高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2任意角的三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案新人教A版.docx

12.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能通過(guò)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.3.能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明知識(shí)點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式思考1計(jì)算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么結(jié)論？嘗試證明它答案3個(gè)式子的值均為1.由此可猜想：對(duì)于任意角，有sin2cos21，下面用三角函數(shù)的定義證明：設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)，則由三角函數(shù)的定義，得siny，cosx.sin2cos2x2y2|OP|21.思考2由三角函數(shù)的定義知，tan與sin和cos間具有怎樣的等量關(guān)系？答案tan(x0)，tan(k，kZ)梳理(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系：sin2cos21.商數(shù)關(guān)系：tan.(2)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形sin2cos21的變形公式sin21cos2；cos21sin2.tan的變形公式sincostan；cos.1sin2cos21.()提示在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中要注意是“同角”才成立，即sin2cos21.2sin2cos21.()提示在sin2cos21中，令可得sin2cos21.3對(duì)任意的角，都有tan成立()提示當(dāng)k，kZ時(shí)就不成立.類(lèi)型一利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求值命題角度1已知角的某一三角函數(shù)值及所在象限，求角的其余三角函數(shù)值例1(1)若sin，且為第四象限角，則tan的值為()A.BC.D考點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式題點(diǎn)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系答案D解析sin，且為第四象限角，cos，tan，故選D.(2)已知sincos，(0，)，則tan.考點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式題點(diǎn)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系答案解析sincos，(sincos)2，即2sincos0，cos0，故sincos，可得sin，cos，tan.反思與感悟(1)同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin，cos，tan三個(gè)值之間，知道其中一個(gè)可以求其余兩個(gè)解題時(shí)要注意角的象限，從而判斷三角函數(shù)值的正負(fù)(2)已知三角函數(shù)值之間的關(guān)系式求其它三角函數(shù)值的問(wèn)題，我們可利用平方關(guān)系或商數(shù)關(guān)系求解，其關(guān)鍵在于運(yùn)用方程的思想及(sincos)212sincos的等價(jià)轉(zhuǎn)化，分析解決問(wèn)題的突破口跟蹤訓(xùn)練1已知tan，且是第三象限角，求sin，cos的值考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值解由tan，得sincos.又sin2cos21，由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，cos，sincos.命題角度2已知角的某一三角函數(shù)值，未給出所在象限，求角的其余三角函數(shù)值例2已知cos，求sin，tan的值考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值解cos0且cos1，是第一或第四象限角(1)當(dāng)是第一象限角時(shí)，則sin，tan.(2)當(dāng)是第四象限角時(shí)，則sin，tan.類(lèi)型二齊次式求值問(wèn)題例3已知tan2，求下列代數(shù)式的值(1)；(2)sin2sincoscos2.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值解(1)原式.(2)原式.反思與感悟(1)關(guān)于sin，cos的齊次式，可以通過(guò)分子、分母同除以cos或cos2轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的式子后再求值(2)假如代數(shù)式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進(jìn)行“1”的代換，由1sin2cos2代換后，再同除以cos2，構(gòu)造出關(guān)于tan的代數(shù)式跟蹤訓(xùn)練3已知2，計(jì)算下列各式的值(1)；(2)sin22sincos1.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值解由2，化簡(jiǎn)，得sin3cos，所以tan3.(1)原式.(2)原式111.類(lèi)型三三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明例4(1)化簡(jiǎn)：sin2tan2sincos.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)解原式sin2cos22sincos.(2)求證：.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式證明證明右邊左邊，原等式成立反思與感悟(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱(chēng)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2cos21，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的(2)證明三角恒等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過(guò)程，證明恒等式常用以下方法：證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn)證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一)比較法：即證左邊右邊0或1(右邊0)證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立跟蹤訓(xùn)練4化簡(jiǎn)tan，其中是第二象限角考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)解因?yàn)槭堑诙笙藿牵詓in0，cos0.故tantantan1.1若sin，且是第二象限角，則tan的值為()AB.CD考點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式題點(diǎn)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系答案A解析為第二象限角，sin，cos，tan.2已知sincos，則sincos等于()A.BCD.考點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式題點(diǎn)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系答案C解析由題意得(sincos)2，即sin2cos22sincos，又sin2cos21，12sincos，sincos.故選C.3化簡(jiǎn)的結(jié)果是()AcosBsinCcosDsin考點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式題點(diǎn)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系答案C解析，cos0，cos，即cos，故選C.4若tan2，則的值為()A0B.C1D.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值答案B解析.5求證：.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式證明證明方法一(比較法作差)0，.方法二(比較法作商)1.1利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可以由一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，求出這個(gè)角的其他三角函數(shù)值2利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式可以進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，結(jié)果要求：(1)項(xiàng)數(shù)盡量少；(2)次數(shù)盡量低；(3)分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；(4)能求值的盡可能求值3在三角函數(shù)的變換求值中，已知sincos，sincos，sincos中的一個(gè)，可以利用方程思想，求出另外兩個(gè)的值4在進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)或求值時(shí)，細(xì)心觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關(guān)系式變形的出發(fā)點(diǎn)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化簡(jiǎn)或恒等式證明時(shí)，注意方法的靈活運(yùn)用，常用技巧：(1)“1”的代換；(2)減少三角函數(shù)的個(gè)數(shù)(化切為弦、化弦為切等)；(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(如因式分解、整體思想等)；(4)對(duì)條件或結(jié)論的重新整理、變形，以便于應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系來(lái)求解.一、選擇題1已知是第二象限角，tan，則cos等于()ABCD考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值答案C解析是第二象限角，cos0.又sin2cos21，tan，cos.2(2017阜陽(yáng)檢測(cè))等于()AsinBcosCsinDcos考點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式題點(diǎn)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系答案A解析00，sin.3已知2，則sincos的值是()A.BC.D考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值答案C解析由題意得sincos2(sincos)，(sincos)24(sincos)2，解得sincos.4函數(shù)y的值域是()A0,2B2,0C2,0,2D2,2考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值答案C解析y.當(dāng)x為第一象限角時(shí)，y2；當(dāng)x為第三象限角時(shí)，y2；當(dāng)x為第二、四象限角時(shí)，y0.5(2017四川成都樹(shù)德中學(xué)期中)已知是第三象限角，且sin4cos4，則sincos的值為()A.BC.D考點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式題點(diǎn)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系答案A解析由sin4cos4，得(sin2cos2)22sin2cos2，sin2cos2，是第三象限角，sin0，cos0，sincos.6若，則的化簡(jiǎn)結(jié)果為()A.BC.D考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)答案D解析原式，0，則.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值答案解析由cos0知是第三象限角，且sin，故原式sin(1sin).9已知R，sin2cos，則tan.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值答案3或解析因?yàn)閟in2cos，又sin2cos21，聯(lián)立解得或故tan或3.10在ABC中，sinA，則角A.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值答案解析由題意知cosA0，即A為銳角將sinA兩邊平方得2sin2A3cosA.2cos2A3cosA20，解得cosA或cosA2(舍去)，A.11若tan3，則sincos，tan2.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值答案7解析tan3，3，即3，sincos，tan222tan927.12已知sincos，則tan.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值解tan.sincos，12sincos，sincos，8，tan8.三、解答題13已知，求下列各式的值(1)；(2)14sincos2cos2.考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值解由已知，解得tan2.(1)原式1.(2)原式sin24sincos3cos2.四、探究與拓展14若sincos1，則sinncosn(nZ)的值為考點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值題點(diǎn)運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值答案1解析sincos1，(sincos)21，又sin2cos21，sincos0，sin0或cos0.當(dāng)sin0時(shí)，cos1，此時(shí)有sinncosn1；當(dāng)cos0時(shí)，sin1，也有sinncosn1，s