高中數(shù)學(xué)4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例素材新人教A版.docx

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例誘學(xué)導(dǎo)入 材料：英國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家哈雷從小就愛好數(shù)學(xué)和天文.哈雷對天文學(xué)的最大貢獻是對彗星的研究.他在觀測了大彗星之后，又對24顆彗星的軌道進行了計算，他注意到1456年、1531年、1607年及1682年彗星運行軌道的相似性.他用不完全歸納法得出了下面一個特性.即1531年-1456年=75年，1607年-1531年=76年，1682年-1607年=75年.這表明，這三次彗星出現(xiàn)的間隔時間幾乎相同，于是哈雷猜想，過去天文學(xué)家認為這三顆不同的彗星也許是同一顆彗星.就是說，它可能先后三次經(jīng)過那里.它以76年為周期繞日運轉(zhuǎn).哈雷預(yù)言這顆彗星再次出現(xiàn)的時刻終于到來，1759年3月13日，這顆明亮的彗星，拖著長長的尾巴果然出現(xiàn)在天空之中.大家為了紀念哈雷的預(yù)言，稱這顆彗星為“哈雷彗星”，哈雷受到全世界人們的尊敬. 問題：曾有些膽小的人（包括某些天文學(xué)家）認為哈雷彗星必將與地球相撞，地球的末日將到來，有個別人甚至膽小到為避免見到慘劇，事先自殺了.地球真的會與哈雷彗星相撞嗎？ 導(dǎo)入：數(shù)學(xué)歸納法看似極平常，蘊含的遞推的思想?yún)s如奔騰河水一樣掃蕩整個自然數(shù)集.人類有了數(shù)學(xué)歸納法，便第一次擁有了征服無限的能力，這難道不是一種偉大的進步嗎？在我們高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認識函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗，以數(shù)列為背景的不等式證明題，因是與自然數(shù)n相關(guān)的命題，我們很容易聯(lián)想到用數(shù)學(xué)歸納法證明.溫故知新 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式與已學(xué)的哪些知識和方法是息息相關(guān)的？答：我們在前面學(xué)習(xí)證明不等式時，已經(jīng)學(xué)習(xí)了使用反證法、分析法、比較法、綜合法來證明不等式，還沒接觸過數(shù)學(xué)歸納法.但是在數(shù)列和函數(shù)中，有大量的關(guān)于自然數(shù)的不等式，如何證明它們呢？這就是我們學(xué)習(xí)本節(jié)的目的所在.基礎(chǔ)鞏固1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3,nN)第一步應(yīng)驗證（ ）A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4思路分析：由題意知n3，應(yīng)驗證n=3.答案：C2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1)時，第一步即證明不等式_成立.思路分析：因為n1，所以第一步n=2.答案：1+(k1)，則當(dāng)n=k+1時，左端應(yīng)乘上_，這個乘上去的代數(shù)式共有因子的個數(shù)是_.思路分析：因為分母的公差為2，所以乘上去的第一個因式是(1+)，最后一個是(1+)，共有2k-2k-1=2k-1項.答案：(1+)(1+)(1+) 2k-14.用數(shù)學(xué)歸納法證明（A.，B.是非負實數(shù)，nN）時，假設(shè)n=k命題成立之后，證明n=k+1命題也成立的關(guān)鍵是_.思路分析：要想辦法出現(xiàn)ak+1+bk+1，兩邊同乘以，右邊也出現(xiàn)了要求證的()k+1.答案：兩邊同乘以5.用數(shù)學(xué)歸納法證明，假設(shè)n=k時，不等式成立之后，證明n=k+1時，應(yīng)推證的目標不等式是_.思路分析：把n=k時的不等式中的k換成k+1即可.答案：綜合應(yīng)用6.若n為大于1的自然數(shù)，求證：思路分析：注意對數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時放縮技巧的合理使用.解：()當(dāng)n=2時，.()假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即.則當(dāng)n=k+1時，.7.求證：(nN+)思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，是考試中的重點題型之一，在n=k+1的證明過程中還需要熟練運用不等式證明的一些技巧.解：記an=，（）當(dāng)n=1時，a1=1=,而a1=2=，當(dāng)n=1時，不等式a1.推測：(1+1)(1+)(1+0()當(dāng)n=1時，已驗證式成立.()假設(shè)n=k(k1)時式成立，即(1+1)(1+)+).則當(dāng)n=k+1時，(1+1)(1+)(1+)1+(1+)=.()3-()3=0,(3k+2)=.從而(1+1)(1+)(1+)(1+)，即當(dāng)n=k+1時，式成立.由()()知，式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當(dāng)a1時，Snlogabn+1,當(dāng)0a1時，Snlogabn+1.回顧展望9.(江西高考) 已知數(shù)列A.n的各項都是正數(shù)，且滿足：A.0=1,A.n+1=A.n(4-A.n),nN.證明：A.nA.n+12,nN.思路分析：對第一問用數(shù)學(xué)歸納法證明比較簡潔，但是用數(shù)學(xué)歸納法證明時，在由n=k到n=k+1時的推證過程中，也有作差比較和利用單調(diào)性兩種方法.證明：方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）當(dāng)n=1時，an=1,a1=a0(4-a0)=，a0a12，命題正確.()假設(shè)n=k時有ak-1ak2.則n=k+1時,ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak+1=ak(4-ak)=124-(ak-2)22.n=k+1時命題正確.由()()知，對一切nN時有anan+12.方法二用數(shù)學(xué)歸納法證明.()當(dāng)n=1時，a0=1,a1=a0(4-a0)=,0a0a12.()假設(shè)n=k時有ak-1ak2成立，令f(x)=x(4-x)，f(x)在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有f(ak-1)f(ak)f(2),即ak-1(4-ak-1)ak(4-ak)2(4-2),也即當(dāng)n=k+1時akak+12成立，所以對一切nN,有akak+12.10.(遼寧高考) 已知函數(shù)f(x)=(x-1).設(shè)數(shù)列A.n滿足A.1=1,A.n+1=f(A.n)，數(shù)列B.n滿足B.n=|A.n-|,Sn=B.1+B.2+B.n(nN*).（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明:B.n;（2）證明:Sn.證明：(1)當(dāng)x0時,f(x)=1+1.因為a1=1，所以an1(nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn.（）當(dāng)n=1時，b1=-1，不等式成立，