線性代數_北京郵電大學出版社(戴斌祥_主編)習題答案(1、2、3、4、5).doc

線性代數習題及答案（北京郵電大學出版社戴斌祥主）編習題一（A類）1. 求下列各排列的逆序數.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n-1)321； (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n-1)321)= 0+1+2 +(n-1)=;(4) (13(2n-1)(2n)(2n-2)2)=0+1+(n-1)+(n-1)+(n-2)+1+0=n(n-1).2. 求出j，k使9級排列24j157k98為偶排列。解：由排列為9級排列，所以j,k只能為3、6.由2排首位，逆序為0,4的逆序數為0，1的逆序數為3，7的逆序數為0，9的為0，8的為1.由0+0+3+0+1=4，為偶數.若j=3,k=6，則j的逆序為1，5的逆序數為0，k的為1,符合題意；若j=6,k=3,則j的逆序為0，5的逆序數為1，k的為4，不符合題意.所以j=3、k=6.3. 寫出4階行列式中含有因子的項。解：D4=由題意有：故D4中含的項為：即為：4. 在6階行列式中，下列各項應帶什么符號？（1）；解：因為，所以該項帶正號。（2）解：因為，所以該項帶正號。5. 用定義計算下列各行列式.(1)； (2). （3）【解】(1) D=(-1)(2314)4!=24; (2) D=12.（3）由題意知：所以6. 計算下列各行列式.(1)； (2) ；(3)； (4) .【解】(1) ;(2) ;7. 證明下列各式.(1) ；(2) ； (3) (4) ；(5) .【證明】(1) (2) (3) 首先考慮4階范德蒙行列式:從上面的4階范德蒙行列式知，多項式f(x)的x的系數為但對（*）式右端行列式按第一行展開知x的系數為兩者應相等，故(4) 對D2n按第一行展開，得據此遞推下去，可得(5) 對行列式的階數n用數學歸納法.當n=2時，可直接驗算結論成立，假定對這樣的n-1階行列式結論成立，進而證明階數為n時結論也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成兩個n階行列式相加：但由歸納假設從而有8. 計算下列n階行列式.(1) (2) ；(3). (4).【解】(1) 各行都加到第一行，再從第一行提出x+(n-1),得將第一行乘（-1）后分別加到其余各行，得(2) 按第二行展開(3) 行列式按第一列展開后，得(4) . 即有 由 得 .9. 計算n階行列式.【解】各列都加到第一列，再從第一列提出，得將第一行乘（-1）后加到其余各行，得10. 計算階行列式（其中）.【解】行列式的各列提取因子,然后應用范德蒙行列式.11. 已知4階行列式D中第3列元素依次為-1，2，0，1，它們的余子式依次為8，7，2，10，求行列式D的值。解：D=，12. 用克拉默法則解方程組.（1） （2）(3) (4) 【解】（1）因為D=；D1=；D2=所以（2）因為D=D1=D2=D3=所以(3)方程組的系數行列式為故原方程組有惟一解，為13. 滿足什么條件時，線性方程組有唯一解？解：D= =要使方程組有唯一解，必須D，于是：解得：當不等于1，時，方程組有唯一解。14. 和為何值時，齊次方程組有非零解?【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數行列式即故或時，方程組有非零解. 15. 求三次多項式，使得【解】根據題意，得這是關于四個未知數的一個線性方程組，由于故得于是所求的多項式為（B類）1. 已知n階行列式D的每一列元素之和均為零，則D= 。解： 令D=2.D3. 寫出行列式D4=的展開式中包含和的項。解：令D4=比較可得：只有當時，才能出現項，當時，為項，故中含項為：含項為：。4. 已知4階行列式D4=，試求，其中為行列式D4的第4行第j列的元素的代數余子式。解：因為D4=所以5. 解方程解：因D=+故由D=0可得：因為=所以6. 求出使一平面上三個點位于同一直線上的充分必要條件.【解】設平面上的直線方程為ax+by+c=0 (a,b不同時為0)按題設有則以a,b,c為未知數的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為上式即為三點位于同一直線上的充分必要條件.習題 二（A類）1. 1. 設A=，B=，（1） 計算3A-B，2A+3B；（2） 若X滿足A+X=B，求X；（3） 若Y滿足（2A-Y）+2（B-Y）=0，求Y.解：（1）3A-B=-=。2A+3B=+=。（2）因A+X=B，則X=B-A，即X=-=。（3）因為（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以3Y=2A+2B，即Y=（A+B）=（+）=。2. 計算下列矩陣的乘積.（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）.【解】(1) (2); (3) (10);(4) (5); (6) .3. 設，求(1);(2) ；(3) 嗎?【解】(1) (2) (3) 由于ABBA,故(A+B)(A-B)A2-B2.4. 舉例說明下列命題是錯誤的.(1) 若， 則； (2) 若， 則或；(3) 若， 則.【解】(1) 以三階矩陣為例，取,但A0(2) 令,則A2=A,但A0且AE(3) 令則AX=AY,但XY.5. 計算：（1）；（2）（k為正整數）； （3）（k為正整數）.解：（1）=。（2）令Dk=（k為正整數），則當k=2時，D2=；設Dm=成立，則Dm+1=.故有：Dk=.(3) 令Dk=（k為正整數），則當k=2時，有：D2=；假設Dm=成立，則Dm+1=；故有=。6. 設，求|. 解：由已知條件，的伴隨矩陣為又因為，所以有，且，即 于是有 .7.已知線性變換利用矩陣乘法求從到的線性變換.【解】已知從而由到的線性變換為8. 設，為階方陣，且為對稱陣，證明：也是對稱陣.【證明】因為n階方陣A為對稱陣，即A=A,所以 (BAB)=BAB=BAB,故也為對稱陣.9.設A，B為n階對稱方陣，證明：AB為對稱陣的充分必要條件是AB=BA.【證明】已知A=A,B=B，若AB是對稱陣，即(AB)=AB.則 AB=(AB)=BA=BA,反之，因AB=BA,則(AB)=BA=BA=AB,所以，AB為對稱陣.10. A為n階對稱矩陣，B為n階反對稱矩陣，證明：(1) B2是對稱矩陣.(2) AB-BA是對稱矩陣，AB+BA是反對稱矩陣.【證明】因A=A,B= -B,故(B2)=BB= -B(-B)=B2;(AB-BA)=(AB)-(BA)=BA-AB= -BA-A(-B)=AB-BA;(AB+BA)=(AB)+(BA)=BA+AB= -BA+A(-B)= -(AB+BA).所以B2是對稱矩陣，AB-BA是對稱矩陣，AB+BA是反對稱矩陣.11. 求與A=可交換的全體二階矩陣.【解】設與A可交換的方陣為,則由=,得.由對應元素相等得c=0,d=a,即與A可交換的方陣為一切形如的方陣，其中a,b為任意數.12. 求與A=可交換的全體三階矩陣.【解】由于A=E+,而且由可得由此又可得所以即與A可交換的一切方陣為其中為任意數.13.求下列矩陣的逆矩陣.(1) ； (2) ；(3)； (4)；【解】(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;14. 利用逆矩陣，解線性方程組【解】因,而故15. 證明下列命題：(1) 若A，B是同階可逆矩陣，則（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，則A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.(3) 若AA=E,則（A*）=(A*)-1.【證明】（1） 因對任意方陣c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同階，故可得|A|B|B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*=(AB) *A|B|EA*=|A|B|(AB) *. |A|0,|B|0, (AB) *=B*A*.(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,從而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.于是A* (A-1) *=|A|A-1|A|-1A=E,所以 (A-1) *=(A*)-1.(3) 因AA=E，故A可逆且A-1=A.由(2)(A*)-1=(A-1) *,得(A*)-1=(A) *=(A*).16.已知線性變換求從變量到變量的線性變換.【解】已知且|A|=10,故A可逆，因而所以從變量到變量的線性變換為17.解下列矩陣方程.(1) ；(2)；(3) ；(4) .【解】(1) 令A=;B=.由于故原方程的惟一解為同理(2) X=; (3) X=; (4) X=18. 設，,求.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故19. 設次多項式，記,稱為方陣的次多項式.(1)， 證明，；(2) 設， 證明，.【證明】(1)即k=2和k=3時，結論成立.今假設那么所以，對一切自然數k，都有而(2) 由(1)與A=P -1BP,得B=PAP -1.且Bk=( PAP -1)k= PAkP -1,又20. 設.其中， 求.【解】因可逆，且故由得21. 設階方陣的伴隨矩陣為，證明：(1) 若，則；(2) .【證明】（1） 若|A|=0，則必有|A*|=0，因若| A*|0，則有A*( A*)-1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)-1=|A|( A*)-1=0,這與| A*|0是矛盾的，故當|A| =0，則必有| A*|=0.(2) 由A A*=|A|E，兩邊取行列式，得|A| A*|=|A|n,若|A|0，則| A*|=|A|n-1若|A|=0,由(1)知也有| A*|=|A|n-1.22.設.求(1) ; (2); (3) ；(4)k (為正整數).【解】(1); (2) ;(3) ; (4).23. 用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，并求其逆矩陣.（1）； （2）;（3）.【解】(1) 對A做如下分塊 其中的逆矩陣分別為所以A可逆，且同理(2)(3) 24. 用初等變換將下列矩陣化為等價標準形。（1）； （2）。解：（1）=。（2）=。25. 利用初等變換求下列矩陣的逆矩陣。（1）； （2）；（3）； （4）。解：（1）對作初等行變換：所以A-1=。（2）對作初等行變換：所以，A-1=。解：（3）所以。（4）所以。26. 求下列矩陣的秩。（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。解：（1）A=所以R（A）= 4。（2）A=所以R（A）= 3。（3）A=所以R（A）= 2。（4）A=所以R（A）= 3。（5）A=E所以R（A）= 5。（6）A=當且時，R（A）= 4；當a=1時，R（A）= 1；當時，R（A）= 3。27. 已知A=（1，-1，0），B=。若R（AB+B）=2，求a。解：A=，AB=，AB+B=+=因為=-160，所以當為a任意實數時，均有R（AB+B）=2。（B類）1.C2.C3.C4.C5. 設矩陣A=，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E，則|B|= 。解：因為A=，且BA=B+2E，則BA-B=2EB（A-E）=2E B=2(A-E)-1又A-E=，所以（A-E）-1=B= |B|=26設A=，B為3階非零矩陣，且AB=O，則t= 。解：因為AB=O，且B為非零矩陣，則有|A|=0。反證法證明以上結論。如果|A|0，則A可逆，存在A-1A=E因為AB=O，所以A-1AB=O B=O與B為非零矩陣矛盾。故有|A|=0。又A=，所以|A|=7(t-8+11)=7(t+3)所以t=-3.7. 已知矩陣 的秩為3，則k= .解 由于，則，即 .由此得 或. 當時，顯然有； 當時，的左上角的3階子式 .故當且僅當時，.8. 設A為43矩陣，且R（A）=2，而B=，則R（AB）= 。解：因為|B|=100，所以B可逆。所以R（AB）=R(A)=2.9. 設方陣A滿足A2-A-2E=0,證明:A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.證明：因為,所以，兩邊取行列式.則 所以，所以可逆，.又得，由可逆，則2可逆，所以+2E可逆10設A是n階方陣，滿足，且|A|0，求|A+E|。解：|A+E|=|=|=|A|=|A|A+E|所以，因為1-|A|0,(|A|0)所以|A+E|=0。11. 若3階方陣A的伴隨矩陣為A*，且|A|=，求的值。解：|A|=R(A)=3，所以所以=則。12設，其中.證明：與可交換的只能是對角矩陣.證：設與可交換.則，.由可得，由，ij, 所以當i1, 同理可得所以是對角矩陣.13. 設A為n階方陣(n2),A*為A的伴隨矩陣,試證:(1) 當R(A)=n時,R(A*)=n;(2) 當R(A)=n-1時,R(A*)=1;(3) 當R(A)n-1時,R(A*)=0.證明：（1）由，所以可逆.而所以，所以可逆，即（2）下面先證明一個矩陣秩的性質.設矩陣、B則而，故秩+秩Bn+秩（B）由R（）=n-1，則=0，所以，所以秩+秩*n，即秩*1又R()=n-1,所以的所有n-1階子式不為0，即*有非零元素，即秩*1，故秩*=1.（3）由R（）n-1，故的所有n-1階子式為0，即*的所有元素為0，從而秩（*）=0.習題三（A類）1. 設1(1，1，0)，2(0，1，1)，3(3，4，0).求1-2及31+22-3.解：1-2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),31+22-3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)2. 設3(1-)+2(2+)5(3+)，其中1(2，5，1，3)，2(10，1，5，10)，3(4，1，-1，1).求.解：由3（1-）+2(2+)=5(3+)整理得：=(31+22-53),即= (6,12,18,24)=(1,2,3,4)3.（1） （2） （3） （4） （5）4. 判別下列向量組的線性相關性.（1）1=(2,5), 2=(-1,3);(2) 1=(1,2), 2=(2,3), 3=(4,3);(3) 1=(1,1,3,1),2=(4,1,-3,2),3=(1,0,-1,2);(4) 1=(1,1,2,2,1),2=(0,2,1,5,-1),3=(2,0,3,-1,3),4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無關；（2）線性相關；（3）線性無關；（4）線性相關.5. 設,3線性無關，證明：，+，+3也線性無關.證明：設即由線性無關，有所以即線性無關.6.問a為何值時，向量組線性相關，并將用線性表示.解：當a=5時，7. 作一個以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無關,所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，0）線性無關，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個行向量.所以方陣可為.8. 設的秩為r且其中每個向量都可經線性表出.證明：為的一個極大線性無關組.【證明】若 (1)線性相關，且不妨設 (tr) (2)是(1)的一個極大無關組，則顯然（2）是的一個極大無關組，這與的秩為r矛盾，故必線性無關且為的一個極大無關組.9. 求向量組=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關組.【解】把按列排成矩陣A，并對其施行初等變換.當k=1時，的秩為為其一極大無關組.當k1時，線性無關，秩為3，極大無關組為其本身.10. 確定向量,使向量組與向量組=(0,1,1),=(1,2,1),=(1,0,-1)的秩相同，且可由線性表出.【解】由于而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a-2=0,即a=2,又要使可由線性表出，需b-a+2=0,故a=2,b=0時滿足題設要求，即=(2,2,0).11. 求下列向量組的秩與一個極大線性無關組.(1) 1=(1,2,1,3),2=(4,-1,-5,-6),3=(1,-3,-4,-7);(2) 1(6，4，1，-1，2)，2(1，0，2，3，-4)，3(1，4，-9，-6，22)，4(7，1，0，-1，3)；(3) 1(1，-1，2，4)，2(0，3，1，2)，3(3，0，7，14)，4(1，-1，2，0),5(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣，應用初等行變換將化為最簡形矩陣B，則可知：R（）=R（B）=2，B的第1，2列線性無關，由于的列向量組與B的對應的列向量有相同的線性組合關系，故與B對應的的第1，2列線性無關，即1,2是該向量組的一個極大無關組.（2）同理，可知R()=R(B)=4,的4個列向量線性無關,即1,2,3,4是該向量組的極大無關組.(3)同理, ,可知R()=R(B)=3,取線性無關組1,3,5為該向量組的一個極大無關組.12.求下列向量組的一個極大無關組,并將其余向量用此極大無關組線性表示.(1) 1=(1,1,3,1),2=(-1,1,-1,3),3=(5,-2,8,-9),4=(-1,3,1,7);(2) 1=(1,1,2,3),2=(1,-1,1,1),3=(1,3,3,5),4=(4,-2,5,6),5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成,應用初等行變換化為最簡形式.,可知,1,2為向量組的一個極大無關組.設3=x11+x22,即解得,設4=x31+x42,即解得,所以(2)同理, 可知, 1、2可作為的一個極大線性無關組，令3=x11+x22可得：即x1=2,x2=-1,令4=x31+x42,可得：即x1=1,x2=3,令5=x51+x62,可得：即x1=-2,x2=-1,所以3=21-24=1+32,5=-21-213. 設向量組與秩相同且能經線性表出.證明與等價.【解】設向量組 (1)與向量組 (2)的極大線性無關組分別為 (3)和 (4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即因（4）線性無關，故（3）線性無關的充分必要條件是|aij|0，可由（*）解出,即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.14. 設向量組1,2,s的秩為r1,向量組1,2,t的秩為r2,向量組1,2,s,1,2,t的秩為r3,試證:maxr1,r2r3r1+r2.證明：設s1,，為1,2,，s的一個極大線性無關組, t1,t2,為1,2,t的一個極大線性無關組. 1，為1, 2，s，1，2，t的一個極大線性無關組，則s1, ，和t1，tr2可分別由1，線性表示，所以，r1r3，r2r3即maxr1,r2r3，又1，可由s1, ，sr1，t1，tr2線性表示及線性無關性可知：r3r1+r2.15. 已知向量組1=(1,a,a,a),2=(a,1,a,a),3=(a,a,1,a),4=(a,a,a,1)的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡形式：由秩A=3.可知a1,從而1+3a=0，即a=-.16. 求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關組.(1)； (2).【解】(1) 矩陣的行向量組的一個極大無關組為;(2) 矩陣的行向量組的一個極大無關組為.17. 集合V1()R且0是否構成向量空間?為什么?【解】由（0,0,0）V1知V1非空，設)則因為所以,故是向量空間.18. 試證：由,生成的向量空間恰為R3.【證明】把排成矩陣A=(),則,所以線性無關，故是R3的一個基，因而生成的向量空間恰為R3.19. 求由向量所生的向量空間的一組基及其維數.【解】因為矩陣是一組基，其維數是3維的.20. 設,證明:.【解】因為矩陣由此知向量組與向量組的秩都是2，并且向量組可由向量組線性表出.由習題15知這兩向量組等價，從而也可由線性表出.所以.21. 在R3中求一個向量，使它在下面兩個基下有相同的坐標.【解】設在兩組基下的坐標均為()，即即求該齊次線性方程組得通解 (k為任意實數)故22. 驗證為R3的一個基，并把用這個基線性表示.【解】設又設,即記作 B=AX.則因有,故為R3的一個基，且即.（B類）1.A2.B3.C4.D5.a=2，b=46.abc07.設向量組1,2,3線性相關,向量組2,3,4線性無關,問:(1) 1能否由2,3線性表示?證明你的結論.(2) 4能否由1,2,3線性表示?證明你的結論.解：(1)由向量組1，2，3線性相關，知向量組1, 2, 3的秩小于等于2,而2, 3, 4線性無關，所以2, 3線性無關，故2, 3是1, 2, 3的極大線性無關組，所以1能由2, 3線性表示.（2）不能.若4可由1，2，3線性表示,而2，3是1，2，3的極大線性無關組,所以4可由2，3線性表示.與2，3，4線性無關矛盾.8.若1,2,n,n+1線性相關,但其中任意n個向量都線性無關,證明:必存在n+1個全不為零的數k1,k2,kn,kn+1,使k11+k22+kn+1n+1=0.證明:因為1，2，n，n+1線性相關，所以存在不全為零的k1，k2，kn，kn+1使k11+k22+kn+1n+1=0若k1=0，則k22+kn+1n+1=0，由任意n個向量都性線無關，則k2=kn+1=0,矛盾.從k10,同理可知ki0,i=2, ,n+1,所以存在n+1個全不為零的數k1,k2,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+kn+1an+1=0.9. 設A是nm矩陣,B是mn矩陣,其中nm,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無關.證明：由第2章知識知，秩An,秩Bn，可由第2章小結所給矩陣秩的性質，n=秩Emin秩A，秩Bn，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無關.習題四（A類）1. 用消元法解下列方程組.(1) (2) 【解】(1) 得所以(2) 解-2得 x2-2x3=0- 得 2x3=4得同解方程組由得 x3=2,由得 x2=2x3=4,由得 x1=2-2x3 -2x2 = -10,得 (x1,x2,x3)T=(-10,4,2)T.2. 求下列齊次線性方程組的基礎解系.(1) (2) (3) (4) 【解】(1) 得同解方程組得基礎解系為.(2) 系數矩陣為 其基礎解系含有個解向量.基礎解系為(3) 得同解方程組取得基礎解系為(