2005年數(shù)學建模B題(含代碼).doc

2013高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： B 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?華南師范大學增城學院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2013高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：DVD在線租賃摘要問題（三）：題目需要我們回答購買各種的數(shù)量來使95%的會員能看到他想看到的，并且要怎么分配才能使?jié)M意度達到最大；每種建立以總的購買數(shù)最小、會員滿意度最大為雙目標的規(guī)劃模型。通過確定在一個月內每張的在每個會員中手中的使用率；然后通過c語言程序編程來確定每種的購買量；建立0-1規(guī)劃模型；通過軟件使?jié)M意度達到最大，來最終確定的分配；一級，二級目標，將多目標規(guī)劃轉化為單目標；同時將第j種DVD的購買量的整數(shù)約束去掉，求解出最小購買數(shù)為178.125張。將最小購買數(shù)作為約束條件，優(yōu)化滿意度后，得到最大滿意度為95%；然后對此時DVD的購買量向上取整，得到總購買數(shù)為186張。當購買數(shù)為186張時，會員滿意度達到97%。三、模型假設1、租賃周期為一個月，每月租兩次的會員可以在月中再租賃一次；2、同一種每人只能租賃一次；3、在租賃過程中無損壞；4、會員每月至少交一次訂單；5、會員只有把前一次所借的DVD寄回，才可以繼續(xù)下一次租賃6、月底全部收回，繼續(xù)下個周期的租賃；7、隨著時間的推移，該網(wǎng)站的會員們的流動情況不會出現(xiàn)大變動。 四、符號說明符號意義Q的張數(shù)會員對訂單的數(shù)量會員對某種偏愛度第j種總中張數(shù)B會員對網(wǎng)站的滿意度會員的標號j的種類網(wǎng)站對購買的量一、問題的重述 隨著信息時代的到來，網(wǎng)絡成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強大的資源和知名度，面向其會員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務。這項服務充分發(fā)揮了網(wǎng)絡的諸多優(yōu)勢，包括傳播范圍廣泛、直達核心消費群、強烈的互動性、感官性強、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務。 考慮如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費成為網(wǎng)站會員，可以訂購DVD租賃服務。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張基于其偏愛程度排序的DVD。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費由網(wǎng)站承擔），就可以繼續(xù)下次租賃?？紤]回答下面問題：（1）網(wǎng)站準備購買一些新的DVD，通過問卷調查1000個會員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)（表1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，應該至少準備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內能夠看到該DVD？如果要求保證在三個月內至少95%的會員能夠看到該DVD呢？（2）表2中列出了網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當前需要處理的1000位會員的在線訂單，如何對這些DVD進行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具體列出前30位會員（即C0001C0030）分別獲得哪些DVD。（3）繼續(xù)考慮表2，并假設表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這些DVD進行分配，才能使一個月內95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？（4）如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得DVD的需求預測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應的數(shù)學模型。表1 對1000個會員調查的部分結果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510表2 現(xiàn)有DVD張數(shù)和當前需要處理的會員的在線訂單（表格格式示例）DVD編號D001D002D003D004DVD現(xiàn)有數(shù)量10401520會員在線訂單C00016000C00020000C00030003C00040000 注：D001D100表示100種DVD, C0001C1000表示1000個會員, 會員的在線訂單用數(shù)字1,2,表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應的DVD當前不在會員的在線訂單中。二、問題的分析 問題分析：題中列出了網(wǎng)站手上20種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當前需要處理的100位會員的在線訂單，要得到使會員獲得最大滿意度的DVD分配方案，這可以通過建立線形規(guī)劃模型來實現(xiàn)。由于每個會員對不同DVD的偏愛程度不同，且題中所給的列表中會員的在線訂單中數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高。由于每個會員可以按偏愛程度在20種DVD (可以參考)五、模型的建立與求解（一）：問題一由歷史數(shù)據(jù)，60%的會員每月租賃兩次，而另外40%的人只租一次。由假設會員如果在當月歸還了，一般會同時有第2次的租賃要求，因此認為有60%的會員在一個月有兩次租賃需求，其他40%的會員為一次。近似認為會員的需求基本上能滿足，從而認為有60%的會員會在一個月內歸還，另外40%則不能。在一個月內歸還的還可以滿足另一個會員，又新購一般會較受歡迎，因此認為該一直在周轉中，沒有出現(xiàn)該空閑情況。故可以合理地認為一張新在一個月內以60%的概率滿足兩個會員，40%的概率滿足一個會員，從而一張的相對一個人來說使用率為 ；需要準備的張數(shù)為；由調查結果1000個會員中愿意觀看DVD的購買量為。模型一、 保證希望看到該的會員中至少50%在一個月內能夠看到該需要準備的的張數(shù)：保證希望看到該的會員中至少95%在三個月內能夠看到該需要準備的的張數(shù)：模型的求解：當時 保證希望看到該的會員中至少50%在一個月內能夠看到該需要準備的的張數(shù)保證希望看到該的會員中至少95%在三個月內能夠看到該需要準備的的張數(shù)：同理可得各種需要準備的張數(shù)，計算得下表1： 表1：各種需要準備的張數(shù)名稱12345為50%時購買量700035001750875350為95%時購買量443422171109555222為了驗證模型一的準確性：我們建立了模型二模型二我們將每月租憑兩次的會員平均分成兩部分，一部分是在月初借，月中還；第二部分是在月中借，月末還；這樣就將第一部分月初借的在月中的時候再借給第二部分；這樣就能使需要準備的數(shù)達到最小。保證希望看到該的會員中至少50%在一個月內能夠看到該需要準備的的張數(shù)：保證希望看到該的會員中至少95%在三個月內能夠看到該需要準備的的張數(shù)：模型求解：保證希望看到該的會員中至少50%在一個月內能夠看到該需要準備的的張數(shù)：保證希望看到該的會員中至少95%在三個月內能夠看到該需要準備的的張數(shù)：同理可得各種需要準備的張數(shù)，計算得下表2： 表2：各種需要準備的張數(shù)名稱12345為50%時購買量700035001750875350為95%時購買量443422171109555222(2) 、問題二會員對某種偏愛度的量化：會員對偏愛度是隨著訂單數(shù)字的增加而減少，其中會員對網(wǎng)站的滿意度與滿足會員的偏愛度是掛鉤的；因此我們可用一非增函數(shù)來度量；從心理學的角度來看：隨著的增加，相鄰的兩個訂單數(shù)字之間的偏愛度的差會越來越小，所以我們定義了; 不同會員在對同一種偏愛指數(shù)相同時，我們在分配時優(yōu)先考慮編號在前的會員。要確定把那張租給哪個會員，才能使?jié)M意度達到最大，因此我們引入表示把第種是否租給第個會員；從問題我們可以看出這是一個如何分配的問題，我們不妨把其中現(xiàn)有的張數(shù)看成現(xiàn)有判斷條件為需要完成的任務，把每一為會員看成完成這些任務的人選，其中他們對各種的偏愛度就代表他們完成相對應的任務的能力；我們就要使他們對各種任務的完成能力達到最大； 約束條件所有的會員分配到j種的數(shù)量之和不能超過現(xiàn)有的第j種的張數(shù) 1、2.100；為0-1變量)由于網(wǎng)站每次對每個會員的分配要么0張要么3張所以 （i=1、2、.1000；為0-1變量）對問題（2）建立01規(guī)劃模型。模型三：目標函數(shù)； 約束條件：（、均為0-1變量；i=1、2.1000；j=1、2.100）；模型求解： 用 數(shù)學軟件實現(xiàn)對此題0-1規(guī)劃模型的求解；執(zhí)行的代碼見附錄一；可以獲得的最大滿意度為1634.712其中前30位會員（即C0001C0030）獲得DVD情況如下表所示 前30名會員獲得的情況會員編號編號C000184198C0002 6 44 62C000332 50 80C0004 7 18 41C000566 68 11C0006 19 53 66C0007 26 66 81C000831 3571C0009 53 78100C001041 55 85C001159 6366C001231 2 41C0013 2178 96C0014 5223DVD 89C0015 1385 52C0016 84 97 10C0017674751C0018 41 60 78C0019 84 86 66C0020 45 89 61C0021 53 45 50C0022 57 55 38C0023 95 29 81C0024 76 41 37C00259 69 94C0026 2268 95C0027 5878 80C0028 8 34 37C0029 5530 26C0030 6237 98（3） ：問題三問題三是問題一和問題二的結合，要求我們在確保95%的會員能得到他想看的的前提下使會員對網(wǎng)站的滿意度達到最大；在這里我們需要解決的問題如何使采購的總數(shù)量最少；2、如何每種的采購量，才能使客戶的滿意度達到最大；因此我們求出需要準備總數(shù)的上下限，假定網(wǎng)站在一個月內分配給會員一次（三張他想要看的）即認為會員得到他想看的。由于在一個月內一張使用率為0.7設購買第種的數(shù)量為，相當于能夠滿足網(wǎng)站在一個月內需求為j種的會員數(shù)。每一種都滿足95%的會員的觀看，這樣既能滿足題目要求，又能使?jié)M足度達到最大；所以需要購買種的數(shù)量有如下表達式：上限：每月租二次的人兩次會員還回來的全部不能重復利用，則得出可以借出的總數(shù)的上限為 下限：每月租二次的人兩次會員還回來的全部能重復利用，則得出可以借出的總數(shù)的下限為 利用模型一的方法進行求解： 目標函數(shù)： （為0-1變量，即當小于6大于時0，就為1；否則就為0；j=1、2.100） 約束條件： （為0-1規(guī)劃；當=0時=0，=1,j=1、2.100）建立0-1規(guī)劃模型目標函數(shù)： 約束條件：（為0、1、2變量，為0-1變量；i=1、2.1000；j=1、2.100）；模型求解：在通過語言進行編程求解中過程中，在數(shù)據(jù)的輸入方面存在很大困難，所以我們先把里們的數(shù)據(jù)復制記事本然后復制到，通過查找、替換我們把空格替換成逗號，然后就把數(shù)據(jù)復制帶里面，這樣數(shù)據(jù)的處理就得到了解決；然后通過c語言和進行編程可以求出各種的購買量，執(zhí)行的程序見附錄二與附錄三； 表2：的購買量編號1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 購買量43674876395456586949編號11121314151617181920購買量51555163517552455167編號21222324252627282930購買量68496541505952395071編號31323334353637383940購買量47686062686143595852編號41424344454647484950購買量88665165645257505464編號51525354555657585960購買量71525745575957465958編號61626364656667686970購買量47605560486065616166編號71727374757677787980購買量64664759463939575651編號81828384858687888990購買量59334535634466424355編號919293949596979899100購買量73494345794767623966 （4） ：問題四我覺得的需求預測、購買和分配中還要考慮收入和費用；假設:會員的入會費為元，網(wǎng)站每月共有名新會員加入；每月的收入就為每一張的平均購買費為元，的購買數(shù)量為；每月的購買費就為每一張使用的時間為月，所以每月的折舊費為元；網(wǎng)站每月正常使用費用（如工人的工資，日常飲用水等）為元；建立模型五+所以每月的購買數(shù)量在的需求預測方面還需要考慮會員的入會費和的更新速度；在的分配方面還需要考慮會員的在線時長，會員們之前所訂購的的種類，消費習慣。六、模型結果的分析3、在問題三方面我們對每一種都滿足95%的會員的觀看，這樣既能滿足題目要求使的總數(shù)要達到滿足95%的會員的觀看，又能使?jié)M足度達到最大； 附件一：model:sets:dvd/1.100/:total;!total為網(wǎng)站現(xiàn)有的數(shù)量;huiyuan/1.1000/; !自定義0-1向量;pianai(huiyuan,dvd):data0;bianliang(huiyuan,dvd):data1;Endsets!目標函數(shù)（總體滿意度最大）;max=sum(pianai(i,j):data1(i,j)*data0(i,j);! x (i,j) ,t (i)為0-1變量;for(bianliang:bin(data1); ! 約束條件每人可租數(shù)Yi=3或0;for(huiyuan(j):sum(bianliang(j,i):data1(j,i)=3); ! 所租總數(shù)小于網(wǎng)站現(xiàn)有的數(shù)量; for(dvd(i):sum(bianliang(i,j):data1(i,j)=total(i);data:total=10 40 15 20 20 12 30 33 35 25 29 31 28 61 2 28 28 26 31 38 34 29 35 22 29 81 1 19 25 41 29 35 1 40 39 5 106 30 29 2 110 6 15 36 34 11 32 25 2 64 40 26 33 26 61 2 11 38 44 36 27 31 42 44 12 81 10 35 33 30 2 40 15 11 28 24 20 88 9 28 31 8 22 3 70 21 34 4 38 27 39 28 24 15 50 24 36 55 2 40 ; ! 網(wǎng)站現(xiàn)有的數(shù)量;data0=6 0 0 0 0 0 8 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 9 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 0 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 2 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 10 0 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 10 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4 ;enddataend 附錄二：#includeint main(void)int x1000100=6，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，8 ，1 ，0 ，0 ，4 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0.; /輸入每位會員的的在線訂單 int maxB,i,j,c1000100,b100,k=0,y=0,n100=0;for(i=0;i1000;i+)for(j=0;j100;i+) if(xij=0) cij=0; else cij=1/xij; /得出偏愛度，當1/xij不為0時；cij=1/xij；當當1/xij為0時cij=0；/進行01規(guī)劃；for(i=0;i1000;i+) for(j=0;j100;i+) if(xij=0) xij=0; else if(xij=3) xij=1; else xij=0; /求出需要第j種DVD的人數(shù)for(j=0;j100;i+ ) for(i=0;i1000;i+)nj=nj+xij;/得出第j種DVD需采購數(shù)量for(j=0;j100;i+)bj=0.7*0.95*nj;/再次進行0-1規(guī)劃for(j=0;j100;i+) for(i=0;i1000;i+)if(kbj)k=k+xij; else xij=0; for(i=0;i1000;i+) for(j=0;j100;i+) if(y!=3) y=y+xij; else xij=0; /輸出需要購買j種DVD的數(shù)量，并且求出滿意度。for(j=0;j100;i+) printf(%d,bj);for(i=0;i1000;i+) maxB=maxB+cij*xij; /輸出滿意度printf(%dn,maxB);return 0; 附錄三：model:sets:dvd/1.100/:total;!total為網(wǎng)站現(xiàn)有的數(shù)量;huiyuan/1.1000/; !自定義0-1向量;pianai(huiyuan,dvd):data0;bianliang(huiyuan,dvd):data1;Endsets!目標函數(shù)（總體滿意度最大）;max=sum(pianai(i,j):data1(i,j)*data0(i,j);! x (i,j) ,t (i)為0-1變量;for(bianliang:bin(data1); ! 約束條件每人可租數(shù)Yi=3或0;for(huiyuan(j):sum(bianliang(j,i):data1(j,i)=3); ! 所租總數(shù)小于網(wǎng)站現(xiàn)有的數(shù)量; for(dvd(i):sum(bianliang(i,j):data1(i,j)=total(i);data:total=43 67 48 76 39 54 56 58 69 49 51 55 51 63 51 75 52 45 51 67 68 49 65 41 50 59 52 39 50 71 47 68 60 62 68 61 43 59 58 52 88 66 51 65 64 52 57 50 54 64 71 52 57 45 57 59 57 46 59 58 47 60 55 60 48 60 65 61 61 66 64 66 47 59 46 39 39 57 56 51 59 33 45 35 63 44 66 42 43 55 73 49 43 45 79 47 67 62 39 66; ! 網(wǎng)站現(xiàn)有的數(shù)量;data0=6 0 0 0 0 0 8 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3