世紀金榜二輪專題輔導與練習專題一第二講.ppt

第二講 向量運算與復數運算、算法、合情推理,一、主干知識 1.共線向量定理: 向量a(a0)與b共線,當且僅當存在唯一一個實數,使b=a. 2.復數的有關概念: 復數z=a+bi(a,bR),(1)z是實數_.(2)z是虛數_. (3)z是純虛數_且_.(4)z的共軛復數為:_(實數的 共軛復數是它本身).,b=0,b0,a=0,b0,a-bi,3.兩種合情推理的思維過程: (1)歸納推理的思維過程. (2)類比推理的思維過程.,二、必記公式 1.兩個非零向量平行、垂直的充要條件: 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 (1)aba=b(b0)_. (2)abab=0_. 提醒:(1)若a與b不共線,且a+b=0,則=0. (2)已知 (,為常數),則A,B,C三點共線的充要條件是+=1.,x1y2-x2y1=0,x1x2+y1y2=0,2.向量的夾角公式: 設為a與b(a0,b0)的夾角,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 3.復數的運算公式: 設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則 (1)z1+z2=_. (2)z1-z2=_. (3)z1z2=_. (4) (c+di0).,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,1.(2013江蘇高考)設z=(2-i)2(i為虛數單位),則復數z的模 為 . 【解析】z=(2-i)2=3-4i,所以|z|= =5. 答案:5 2.(2013惠州模擬)已知四邊形ABCD為平行四邊形,若向量 則向量 = . 【解析】因為 所以 答案:b-a,3.(2013常州模擬)已知|a|=3,|b|=2,若ab=-3,則a與b夾 角的大小為 . 【解析】因為 且0180,所以=120. 答案:120,4.(2013太原模擬)在ABC中,G是ABC的重心,AB,AC的邊長 分別為2,1,BAC=60,則 = . 【解析】由AB=2,AC=1,BAC=60, 所以BC= ACB=90, 將直角三角形放入直角坐標系中,如圖 則A(0,1),B( 0), 所以重心G 所以 所以 答案:,5.(2012江蘇高考)如圖是一個算法流程圖,則輸出的k的值是 .,【解析】將k=1代入k2-5k+4不滿足k2-5k+40,將k=2代入 k2-5k+4不滿足k2-5k+40,將k=3代入k2-5k+4不滿足k2-5k+40,將k=4代入k2-5k+4不滿足k2-5k+40,將k=5代入k2-5k+4滿足 k2-5k+40,所以k=5. 答案:5,熱點考向 1 向量的運算及應用 【典例1】(1)(2013江蘇高考)設D,E分別是ABC的邊AB,BC 上的點, 若 (1,2為 實數),則1+2的值為 . (2)已知P是邊長為2的正方形ABCD及其內部一動點,若 PAB,PBC面積均不大于1,則 的取值范圍是 . (3)已知a=(1,2),b=(1,1),a與a+b的夾角為銳角,則實數的 取值范圍為 .,【解題探究】 (1)求1+2的兩個關鍵點:用 表示 由 可求得 求1,2,比較系數可求得 (2)以點A為坐標原點, 為x軸,y軸正方向建立平面直角坐 標系.設P(x,y),則 =_. (3)由a與a+b的夾角為銳角可知a與a+b的數量積大于0且排 除a與a+b同向的情況,由此可列式子為: _,x2+y2-2x,【解析】(1)由 則1+2的值為 答案：,(2)建立如圖所示的平面直角坐標系,由于PAB,PBC面積均 不大于1,故點P在圖中的區(qū)域EFGB的邊界及其內部,設P(x,y), 則 =(x,y)(x-2,y)=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1,其中 (x-1)2+y2表示陰影區(qū)域內的點到點(1,0)距離的平方,顯然范 圍是0,2,故 的取值范圍是-1,1. 答案:-1,1,(3)由題意可得 即 即 答案：,【方法總結】求解向量數量積最值問題的兩種思路 (1)直接利用數量積公式得出等式，依據等式求最值. (2)建立平面直角坐標系，通過坐標運算得出函數式，轉化為求函數的最值.,【變式訓練】1已知e1，e2是兩夾角為120的單位向量， a3e12e2，則|a|=_. 【解析】|a| 答案：,2.(2013新課標全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD 的中點，則 =_. 【解析】以點為原點，以 為x軸，y軸正方向建立平面 直角坐標系，則(,)，(,)，(,)，(, )，所以 所以 =2. 答案：,熱點考向 2 復數的概念及運算 【典例2】(1)(2013濟寧模擬)復數 則復數z+1在復 平面上對應的點位于第_象限. (2)(2013北京模擬)i為虛數單位，復數 的虛部是_.,【解題探究】 (1)如何判定復數所對應的點所在的象限？ 提示：關鍵是看該復數的實部與虛部的取值范圍. (2)求復數 的實部與虛部的關鍵是什么？ 提示：關鍵是將復數化為a+bi(a，bR)的形式.,【解析】(1) 所以 對應點 位于第四象限. 答案：四 (2) 所以虛部是 答案：,【互動探究】題(2)中條件不變，則復數 在復平面內對應 的點到原點的距離是_. 【解析】因為 所以，該復數所對應的點為 所以 (O為原點). 答案：,【方法總結】復數的概念及運算問題的解題技巧 (1)與復數有關的代數式為純虛數，可設為mi(mR且m0)，利用復數相等求解. (2)與復數模、共軛復數、復數相等有關的問題，可設z=a+bi(a,bR),利用待定系數法求解.,【變式備選】已知aR,i為虛數單位，若 R,則a等 于_. 【解析】 令 得 答案：,熱點考向 3 流程圖 【典例3】(1)如圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是 _.,(2)(2013北京模擬)執(zhí)行如圖所示的流程圖，輸出的結果 S_.,【解題探究】 (1)算法何時結束？ 提示：當a20時結束. (2)該流程圖滿足什么條件時循環(huán)？循環(huán)了幾次？ 提示：該流程圖在i6時循環(huán)；因為i的初始值為0，每次增加2，且是先執(zhí)行循環(huán)體，所以循環(huán)了4次.,【解析】(1)n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4. 答案：4 (2)第1次循環(huán)，i0，S1； 第2次循環(huán)，i2，S1+2212； 第3次循環(huán)，i4，S2+2419； 第4次循環(huán)，i6，S9+26120； 此時滿足條件，輸出S20. 答案：20,【方法總結】 1.解答流程圖問題的關注點 (1)弄清流程圖的三種基本結構，按指向執(zhí)行直至結束. (2)關注輸出的是哪個量，何時結束. (3)解答循環(huán)結構問題時，要寫出每一次的結果，防止運行程序不徹底，造成失誤. 2.循環(huán)結構的兩點注意 (1)注意區(qū)分計數變量與循環(huán)變量. (2)注意哪一步結束循環(huán).,【變式訓練】(2013新課標全國卷改編) 執(zhí)行如圖所示的流程圖，如果輸入的 t-1，3，則輸出的s的范圍為_. 【解析】由流程圖可知，s與t可用分段函數 表示為 則-3s4. 答案：-3s4,【備選例題】 【典例】(2013臺州模擬)流程圖如圖所示，若f(x)=x, g(x)=lg x,輸入 則輸出結果為_.,【解析】因為當 時，f(x)g(x),可知h(x)=g(x)=lg x， 答案：-1,【方法總結】流程圖讀圖問題的兩個關注點 (1)理清所要實現的算法的結構特點和流程規(guī)則，分析其功能. (2)結合框圖判斷所要填入的內容或計算所要輸出或輸入的值.,熱點考向 4 合情推理 【典例4】(1)把正整數排列成如圖甲的三角形數陣，然后擦去第偶數行中的奇數和第奇數行中的偶數，得到如圖乙的三角形數陣，再把圖乙中的數按從小到大的順序排成一列，得到數列an，若an2 011，則n_.,(2)(2013濟寧模擬)對大于或等于2的自然數m的n次方冪有如下分解式： 221+3 321+3+5 421+3+5+7 233+5 337+9+11 247+9 此規(guī)律，54的分解式中的第三個數為_.,【解題探究】 (1)每行的最后一個數有什么特點？ 2 011是第幾行第幾列的數值？ 提示：每一行最后一個數是第n行的平方；2 011是位于第45行第38個數. (2)每一列各個數的分解式有何特點？每一行各個數的分解式有何特點？ 提示：每一列各個數的分解式是連續(xù)的奇數，且都不相同；每一行各個數的分解式依次是兩個奇數、三個奇數、四個奇數的和.,【解析】(1) 每一行最后一個數是第n行的平方， 所以4522 025，4421 936，所以2 011在第45行， 又因為 所以an2 011是第45行的第38個數， 所以n12344381 028 答案：1 028,(2)由題意觀察得知，n的m次方正好是n個連續(xù)奇數的和，右邊中間數(或中間兩數的平均數)的n倍恰好等于左邊的數.54就是5個連續(xù)奇數的和且其中間數的5倍等于54. 由題意可知，3425+27+29， 54121+123+125+127+129, 所以54的分解式中的第三個數為125. 答案：125,【方法總結】合情推理的解題思路 (1)在進行歸納推理時,要先根據已知的部分個體,把它們適當變形,找出它們之間的聯系,從而歸納出一般結論. (2)在進行類比推理時,要充分考慮已知對象性質的推理過程,然后通過類比，推導出類比對象的性質. (3)歸納推理關鍵是找規(guī)律,類比推理關鍵是看共性.,【變式訓練】在平面內，設半徑分別為r1,r2的兩個圓相離且圓心距為d,若點M，N分別在兩個圓的圓周上運動，則MN的最大、最小值分別為d+r1+r2和d-r1-r2.在空間中，設半徑分別為R1,R2的兩個球相離且球心距為d,若點M，N分別在兩個球面上運動，則MN的最大、最小值分別為_.,【解析】因為在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，圓對應球，“在平面內，設半徑分別為r1,r2的兩個圓相離且圓心距為d,若點M，N分別在兩個圓的圓周上運動，則MN的最大、最小值分別為d+r1+r2和d-r1-r2” 可類比推理出： “在空間中，設半徑分別為R1,R2的兩個球相離且球心距為d,若點M，N分別在兩個球面上運動，則MN的最大、最小值分別為d+R1+R2和d-R1-R2”. 答案：d+R1+R2和d-R1-R2,轉化與化歸思想 解決向量中的平行及夾角問題 【思想詮釋】 1.主要類型：(1)向量的平行、垂直轉化為向量坐標間的關系.(2)向量的夾角問題轉化為代數式求解.(3)向量數量積的最值問題轉化為函數的最值問題.(4)線段的長度問題轉化為向量的數量積問題.,2.解題思路：常常利用向量與代數的關系將幾何問題轉化為代數問題求解. 3.注意事項：(1)兩個向量的數量積大(小)于零是兩個向量夾角為銳(鈍)角的必要不充分條件.(2)向量平行與向量共線是一回事.,【典例】 (1)已知在ABC中，AB3，BAC60，BAC的平分線AD 交邊BC于點D，且 (R)，則AD的長為_. (2)在平面直角坐標系xOy中，設A,B,C是圓x2y21上相異三 點，若存在正實數，使得 則2( 3)2的取值范圍是_.,【審題】分析信息，形成思路 (1)切入點：作輔助線，把 用其他向量表示出來，再利用長 度與數量積的關系求解; 關注點： 中所含參數的確定，可依據B，D，C 三點共線得出. (2)切入點：2(3)2的幾何意義是點(，)到點(0,3) 距離的平方； 關注點： 及A,B,C是圓x2y21上相異三點得出 關于與的約束條件.,【解題】規(guī)范步驟，水到渠成 (1)如圖，過D作AB，AC的平行線，分別交 AC，AB于E，F，則 由 及B，D，C三點共線知 AC3AE， . 又AB3，所以AF AB2. 由AD是BAC的平分線知，四邊形AEDF是菱形， 所以AE2， 所以 答案：,(2)設 的夾角為(01，且|1， 作出如圖所示的可行域，則,2(3)2表示區(qū)域內任一點到點(0,3)的距離的平方，而當點(0,3)到直線10的距離d為最小值時， d22，所以2(3)2的取值范圍為2，) 答案：2，),【點題】規(guī)避誤區(qū)，易錯警示,【變題】變式訓練，能力遷移 1.設e1,e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x,yR.若e1,e2的