電磁場原理習(xí)題與解答第2章.pdf

第二章習(xí)題答案 2-2 真空中有一長度為l的細直線，均勻帶電，電荷線密度為。試計算P 點的電場強度： （1）P點位于細直線的中垂線上，距離細直線中點l遠處； （2）P點位于細直線的延長線上，距離細直線中點l遠處。 解： （1）可以看出，線電荷的場以直線的幾何軸線為對稱軸，產(chǎn)生的場為 軸對稱場，因此采用圓柱坐標(biāo)系，令z軸與線電荷重合，線電荷外一點 的電場與方位角無關(guān)，這樣處取的元電荷，它產(chǎn)生的電場與點電荷產(chǎn)生 的場相同，為： z y l / 2 圖2-2長直線電荷周圍的電場 l / 2 P 其兩個分量： （1） （2） 又 所以： （3） 式（3）分別代入式（1）（2）得： ； （4） 又 （5） 式（5）代入式（4）得： 由于對稱性，在z方向 分量互相抵消，故有 （2）建立如圖所示的坐標(biāo)系 在x處取元電荷則它在P點產(chǎn)生的電場強度為 o x y d x P x R 其在x方向的分量為： 又 2-3 真空中有一密度為的無限長線電荷沿y軸放置，另有密度分別為和的 無限大帶電平面分別位于z=3m和z=-4m處。試求p點（1，-7，2）的電 場強度E。 解：和的帶電平面產(chǎn)生的電場為 沿y軸放置的線電荷產(chǎn)生的電場為 所以，p點（1，-7，2）的電場強度為 應(yīng)用疊加原理計算電場強度時，要注意是矢量的疊加。 2-4 真空中的兩電荷的量值以及它們的位置是已知的，如題圖2-4所示， 試寫出電位和電場的表達式。 解：為子午面場，對稱軸為極軸，因此選球坐標(biāo)系，由點電荷產(chǎn)生的電 位公式得： 題圖2-4 又 ， 2-5解， (1) 由靜電感應(yīng)的性質(zhì)和電荷守恒原理，充電到U0后將電源拆去，各極 板帶電情況如圖（1）所示 A B C D + - (1) C、D板無電荷 (2) 若將C、D板用導(dǎo)線聯(lián)接，C、D兩板的電荷將在電場作用下 進行中和，一直到UCD=0，內(nèi)側(cè)正負電荷全部中和掉，其它部 分的電荷由于電場的作用以及電荷守恒（這時電源已拆去）而 都不變化，再斷開聯(lián)接線時也不會變化。電荷分布情況如圖 （2）所示。 A B C D + - (2) ； ； C、D板有電荷 （3）由于在聯(lián)接C、D板時有電源，電源的作用將強迫A、B板間 的電壓UAB=U0；C、D板被短接強迫UCD=0，為滿足UAB=U0 的條件，顯然必須使增大到，也即相應(yīng)的電荷密度應(yīng)增大，如 圖（3）所示。由于電場力的作用，依次拆去電源與C、D板間 聯(lián)線時，情況不再變化。 A B C D + - (3) ； C、D板有電荷 （4）若在繼（2）之后將A、B板短接，則A、B板成為一常電位系 統(tǒng)，由于在（2）的情況下，因此電荷將進行中和來達到的強制 條件。而C、D板與外界沒有導(dǎo)線聯(lián)接，各自板上的總電荷保持 不變，但會在內(nèi)外兩側(cè)間發(fā)生電荷轉(zhuǎn)移。達到后，一切電荷的轉(zhuǎn) 移都將停止，電荷分布如圖（4）所示。 A B C D (4) ， 解得 ， 2-6 半徑為b的無限長圓柱中，有體密度為的電荷，與它偏軸地放有一半 徑為a的無限長圓柱空洞，兩者軸線平行且距離為d，如圖2-6所示，求 空洞內(nèi)的電場強度。 x y o b (b)0 x y o d ( c) 圖2-6 (a) 解：由于空洞存在，電荷分布不具有對稱性，由此產(chǎn)生的場亦無對稱 性，因此不能用高斯定律求解。這是可把空洞看作也充滿，使圓柱體內(nèi) 無空洞，然后再令空洞中充滿-，并單獨作用，分別求出兩種場的分布 后疊加即可。設(shè)空洞內(nèi)的電場強度為。 第一步 單獨作用，如圖（b）所示， 由體密度為的電荷產(chǎn)生的電場強 度為，由高斯定理 所以： 第二步 單獨作用產(chǎn)生的電場強度為，如圖（c）所示。 第三步 將和在空洞中產(chǎn)生的場進行疊加，即 注： 2-7半徑為 a介電常數(shù)為的介質(zhì)球內(nèi)，已知極化強度 （k為常數(shù)）。 試求：（1）極化電荷體密度和面密度 ； （2）自由電荷體密度 ； （3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強度。 解：(1) ， （2） 因為是均勻介質(zhì)，有 因此 (3) 球內(nèi)電場， （ r a ） 或 2-8 具有兩層同軸介質(zhì)的圓柱形電容器，內(nèi)導(dǎo)體的直徑為2cm，內(nèi)層介 質(zhì)的相對介電常數(shù)，外層的相對介電常數(shù)，要使兩層介質(zhì)中的最大場強 相等，并且內(nèi)層介質(zhì)所承受的電壓和外層介質(zhì)相等，問兩層介質(zhì)的厚度 各為多少？ 解：以圓柱心為坐標(biāo)原點，徑向為軸，設(shè)單位長度上帶電荷為，由高斯 定理，。 ， 將電位參考點設(shè)在外導(dǎo)體上，即 則 ， ， 即 ，所以，內(nèi)，外 2-9 用雙層電介質(zhì)制成的同軸電纜如題圖2-9所示，介電常數(shù) , 內(nèi)、外導(dǎo) 體單位長度上所帶電荷分別為和 （1）求兩種電介質(zhì)中以及 和處的電場強度與電通密度； （2）求兩種電介質(zhì)中的電極化強度； （3）問何處有極化電荷，并求其密度。 解： (1)由高斯定理可得： 圖2-9 電場強度 ， 故 (2) 由 ，得兩種電介質(zhì)中的電極化強度為 (3) 內(nèi)、外導(dǎo)體圓柱表面上和兩種電介質(zhì)交界面上有極化電荷，它們分 別是： 在處： 在處： 在處：: 2-10 有三塊相互平行、面積均為S的薄導(dǎo)體平板，A、B板間是厚度為d 的空氣層，B、C板間則是厚度為d的兩層介質(zhì)，它們的介電常數(shù)分別為 和，如題2-10所示。設(shè)A、C兩板接地，B板的電荷為Q，忽略邊緣效 應(yīng)，試求： A B C d d d Q 題圖2-10 （1） 板間三區(qū)域內(nèi)的電場強度； （2） 兩介質(zhì)交界面上的極化電荷面密度； （3） A、C板各自的自由電荷面密度。 解 (1) 在A、C板間的三介質(zhì)區(qū)域內(nèi)，分別為均勻電場，在Q為正電荷時 各電場方向如圖所示，從而有 從而解得 （2）在兩介質(zhì)分界面上 （3）在A、C板上的電荷面密度分別為 2-12 如題圖2-12所示球形電容器中，對半地填充有介電常數(shù)分別為和兩 種均勻介質(zhì)，兩介質(zhì)交界面是以球心為中心的圓環(huán)面。在內(nèi)、外導(dǎo)體間 施加電壓U時，試求： （1）電容器中的電位函數(shù)和電場強度； （2）內(nèi)導(dǎo)體兩部分表面上的自由電荷密度。 解：（1） 方法一：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為，外導(dǎo)體帶電荷，選球坐標(biāo)，應(yīng)用高斯定律 題圖2-12 由媒質(zhì)分界面條件可知，在兩種介質(zhì)中，所以 （1） 令外導(dǎo)體為參考導(dǎo)體，則電位函數(shù)為 （2） 將上式帶入（1）（2）得 ， 方法二 ：用靜電場的邊值問題求解，在均勻介質(zhì)1和介質(zhì)2中，電位分 別滿足拉普拉斯方程，并且邊界面條件相同，所以可判斷兩個區(qū)域的電 位函數(shù)相同，有 取球坐標(biāo)系有 在兩種介質(zhì)中，都與、無關(guān)，所以 上式的通解為 有邊界條件解得： 所以 ， (2) 兩種介質(zhì)中的電位移矢量分別為 ， 根據(jù)分界面條件 對于本題，設(shè)媒質(zhì)2為介質(zhì)，媒質(zhì)1為導(dǎo)體，因此有， 則內(nèi)導(dǎo)體兩部分表面上的自由電荷密度為 ， -15 有三個同心導(dǎo)體球殼的半徑分別是，導(dǎo)體球殼之間是真空。已 知球殼2上的電量為q，內(nèi)球殼1與外球殼3均接地。求： （1） 球殼2與內(nèi)、外球殼之間的電場和電位分布 （2） 內(nèi)球殼1的外表面與外球殼3的內(nèi)平面上的電荷面密 度。 解：內(nèi)球殼外表面電荷密度為，外球殼內(nèi)表面電荷密度。由高斯定律 得： 當(dāng)時， ，又當(dāng)時，即 解得： 在處， 2-17 在半徑分別為a和b（ba）的同軸長圓柱形導(dǎo)體之間，充滿密度為 的空間電荷，且內(nèi)、外筒形導(dǎo)體之間的電壓為U，如題圖2-16所示。試 用邊值問題的方法求電荷區(qū)內(nèi)的電位函數(shù)。 解：圓柱形導(dǎo)體之間的電位滿足泊松方程，對應(yīng)的邊值問題為 題圖2-16 - 在圓柱形坐標(biāo)中電位僅是的函數(shù)，因此泊松方程有如下形式： 上式的通解為 由給定的邊界條件確定積分常數(shù)： ， 所以： 2-19 兩平行導(dǎo)體平板，相距為d，板的尺寸遠大于d，一板的電位為零， 另一板電位為，兩板間充滿電荷，電荷體密度與距離成正比，即。試求 兩板間的電位分布（注：x 0處板的電位為零）。 解：兩平行導(dǎo)體平板間的電位滿足泊松方程，忽略邊緣效應(yīng)，在直角坐 標(biāo)系對應(yīng)的邊值問題為 x o U 題圖2-19 d 上式泊松方程轉(zhuǎn)化為： 其通解 由給定的邊界條件確定積分常數(shù)： ， 所以： 上式第一項為電源對電位函數(shù)的貢獻，第二項為電荷的貢獻。 2-20 在無限大接地導(dǎo)體平面兩側(cè)各有一點電荷和，與導(dǎo)體平面的距離為 d，求空間電位的分布。 解：因為是無限大接地導(dǎo)體，所以，當(dāng)單獨作用時，接地導(dǎo)體對相當(dāng)于 屏蔽作用，當(dāng)單獨作用時，接地導(dǎo)體對相當(dāng)于屏蔽作用，所以： 單獨作用時產(chǎn)生的電位在所在側(cè)，設(shè)和分別為和的鏡像到p的距離，由 鏡像法得： 單獨作用時產(chǎn)生的電位在所在側(cè)，設(shè)和分別為和的鏡像到p的距離，由 鏡像法得： 2-28 若將某對稱的三芯電纜中三個導(dǎo)體相連，測得導(dǎo)體與鉛皮間的電容 為0.051，若將電纜中的兩導(dǎo)體與鉛皮相連，它們與另一導(dǎo)體間的電容 為0.037，求： （1）電纜的各部分電容； （2）每一相的工作電容； （3）若在導(dǎo)體1、2之間加直流電壓100V，求導(dǎo)體每單位長度的電荷 量。 解：三芯電纜的結(jié)構(gòu)及各部分電容如圖（a）所示 （1） 對應(yīng)于兩次測量的等值電容電路分別如圖（b）和圖（c）所 示： 由圖（b）得： ， 由圖（c）得： 圖（a） 圖（b） 圖（c） 圖（d） 圖（e） （2） 工作電容是指在一定的工作狀態(tài)下的等值電容，在這里是指 三相工作時一相的電容，等值電容如圖（d）和（e）所示： 所以，一相的工作電容為 （3） 若在導(dǎo)體1,2之間接一直流電壓100V，則從A, B端看去的等 效電容為： 所以 注：電纜是作為無限長來處理的，所以這里的電容均應(yīng)理解為單位 長度的電容。 2-31 一個由兩只同心導(dǎo)電球殼構(gòu)成的電容器，內(nèi)球半徑為a，外球殼 半徑為b，外球殼很薄，其厚度可略去不計，兩球殼上所帶電荷分別為 +Q和-Q，均勻分布在球面上。求這個同心球型電容器的靜電能量。 解：同心球形電容器的電容為： 所以，同心球形電容器中的靜電能量為 2-32 空氣中，相隔1cm的兩塊平行導(dǎo)電平板充電到100V后脫離電 源，然后將一厚度為1mm的絕緣導(dǎo)電片插入兩極間，問： （1）忽略邊緣效應(yīng)，導(dǎo)電片吸收了多少能量？這部分能量起到了什 么作用？兩板間的電壓和電荷的改變量各為多少？最后存儲在其中的能 量多大？ （2）如果電壓源一直與兩平導(dǎo)電行板相連，重答前題。 解：設(shè)導(dǎo)電平板的面積為S。兩平行板間的間隔為d=1cm。顯然， 絕緣導(dǎo)電片的厚度。平板間的電壓為。 （1） 忽略邊緣效應(yīng)，未插入絕緣導(dǎo)電片時 插入導(dǎo)電片后 所以，導(dǎo)電片中吸收的能量為 這部分能量使絕緣導(dǎo)電片中的正、負電荷分離，在導(dǎo)電片進入極板間 時，做機械工。 這是一常電荷系統(tǒng)，電荷守恒，各極板電荷量不變，。而插入絕緣 導(dǎo)電片后的電壓為 所以電壓的改變