軌跡，計(jì)算炮彈的射程，特別是開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，要求用數(shù)學(xué)方法確定行星位置所有這些問(wèn)題都難以在常量數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)解決實(shí)踐要求人們研究變動(dòng)的量解析幾何便是在這樣的社會(huì)背景下產(chǎn)生的,總結(jié)：在當(dāng)時(shí)以前的幾何是定性研究不是定量研究，不是精確的計(jì)算。同學(xué)們平面幾何或立體幾何中有精確的計(jì)算嗎？沒(méi)有。,其次，解析幾何的產(chǎn)生也是數(shù)學(xué)發(fā)展的大勢(shì)所趨，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的幾何與代數(shù)都相當(dāng)完善了實(shí)際上，幾何學(xué)早就得到比較充分的發(fā)展，幾何原本建立起完整的演繹體系，阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論則對(duì)各種圓錐曲線的性質(zhì)作了詳盡的研究但幾何學(xué)仍存在兩個(gè)弱點(diǎn)，一是缺乏定量研究，二是缺乏證題的一般方法而當(dāng)時(shí)的代數(shù)則是一門注重定量研究、注重計(jì)算的學(xué)科到16世紀(jì)末，韋達(dá)(FVieta， 15401603)在代數(shù)中有系統(tǒng)地使用字母，從而使這門學(xué)科具有了一般性它在提供廣泛的方法論方面，顯然高出希臘人的幾何方法于是，從代數(shù)中尋求解決幾何問(wèn)題的一般方法，進(jìn)行定量研究，便成為數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)實(shí)際上，韋達(dá)的分析術(shù)引論(In artem analyticem isagoge)等著作中的一些代數(shù)問(wèn)題，便是為解幾何題而列出的,在初中平面幾何中我們學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系。我們知道初中的平面幾何是屬于笛卡爾時(shí)代之前的數(shù)學(xué)知識(shí)。當(dāng)?shù)芽柊褞缀闻c代數(shù)聯(lián)系起來(lái)時(shí)，我們看看用代數(shù)角度研究圓與圓的位置關(guān)系看看有什么新鮮的結(jié)論或有什么不同的風(fēng)景，并且圓與圓的位置關(guān)系可以深入的精確的計(jì)算嗎？這在平面幾何中是不可能的事情，在平面幾何中判斷圓與圓的位置關(guān)系是比較膚淺的，比如直接給出圓心距和半徑。我們知道笛卡爾之前幾何、代數(shù)是相互分離，老死不相往來(lái)的。,兩圓位置關(guān)系的代數(shù)表示,同學(xué)們這些結(jié)論需要死記硬背嗎？,只要讓圓從外離到內(nèi)含，那兩圓位置關(guān)系自然呈現(xiàn)。,練 習(xí) 1,圓O1和圓O2的半徑分別為3厘米和4厘米,設(shè),(1) o1o2 =8厘米;,(2) o1o2 =7厘米;,(3) o1o2 =5厘米;,(4) o1o2 =1厘米;,(5) o1o2 =0.5厘米;,圓O1和圓2的位置關(guān)系怎樣?,外離,外切,相交,內(nèi)切,內(nèi)含,記住公式然后去套嗎？,答：畫個(gè)圖即可判斷,這是初中里平面幾何即笛卡爾時(shí)代前的知識(shí)。就算有數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算也是膚淺的不是精確的計(jì)算,例題講解,解：方法1：利用初中判斷兩圓位置關(guān)系的結(jié)論。,問(wèn)：因?yàn)樵诘芽柷按鷶?shù)與幾何分離，所以判斷兩圓位置關(guān)系只有幾何法即初中的結(jié)論。笛卡爾后代數(shù)和幾何聯(lián)系在一起，所以除了單單幾何法還有什么新鮮的判斷方法或不同的風(fēng)景嗎？有沒(méi)有多了個(gè)新的判定方法？,先解答以下兩題,例題講解,小結(jié),求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng)：,例題講解,性質(zhì)：,兩圓相切時(shí)，兩圓圓心的連線過(guò)切點(diǎn)；（若兩 圓相交時(shí)，兩圓圓心連線垂直平分公共弦）,問(wèn)兩圓方程相減得到什么？,答：得到是一條直線，那這條直線到底是什么東西？,注：這些結(jié)論只需了解，因?yàn)橛兄诶斫庑轮R(shí)。,答：叫做兩個(gè)圓的根軸。根軸的特征是：上面任意一個(gè)點(diǎn)到兩圓的切線長(zhǎng)相等。,例題講解,解：方法1：利用初中平面幾何即笛卡爾之前的判斷兩圓位置關(guān)系的方法。但比初中多了可以精確的計(jì)算，這是笛卡爾的功勞。,方法2：,解法二：聯(lián)立兩個(gè)方程組得,-得,把上式代入, ,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2,把x1，x2代入方程得到y(tǒng)1，y2,所以圓C1與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組,消去二次項(xiàng),消元得一元二次方程,用判斷兩圓的位置關(guān)系,小結(jié)：判斷兩圓位置關(guān)系,幾何方法,兩圓心坐標(biāo)及半徑（配方法）,圓心距d （兩點(diǎn)間距離公式）,比較d和r1，r2的大小，下結(jié)論,代數(shù)方法,消去y（或x）,幾何方法雖然是古老方法，但可以精確計(jì)算圓心距和半徑卻是從笛卡爾開始,在平面幾何中不可能有代數(shù)方法，這是笛卡爾的功勞。是相對(duì)于幾何法多了的新方法。,例5：求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，-2）以及圓 交點(diǎn)的圓的方程,例3：求直線3x+2y1=0和2x3y5=0的交點(diǎn)M