世紀(jì)金榜二輪專(zhuān)題輔導(dǎo)與練習(xí)專(zhuān)題一第二講.ppt

第二講 向量運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算、算法、合情推理,一、主干知識(shí) 1.共線(xiàn)向量定理: 向量a(a0)與b共線(xiàn),當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使b=a. 2.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念: 復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR),(1)z是實(shí)數(shù)_.(2)z是虛數(shù)_. (3)z是純虛數(shù)_且_.(4)z的共軛復(fù)數(shù)為:_(實(shí)數(shù)的 共軛復(fù)數(shù)是它本身).,b=0,b0,a=0,b0,a-bi,3.兩種合情推理的思維過(guò)程: (1)歸納推理的思維過(guò)程. (2)類(lèi)比推理的思維過(guò)程.,二、必記公式 1.兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件: 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 (1)aba=b(b0)_. (2)abab=0_. 提醒:(1)若a與b不共線(xiàn),且a+b=0,則=0. (2)已知 (,為常數(shù)),則A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是+=1.,x1y2-x2y1=0,x1x2+y1y2=0,2.向量的夾角公式: 設(shè)為a與b(a0,b0)的夾角,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式: 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則 (1)z1+z2=_. (2)z1-z2=_. (3)z1z2=_. (4) (c+di0).,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,1.(2013江蘇高考)設(shè)z=(2-i)2(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的模 為 . 【解析】z=(2-i)2=3-4i,所以|z|= =5. 答案:5 2.(2013惠州模擬)已知四邊形ABCD為平行四邊形,若向量 則向量 = . 【解析】因?yàn)?所以 答案:b-a,3.(2013常州模擬)已知|a|=3,|b|=2,若ab=-3,則a與b夾 角的大小為 . 【解析】因?yàn)?且0180,所以=120. 答案:120,4.(2013太原模擬)在A(yíng)BC中,G是ABC的重心,AB,AC的邊長(zhǎng) 分別為2,1,BAC=60,則 = . 【解析】由AB=2,AC=1,BAC=60, 所以BC= ACB=90, 將直角三角形放入直角坐標(biāo)系中,如圖 則A(0,1),B( 0), 所以重心G 所以 所以 答案:,5.(2012江蘇高考)如圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的k的值是 .,【解析】將k=1代入k2-5k+4不滿(mǎn)足k2-5k+40,將k=2代入 k2-5k+4不滿(mǎn)足k2-5k+40,將k=3代入k2-5k+4不滿(mǎn)足k2-5k+40,將k=4代入k2-5k+4不滿(mǎn)足k2-5k+40,將k=5代入k2-5k+4滿(mǎn)足 k2-5k+40,所以k=5. 答案:5,熱點(diǎn)考向 1 向量的運(yùn)算及應(yīng)用 【典例1】(1)(2013江蘇高考)設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC 上的點(diǎn), 若 (1,2為 實(shí)數(shù)),則1+2的值為 . (2)已知P是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn),若 PAB,PBC面積均不大于1,則 的取值范圍是 . (3)已知a=(1,2),b=(1,1),a與a+b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)的 取值范圍為 .,【解題探究】 (1)求1+2的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):用 表示 由 可求得 求1,2,比較系數(shù)可求得 (2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn), 為x軸,y軸正方向建立平面直角坐 標(biāo)系.設(shè)P(x,y),則 =_. (3)由a與a+b的夾角為銳角可知a與a+b的數(shù)量積大于0且排 除a與a+b同向的情況,由此可列式子為: _,x2+y2-2x,【解析】(1)由 則1+2的值為 答案：,(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由于PAB,PBC面積均 不大于1,故點(diǎn)P在圖中的區(qū)域EFGB的邊界及其內(nèi)部,設(shè)P(x,y), 則 =(x,y)(x-2,y)=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1,其中 (x-1)2+y2表示陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)距離的平方,顯然范 圍是0,2,故 的取值范圍是-1,1. 答案:-1,1,(3)由題意可得 即 即 答案：,【方法總結(jié)】求解向量數(shù)量積最值問(wèn)題的兩種思路 (1)直接利用數(shù)量積公式得出等式，依據(jù)等式求最值. (2)建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算得出函數(shù)式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.,【變式訓(xùn)練】1已知e1，e2是兩夾角為120的單位向量， a3e12e2，則|a|=_. 【解析】|a| 答案：,2.(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD 的中點(diǎn)，則 =_. 【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以 為x軸，y軸正方向建立平面 直角坐標(biāo)系，則(,)，(,)，(,)，(, )，所以 所以 =2. 答案：,熱點(diǎn)考向 2 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算 【典例2】(1)(2013濟(jì)寧模擬)復(fù)數(shù) 則復(fù)數(shù)z+1在復(fù) 平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限. (2)(2013北京模擬)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 的虛部是_.,【解題探究】 (1)如何判定復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限？ 提示：關(guān)鍵是看該復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的取值范圍. (2)求復(fù)數(shù) 的實(shí)部與虛部的關(guān)鍵是什么？ 提示：關(guān)鍵是將復(fù)數(shù)化為a+bi(a，bR)的形式.,【解析】(1) 所以 對(duì)應(yīng)點(diǎn) 位于第四象限. 答案：四 (2) 所以虛部是 答案：,【互動(dòng)探究】題(2)中條件不變，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng) 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是_. 【解析】因?yàn)?所以，該復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 所以 (O為原點(diǎn)). 答案：,【方法總結(jié)】復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算問(wèn)題的解題技巧 (1)與復(fù)數(shù)有關(guān)的代數(shù)式為純虛數(shù)，可設(shè)為mi(mR且m0)，利用復(fù)數(shù)相等求解. (2)與復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等有關(guān)的問(wèn)題，可設(shè)z=a+bi(a,bR),利用待定系數(shù)法求解.,【變式備選】已知aR,i為虛數(shù)單位，若 R,則a等 于_. 【解析】 令 得 答案：,熱點(diǎn)考向 3 流程圖 【典例3】(1)如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的n的值是 _.,(2)(2013北京模擬)執(zhí)行如圖所示的流程圖，輸出的結(jié)果 S_.,【解題探究】 (1)算法何時(shí)結(jié)束？ 提示：當(dāng)a20時(shí)結(jié)束. (2)該流程圖滿(mǎn)足什么條件時(shí)循環(huán)？循環(huán)了幾次？ 提示：該流程圖在i6時(shí)循環(huán)；因?yàn)閕的初始值為0，每次增加2，且是先執(zhí)行循環(huán)體，所以循環(huán)了4次.,【解析】(1)n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4. 答案：4 (2)第1次循環(huán)，i0，S1； 第2次循環(huán)，i2，S1+2212； 第3次循環(huán)，i4，S2+2419； 第4次循環(huán)，i6，S9+26120； 此時(shí)滿(mǎn)足條件，輸出S20. 答案：20,【方法總結(jié)】 1.解答流程圖問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn) (1)弄清流程圖的三種基本結(jié)構(gòu)，按指向執(zhí)行直至結(jié)束. (2)關(guān)注輸出的是哪個(gè)量，何時(shí)結(jié)束. (3)解答循環(huán)結(jié)構(gòu)問(wèn)題時(shí)，要寫(xiě)出每一次的結(jié)果，防止運(yùn)行程序不徹底，造成失誤. 2.循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩點(diǎn)注意 (1)注意區(qū)分計(jì)數(shù)變量與循環(huán)變量. (2)注意哪一步結(jié)束循環(huán).,【變式訓(xùn)練】(2013新課標(biāo)全國(guó)卷改編) 執(zhí)行如圖所示的流程圖，如果輸入的 t-1，3，則輸出的s的范圍為_(kāi). 【解析】由流程圖可知，s與t可用分段函數(shù) 表示為 則-3s4. 答案：-3s4,【備選例題】 【典例】(2013臺(tái)州模擬)流程圖如圖所示，若f(x)=x, g(x)=lg x,輸入 則輸出結(jié)果為_(kāi).,【解析】因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，f(x)g(x),可知h(x)=g(x)=lg x， 答案：-1,【方法總結(jié)】流程圖讀圖問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)理清所要實(shí)現(xiàn)的算法的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和流程規(guī)則，分析其功能. (2)結(jié)合框圖判斷所要填入的內(nèi)容或計(jì)算所要輸出或輸入的值.,熱點(diǎn)考向 4 合情推理 【典例4】(1)把正整數(shù)排列成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到數(shù)列an，若an2 011，則n_.,(2)(2013濟(jì)寧模擬)對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解式： 221+3 321+3+5 421+3+5+7 233+5 337+9+11 247+9 此規(guī)律，54的分解式中的第三個(gè)數(shù)為_(kāi).,【解題探究】 (1)每行的最后一個(gè)數(shù)有什么特點(diǎn)？ 2 011是第幾行第幾列的數(shù)值？ 提示：每一行最后一個(gè)數(shù)是第n行的平方；2 011是位于第45行第38個(gè)數(shù). (2)每一列各個(gè)數(shù)的分解式有何特點(diǎn)？每一行各個(gè)數(shù)的分解式有何特點(diǎn)？ 提示：每一列各個(gè)數(shù)的分解式是連續(xù)的奇數(shù)，且都不相同；每一行各個(gè)數(shù)的分解式依次是兩個(gè)奇數(shù)、三個(gè)奇數(shù)、四個(gè)奇數(shù)的和.,【解析】(1) 每一行最后一個(gè)數(shù)是第n行的平方， 所以4522 025，4421 936，所以2 011在第45行， 又因?yàn)?所以an2 011是第45行的第38個(gè)數(shù)， 所以n12344381 028 答案：1 028,(2)由題意觀(guān)察得知，n的m次方正好是n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，右邊中間數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))的n倍恰好等于左邊的數(shù).54就是5個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和且其中間數(shù)的5倍等于54. 由題意可知，3425+27+29， 54121+123+125+127+129, 所以54的分解式中的第三個(gè)數(shù)為125. 答案：125,【方法總結(jié)】合情推理的解題思路 (1)在進(jìn)行歸納推理時(shí),要先根據(jù)已知的部分個(gè)體,把它們適當(dāng)變形,找出它們之間的聯(lián)系,從而歸納出一般結(jié)論. (2)在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí),要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程,然后通過(guò)類(lèi)比，推導(dǎo)出類(lèi)比對(duì)象的性質(zhì). (3)歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律,類(lèi)比推理關(guān)鍵是看共性.,【變式訓(xùn)練】在平面內(nèi)，設(shè)半徑分別為r1,r2的兩個(gè)圓相離且圓心距為d,若點(diǎn)M，N分別在兩個(gè)圓的圓周上運(yùn)動(dòng)，則MN的最大、最小值分別為d+r1+r2和d-r1-r2.在空間中，設(shè)半徑分別為R1,R2的兩個(gè)球相離且球心距為d,若點(diǎn)M，N分別在兩個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)，則MN的最大、最小值分別為_(kāi).,【解析】因?yàn)樵谟善矫鎴D形到空間圖形的類(lèi)比推理中，圓對(duì)應(yīng)球，“在平面內(nèi)，設(shè)半徑分別為r1,r2的兩個(gè)圓相離且圓心距為d,若點(diǎn)M，N分別在兩個(gè)圓的圓周上運(yùn)動(dòng)，則MN的最大、最小值分別為d+r1+r2和d-r1-r2” 可類(lèi)比推理出： “在空間中，設(shè)半徑分別為R1,R2的兩個(gè)球相離且球心距為d,若點(diǎn)M，N分別在兩個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)，則MN的最大、最小值分別為d+R1+R2和d-R1-R2”. 答案：d+R1+R2和d-R1-R2,轉(zhuǎn)化與化歸思想 解決向量中的平行及夾角問(wèn)題 【思想詮釋】 1.主要類(lèi)型：(1)向量的平行、垂直轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)間的關(guān)系.(2)向量的夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式求解.(3)向量數(shù)量積的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.(4)線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問(wèn)題.,2.解題思路：常常利用向量與代數(shù)的關(guān)系將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解. 3.注意事項(xiàng)：(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積大(小)于零是兩個(gè)向量夾角為銳(鈍)角的必要不充分條件.(2)向量平行與向量共線(xiàn)是一回事.,【典例】 (1)已知在A(yíng)BC中，AB3，BAC60，BAC的平分線(xiàn)AD 交邊BC于點(diǎn)D，且 (R)，則AD的長(zhǎng)為_(kāi). (2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A,B,C是圓x2y21上相異三 點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)，使得 則2( 3)2的取值范圍是_.,【審題】分析信息，形成思路 (1)切入點(diǎn)：作輔助線(xiàn)，把 用其他向量表示出來(lái)，再利用長(zhǎng) 度與數(shù)量積的關(guān)系求解; 關(guān)注點(diǎn)： 中所含參數(shù)的確定，可依據(jù)B，D，C 三點(diǎn)共線(xiàn)得出. (2)切入點(diǎn)：2(3)2的幾何意義是點(diǎn)(，)到點(diǎn)(0,3) 距離的平方； 關(guān)注點(diǎn)： 及A,B,C是圓x2y21上相異三點(diǎn)得出 關(guān)于與的約束條件.,【解題】規(guī)范步驟，水到渠成 (1)如圖，過(guò)D作AB，AC的平行線(xiàn)，分別交 AC，AB于E，F(xiàn)，則 由 及B，D，C三點(diǎn)共線(xiàn)知 AC3AE， . 又AB3，所以AF AB2. 由AD是BAC的平分線(xiàn)知，四邊形AEDF是菱形， 所以AE2， 所以 答案：,(2)設(shè) 的夾角為(01，且|1， 作出如圖所示的可行域，則,2(3)2表示區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的平方，而當(dāng)點(diǎn)(0,3)到直線(xiàn)10的距離d為最小值時(shí)， d22，所以2(3)2的取值范圍為2，) 答案：2，),【點(diǎn)題】規(guī)避誤區(qū)，易錯(cuò)警示,【變題】變式訓(xùn)練，能力遷移 1.設(shè)e1,e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x,yR.若e1,e2的