(好資料)2007年高考“圓錐曲線”題--高考數(shù)學(xué)試題全解

2007年高考“圓錐曲線”題1(全國) 已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)是，則雙曲線方程為（）ABCD解：已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是，則c=4，a=2，雙曲線方程為，選A。拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)，垂足為，則的面積是（）A BCD解：拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)，準(zhǔn)線為l：，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A(3，2)，垂足為K(1，2)， 正AKF的面積是4，選C。已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，垂足為（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；（）求四邊形的面積的最小值證明：（）橢圓的半焦距，由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，故，所以，（）（）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r(shí)，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得設(shè)，則 ，；因?yàn)榕c相交于點(diǎn)，且的斜率為，所以，四邊形的面積當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)（）當(dāng)?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r(shí)，四邊形的面積綜上，四邊形的面積的最小值為2(全國II) 設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)，使 且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD解：設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。若雙曲線上存在點(diǎn)A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中， 離心率，選B。3（北京卷）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為.計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值解：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得，其定義域?yàn)椋↖I）記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的最大值因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為4（天津卷）設(shè)雙曲線的離心率為且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為( )A.B.C.D.解：由可得故選D.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)原點(diǎn)到直線的距離為.(I)證明：；(II)設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)過原點(diǎn)作直線的垂線垂足為求點(diǎn)的軌跡方程.解：(I)證法一：由題設(shè)及不妨設(shè)點(diǎn)其中由于點(diǎn)在橢圓上，有即 解得從而得到直線的方程為整理得由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為即將代入上式并化簡得即 證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為過點(diǎn)作垂足為易知故由橢圓定義得又所以解得而而得即（II）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，由知，直線的斜率為所以直線的方程為或其中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組將式代入式，得整理得于是 由式得由知將式和式代入得 將代入上式，整理得當(dāng)時(shí)，直線的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 所以由知即解得這時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿足綜上，點(diǎn)的軌跡方程為解法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為由垂足為 可知直線的方程為記（顯然點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由式得由式得將式代入式得整理得于是由式得由式得將式代入式得整理得于是由知將式和式代入得 將代入上式，得所以，點(diǎn)的軌跡方程為5(上海卷) 以雙曲線的中心為焦點(diǎn)，且以該雙曲線的左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程是 解：雙曲線的中心為O（0,0），該雙曲線的左焦點(diǎn)為F（3,0），則拋物線的頂點(diǎn)為（3,0），焦點(diǎn)為（0,0），所以p=6，所以拋物線方程是)我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，如圖，點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，分別是“果圓”yO.x.與，軸的交點(diǎn)（1） 若是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程； （2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（3）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由yO.Mx解：（1） ， 于是，所求“果圓”方程為 ， （2）由題意，得 ，即 ，得 又 （3）設(shè)“果圓”的方程為， 記平行弦的斜率為當(dāng)時(shí)，直線與半橢圓的交點(diǎn)是，與半橢圓的交點(diǎn)是 的中點(diǎn)滿足 得 ， 綜上所述，當(dāng)時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上 當(dāng)時(shí)，以為斜率過的直線與半橢圓的交點(diǎn)是 由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，即不在某一橢圓上 當(dāng)時(shí)，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上6（重慶卷）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，則|FP|FQ|的值為_.解： 代入得： 設(shè) 又 如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為F（3，0），右準(zhǔn)線l的方程為：x = 12。（1）求橢圓的方程；(4分)（2）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明: 為定值，并求此定值。(8分)答（22）圖解：（I）設(shè)橢圓方程為因焦點(diǎn)為，故半焦距又右準(zhǔn)線的方程為，從而由已知，因此，故所求橢圓方程為（II）記橢圓的右頂點(diǎn)為，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，假設(shè)，且，又設(shè)點(diǎn)在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有 解得 因此，而，故為定值7（遼寧卷）設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）ABCD解： 因?yàn)?，設(shè)，根據(jù)雙曲線定義得，所以，為直角三角形，其面積為，選B設(shè)橢圓上一點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為10，是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則= 解： 橢圓左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)為（-3，0），P（，由已知M為PF中點(diǎn)，M（，所以8（江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線的方程為，則它的離心率為（ ）A B C D解： 由，得，所以，設(shè)，則，故選（A）。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 過軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線；（5分）（1） 試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。（4分）解：（1）設(shè)過C點(diǎn)的直線為，所以，即，設(shè)A，=，因?yàn)?，所以，即，所以，即所以?）設(shè)過Q的切線為，所以，即，它與的交點(diǎn)為M，又，所以Q，因?yàn)?所以，所以M,所以點(diǎn)M和點(diǎn)Q重合，也就是QA為此拋物線的切線。（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q，因?yàn)镻Q軸，所以因?yàn)椋訮為AB的中點(diǎn)。9(廣東卷) 在直角坐標(biāo)系xOy中,有一定點(diǎn)A（2，1）。若線段OA的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是_;解：依題意我們?nèi)菀浊蟮弥本€的方程為4x+2y-5=0，把焦點(diǎn)坐標(biāo)(，0)代入可求得焦參數(shù)p=，從而得到準(zhǔn)線方程x= -。 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10。 （1）求圓C的方程； （2）試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓的右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長，若存在求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)（m0）,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2 即=4 又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)(0，0)代入得m2+n2=8 聯(lián)立方程和組成方程組解得 故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8(2)=5，a2=25，則橢圓的方程為+=1其焦距c=4，右焦點(diǎn)為(4，0)，那么=4。要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn)，半徑為4的圓(x4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點(diǎn)數(shù)。通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=即存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(，)，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長。10(福建卷) 以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（ ）ABCD解： 右焦點(diǎn)即圓心為（5，0），一漸近線方程為，即，圓方程為，即A ，選A. 已知正方形，則以為焦點(diǎn)，且過兩點(diǎn)的橢圓的離心率為_解：設(shè)c=1，則.Oyx1lF如圖，已知點(diǎn)，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（）過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，求的值.解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡得（）設(shè)直線的方程為：PBQMFOAxy設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：（）由已知，得則：過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：由得：，即11(安徽卷) 如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 （A）（B）（C）（D）解：如圖，連接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，雙曲線的離心率為，選D。12(湖南卷) 設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在 使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）ABCD解：由已知P，所以的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，由 當(dāng)時(shí)，不存在，此時(shí)為中點(diǎn)，綜上得選D另解：根據(jù)題意及中垂線性質(zhì)知，P點(diǎn)滿足其中Q為右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即 于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 由得當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，以上同解法一的（II）13（湖北卷）雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為，則等于（ ）ABCDxyMF1F2DLO解：由題設(shè)可知點(diǎn)同時(shí)滿足雙曲線和拋物線的定義，且在雙曲線右支上,故 由定義可得 故原式，選A在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由ABxyNCO（此題不要求在答題卡上畫圖）解法1：（）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得NOACByx由韋達(dá)定理得，于是，當(dāng)時(shí)，（）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，NOACByxl則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得， 又由點(diǎn)到直線的距離公式得從而，當(dāng)時(shí)，（）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線14（江西卷）設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（）必在圓內(nèi)必在圓上必在圓外以上三種情形都有可能解： 由=得a=2c，b=，所以，所以點(diǎn)到圓心（0，0）的距離為，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，選A設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和，且存在常數(shù)，使得（1）證明：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，并求出的方程；（2）過點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，試確定的范圍，使，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)解法一：（1）在中，即，即（常數(shù)），點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線方程為：（2）設(shè)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，的方程為，在雙曲線上即，因?yàn)椋援?dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為由得：，由題意知：，所以，于是：因?yàn)?，且在雙曲線右支上，所以由知，解法二：（1）同解法一（2）設(shè)，的中點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，又所以；由得，由第二定義得所以于是由得因?yàn)?，所以，又，解得：由?5（山東卷）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則為 解：過A 作軸于D，令，則，。已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得 ，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，解得，且滿足.當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為16(陜西卷) 拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是（A）4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0解：P=，準(zhǔn)線方程為y=，即，選A已知雙曲線C：(a0,b0),以C的右焦點(diǎn)為圓心且與C的浙近線相切的圓的半徑是A. B. C.a D.b解：圓的半徑是（C，0）到漸近線的距離，R=，選D.已知橢圓C:（ab0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.()求橢圓C的方程;()設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值.解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為（）設(shè)，（1）當(dāng)軸時(shí)，（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，綜上所述當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值17（四川卷）如果雙曲線上一點(diǎn)到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2，那么點(diǎn)到軸的距離是（）（A）（B）（C）（D）解：由點(diǎn)到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2知在雙曲線右支上又由雙曲線的第二定義知點(diǎn)到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是，雙曲線的右準(zhǔn)線方程是，故點(diǎn)到軸的距離是選A已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)、，則等于（）（A）3 （B）4 （C） （D）解：設(shè)直線的方程為，由，進(jìn)而可求出的中點(diǎn)，又由在直線上可求出，由弦長公式可求出選C設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值;（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.解：（）解法一：