線性代數(shù)_北京郵電大學(xué)出版社(戴斌祥_主編)習(xí)題答案(1、2、3、4、5).doc

線性代數(shù)習(xí)題及答案（北京郵電大學(xué)出版社戴斌祥主）編習(xí)題一（A類）1. 求下列各排列的逆序數(shù).(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n-1)321； (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n-1)321)= 0+1+2 +(n-1)=;(4) (13(2n-1)(2n)(2n-2)2)=0+1+(n-1)+(n-1)+(n-2)+1+0=n(n-1).2. 求出j，k使9級(jí)排列24j157k98為偶排列。解：由排列為9級(jí)排列，所以j,k只能為3、6.由2排首位，逆序?yàn)?,4的逆序數(shù)為0，1的逆序數(shù)為3，7的逆序數(shù)為0，9的為0，8的為1.由0+0+3+0+1=4，為偶數(shù).若j=3,k=6，則j的逆序?yàn)?，5的逆序數(shù)為0，k的為1,符合題意；若j=6,k=3,則j的逆序?yàn)?，5的逆序數(shù)為1，k的為4，不符合題意.所以j=3、k=6.3. 寫出4階行列式中含有因子的項(xiàng)。解：D4=由題意有：故D4中含的項(xiàng)為：即為：4. 在6階行列式中，下列各項(xiàng)應(yīng)帶什么符號(hào)？（1）；解：因?yàn)椋栽擁?xiàng)帶正號(hào)。（2）解：因?yàn)椋栽擁?xiàng)帶正號(hào)。5. 用定義計(jì)算下列各行列式.(1)； (2). （3）【解】(1) D=(-1)(2314)4!=24; (2) D=12.（3）由題意知：所以6. 計(jì)算下列各行列式.(1)； (2) ；(3)； (4) .【解】(1) ;(2) ;7. 證明下列各式.(1) ；(2) ； (3) (4) ；(5) .【證明】(1) (2) (3) 首先考慮4階范德蒙行列式:從上面的4階范德蒙行列式知，多項(xiàng)式f(x)的x的系數(shù)為但對(duì)（*）式右端行列式按第一行展開知x的系數(shù)為兩者應(yīng)相等，故(4) 對(duì)D2n按第一行展開，得據(jù)此遞推下去，可得(5) 對(duì)行列式的階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=2時(shí)，可直接驗(yàn)算結(jié)論成立，假定對(duì)這樣的n-1階行列式結(jié)論成立，進(jìn)而證明階數(shù)為n時(shí)結(jié)論也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成兩個(gè)n階行列式相加：但由歸納假設(shè)從而有8. 計(jì)算下列n階行列式.(1) (2) ；(3). (4).【解】(1) 各行都加到第一行，再從第一行提出x+(n-1),得將第一行乘（-1）后分別加到其余各行，得(2) 按第二行展開(3) 行列式按第一列展開后，得(4) . 即有 由 得 .9. 計(jì)算n階行列式.【解】各列都加到第一列，再從第一列提出，得將第一行乘（-1）后加到其余各行，得10. 計(jì)算階行列式（其中）.【解】行列式的各列提取因子,然后應(yīng)用范德蒙行列式.11. 已知4階行列式D中第3列元素依次為-1，2，0，1，它們的余子式依次為8，7，2，10，求行列式D的值。解：D=，12. 用克拉默法則解方程組.（1） （2）(3) (4) 【解】（1）因?yàn)镈=；D1=；D2=所以（2）因?yàn)镈=D1=D2=D3=所以(3)方程組的系數(shù)行列式為故原方程組有惟一解，為13. 滿足什么條件時(shí)，線性方程組有唯一解？解：D= =要使方程組有唯一解，必須D，于是：解得：當(dāng)不等于1，時(shí)，方程組有唯一解。14. 和為何值時(shí)，齊次方程組有非零解?【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式即故或時(shí)，方程組有非零解. 15. 求三次多項(xiàng)式，使得【解】根據(jù)題意，得這是關(guān)于四個(gè)未知數(shù)的一個(gè)線性方程組，由于故得于是所求的多項(xiàng)式為（B類）1. 已知n階行列式D的每一列元素之和均為零，則D= 。解： 令D=2.D3. 寫出行列式D4=的展開式中包含和的項(xiàng)。解：令D4=比較可得：只有當(dāng)時(shí)，才能出現(xiàn)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，為項(xiàng)，故中含項(xiàng)為：含項(xiàng)為：。4. 已知4階行列式D4=，試求，其中為行列式D4的第4行第j列的元素的代數(shù)余子式。解：因?yàn)镈4=所以5. 解方程解：因D=+故由D=0可得：因?yàn)?所以6. 求出使一平面上三個(gè)點(diǎn)位于同一直線上的充分必要條件.【解】設(shè)平面上的直線方程為ax+by+c=0 (a,b不同時(shí)為0)按題設(shè)有則以a,b,c為未知數(shù)的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為上式即為三點(diǎn)位于同一直線上的充分必要條件.習(xí)題 二（A類）1. 1. 設(shè)A=，B=，（1） 計(jì)算3A-B，2A+3B；（2） 若X滿足A+X=B，求X；（3） 若Y滿足（2A-Y）+2（B-Y）=0，求Y.解：（1）3A-B=-=。2A+3B=+=。（2）因A+X=B，則X=B-A，即X=-=。（3）因?yàn)椋?A-Y）+2（B-Y）=0，所以3Y=2A+2B，即Y=（A+B）=（+）=。2. 計(jì)算下列矩陣的乘積.（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）.【解】(1) (2); (3) (10);(4) (5); (6) .3. 設(shè)，求(1);(2) ；(3) 嗎?【解】(1) (2) (3) 由于ABBA,故(A+B)(A-B)A2-B2.4. 舉例說明下列命題是錯(cuò)誤的.(1) 若， 則； (2) 若， 則或；(3) 若， 則.【解】(1) 以三階矩陣為例，取,但A0(2) 令,則A2=A,但A0且AE(3) 令則AX=AY,但XY.5. 計(jì)算：（1）；（2）（k為正整數(shù)）； （3）（k為正整數(shù)）.解：（1）=。（2）令Dk=（k為正整數(shù)），則當(dāng)k=2時(shí)，D2=；設(shè)Dm=成立，則Dm+1=.故有：Dk=.(3) 令Dk=（k為正整數(shù)），則當(dāng)k=2時(shí)，有：D2=；假設(shè)Dm=成立，則Dm+1=；故有=。6. 設(shè)，求|. 解：由已知條件，的伴隨矩陣為又因?yàn)椋杂?，且，?于是有 .7.已知線性變換利用矩陣乘法求從到的線性變換.【解】已知從而由到的線性變換為8. 設(shè)，為階方陣，且為對(duì)稱陣，證明：也是對(duì)稱陣.【證明】因?yàn)閚階方陣A為對(duì)稱陣，即A=A,所以 (BAB)=BAB=BAB,故也為對(duì)稱陣.9.設(shè)A，B為n階對(duì)稱方陣，證明：AB為對(duì)稱陣的充分必要條件是AB=BA.【證明】已知A=A,B=B，若AB是對(duì)稱陣，即(AB)=AB.則 AB=(AB)=BA=BA,反之，因AB=BA,則(AB)=BA=BA=AB,所以，AB為對(duì)稱陣.10. A為n階對(duì)稱矩陣，B為n階反對(duì)稱矩陣，證明：(1) B2是對(duì)稱矩陣.(2) AB-BA是對(duì)稱矩陣，AB+BA是反對(duì)稱矩陣.【證明】因A=A,B= -B,故(B2)=BB= -B(-B)=B2;(AB-BA)=(AB)-(BA)=BA-AB= -BA-A(-B)=AB-BA;(AB+BA)=(AB)+(BA)=BA+AB= -BA+A(-B)= -(AB+BA).所以B2是對(duì)稱矩陣，AB-BA是對(duì)稱矩陣，AB+BA是反對(duì)稱矩陣.11. 求與A=可交換的全體二階矩陣.【解】設(shè)與A可交換的方陣為,則由=,得.由對(duì)應(yīng)元素相等得c=0,d=a,即與A可交換的方陣為一切形如的方陣，其中a,b為任意數(shù).12. 求與A=可交換的全體三階矩陣.【解】由于A=E+,而且由可得由此又可得所以即與A可交換的一切方陣為其中為任意數(shù).13.求下列矩陣的逆矩陣.(1) ； (2) ；(3)； (4)；【解】(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;14. 利用逆矩陣，解線性方程組【解】因,而故15. 證明下列命題：(1) 若A，B是同階可逆矩陣，則（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，則A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.(3) 若AA=E,則（A*）=(A*)-1.【證明】（1） 因?qū)θ我夥疥嘽，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同階，故可得|A|B|B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*=(AB) *A|B|EA*=|A|B|(AB) *. |A|0,|B|0, (AB) *=B*A*.(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,從而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.于是A* (A-1) *=|A|A-1|A|-1A=E,所以 (A-1) *=(A*)-1.(3) 因AA=E，故A可逆且A-1=A.由(2)(A*)-1=(A-1) *,得(A*)-1=(A) *=(A*).16.已知線性變換求從變量到變量的線性變換.【解】已知且|A|=10,故A可逆，因而所以從變量到變量的線性變換為17.解下列矩陣方程.(1) ；(2)；(3) ；(4) .【解】(1) 令A(yù)=;B=.由于故原方程的惟一解為同理(2) X=; (3) X=; (4) X=18. 設(shè)，,求.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故19. 設(shè)次多項(xiàng)式，記,稱為方陣的次多項(xiàng)式.(1)， 證明，；(2) 設(shè)， 證明，.【證明】(1)即k=2和k=3時(shí)，結(jié)論成立.今假設(shè)那么所以，對(duì)一切自然數(shù)k，都有而(2) 由(1)與A=P -1BP,得B=PAP -1.且Bk=( PAP -1)k= PAkP -1,又20. 設(shè).其中， 求.【解】因可逆，且故由得21. 設(shè)階方陣的伴隨矩陣為，證明：(1) 若，則；(2) .【證明】（1） 若|A|=0，則必有|A*|=0，因若| A*|0，則有A*( A*)-1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)-1=|A|( A*)-1=0,這與| A*|0是矛盾的，故當(dāng)|A| =0，則必有| A*|=0.(2) 由A A*=|A|E，兩邊取行列式，得|A| A*|=|A|n,若|A|0，則| A*|=|A|n-1若|A|=0,由(1)知也有| A*|=|A|n-1.22.設(shè).求(1) ; (2); (3) ；(4)k (為正整數(shù)).【解】(1); (2) ;(3) ; (4).23. 用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，并求其逆矩陣.（1）； （2）;（3）.【解】(1) 對(duì)A做如下分塊 其中的逆矩陣分別為所以A可逆，且同理(2)(3) 24. 用初等變換將下列矩陣化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。（1）； （2）。解：（1）=。（2）=。25. 利用初等變換求下列矩陣的逆矩陣。（1）； （2）；（3）； （4）。解：（1）對(duì)作初等行變換：所以A-1=。（2）對(duì)作初等行變換：所以，A-1=。解：（3）所以。（4）所以。26. 求下列矩陣的秩。（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。解：（1）A=所以R（A）= 4。（2）A=所以R（A）= 3。（3）A=所以R（A）= 2。（4）A=所以R（A）= 3。（5）A=E所以R（A）= 5。（6）A=當(dāng)且時(shí)，R（A）= 4；當(dāng)a=1時(shí)，R（A）= 1；當(dāng)時(shí)，R（A）= 3。27. 已知A=（1，-1，0），B=。若R（AB+B）=2，求a。解：A=，AB=，AB+B=+=因?yàn)?-160，所以當(dāng)為a任意實(shí)數(shù)時(shí)，均有R（AB+B）=2。（B類）1.C2.C3.C4.C5. 設(shè)矩陣A=，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E，則|B|= 。解：因?yàn)锳=，且BA=B+2E，則BA-B=2EB（A-E）=2E B=2(A-E)-1又A-E=，所以（A-E）-1=B= |B|=26設(shè)A=，B為3階非零矩陣，且AB=O，則t= 。解：因?yàn)锳B=O，且B為非零矩陣，則有|A|=0。反證法證明以上結(jié)論。如果|A|0，則A可逆，存在A-1A=E因?yàn)锳B=O，所以A-1AB=O B=O與B為非零矩陣矛盾。故有|A|=0。又A=，所以|A|=7(t-8+11)=7(t+3)所以t=-3.7. 已知矩陣 的秩為3，則k= .解 由于，則，即 .由此得 或. 當(dāng)時(shí)，顯然有； 當(dāng)時(shí)，的左上角的3階子式 .故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.8. 設(shè)A為43矩陣，且R（A）=2，而B=，則R（AB）= 。解：因?yàn)閨B|=100，所以B可逆。所以R（AB）=R(A)=2.9. 設(shè)方陣A滿足A2-A-2E=0,證明:A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.證明：因?yàn)?所以，兩邊取行列式.則 所以，所以可逆，.又得，由可逆，則2可逆，所以+2E可逆10設(shè)A是n階方陣，滿足，且|A|0，求|A+E|。解：|A+E|=|=|=|A|=|A|A+E|所以，因?yàn)?-|A|0,(|A|0)所以|A+E|=0。11. 若3階方陣A的伴隨矩陣為A*，且|A|=，求的值。解：|A|=R(A)=3，所以所以=則。12設(shè)，其中.證明：與可交換的只能是對(duì)角矩陣.證：設(shè)與可交換.則，.由可得，由，ij, 所以當(dāng)i1, 同理可得所以是對(duì)角矩陣.13. 設(shè)A為n階方陣(n2),A*為A的伴隨矩陣,試證:(1) 當(dāng)R(A)=n時(shí),R(A*)=n;(2) 當(dāng)R(A)=n-1時(shí),R(A*)=1;(3) 當(dāng)R(A)n-1時(shí),R(A*)=0.證明：（1）由，所以可逆.而所以，所以可逆，即（2）下面先證明一個(gè)矩陣秩的性質(zhì).設(shè)矩陣、B則而，故秩+秩Bn+秩（B）由R（）=n-1，則=0，所以，所以秩+秩*n，即秩*1又R()=n-1,所以的所有n-1階子式不為0，即*有非零元素，即秩*1，故秩*=1.（3）由R（）n-1，故的所有n-1階子式為0，即*的所有元素為0，從而秩（*）=0.習(xí)題三（A類）1. 設(shè)1(1，1，0)，2(0，1，1)，3(3，4，0).求1-2及31+22-3.解：1-2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),31+22-3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)2. 設(shè)3(1-)+2(2+)5(3+)，其中1(2，5，1，3)，2(10，1，5，10)，3(4，1，-1，1).求.解：由3（1-）+2(2+)=5(3+)整理得：=(31+22-53),即= (6,12,18,24)=(1,2,3,4)3.（1） （2） （3） （4） （5）4. 判別下列向量組的線性相關(guān)性.（1）1=(2,5), 2=(-1,3);(2) 1=(1,2), 2=(2,3), 3=(4,3);(3) 1=(1,1,3,1),2=(4,1,-3,2),3=(1,0,-1,2);(4) 1=(1,1,2,2,1),2=(0,2,1,5,-1),3=(2,0,3,-1,3),4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無關(guān)；（2）線性相關(guān)；（3）線性無關(guān)；（4）線性相關(guān).5. 設(shè),3線性無關(guān)，證明：，+，+3也線性無關(guān).證明：設(shè)即由線性無關(guān)，有所以即線性無關(guān).6.問a為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)，并將用線性表示.解：當(dāng)a=5時(shí)，7. 作一個(gè)以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無關(guān),所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個(gè)行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，0）線性無關(guān)，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個(gè)行向量.所以方陣可為.8. 設(shè)的秩為r且其中每個(gè)向量都可經(jīng)線性表出.證明：為的一個(gè)極大線性無關(guān)組.【證明】若 (1)線性相關(guān)，且不妨設(shè) (tr) (2)是(1)的一個(gè)極大無關(guān)組，則顯然（2）是的一個(gè)極大無關(guān)組，這與的秩為r矛盾，故必線性無關(guān)且為的一個(gè)極大無關(guān)組.9. 求向量組=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.【解】把按列排成矩陣A，并對(duì)其施行初等變換.當(dāng)k=1時(shí)，的秩為為其一極大無關(guān)組.當(dāng)k1時(shí)，線性無關(guān)，秩為3，極大無關(guān)組為其本身.10. 確定向量,使向量組與向量組=(0,1,1),=(1,2,1),=(1,0,-1)的秩相同，且可由線性表出.【解】由于而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a-2=0,即a=2,又要使可由線性表出，需b-a+2=0,故a=2,b=0時(shí)滿足題設(shè)要求，即=(2,2,0).11. 求下列向量組的秩與一個(gè)極大線性無關(guān)組.(1) 1=(1,2,1,3),2=(4,-1,-5,-6),3=(1,-3,-4,-7);(2) 1(6，4，1，-1，2)，2(1，0，2，3，-4)，3(1，4，-9，-6，22)，4(7，1，0，-1，3)；(3) 1(1，-1，2，4)，2(0，3，1，2)，3(3，0，7，14)，4(1，-1，2，0),5(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣，應(yīng)用初等行變換將化為最簡形矩陣B，則可知：R（）=R（B）=2，B的第1，2列線性無關(guān)，由于的列向量組與B的對(duì)應(yīng)的列向量有相同的線性組合關(guān)系，故與B對(duì)應(yīng)的的第1，2列線性無關(guān)，即1,2是該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.（2）同理，可知R()=R(B)=4,的4個(gè)列向量線性無關(guān),即1,2,3,4是該向量組的極大無關(guān)組.(3)同理, ,可知R()=R(B)=3,取線性無關(guān)組1,3,5為該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.12.求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組,并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.(1) 1=(1,1,3,1),2=(-1,1,-1,3),3=(5,-2,8,-9),4=(-1,3,1,7);(2) 1=(1,1,2,3),2=(1,-1,1,1),3=(1,3,3,5),4=(4,-2,5,6),5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成,應(yīng)用初等行變換化為最簡形式.,可知,1,2為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.設(shè)3=x11+x22,即解得,設(shè)4=x31+x42,即解得,所以(2)同理, 可知, 1、2可作為的一個(gè)極大線性無關(guān)組，令3=x11+x22可得：即x1=2,x2=-1,令4=x31+x42,可得：即x1=1,x2=3,令5=x51+x62,可得：即x1=-2,x2=-1,所以3=21-24=1+32,5=-21-213. 設(shè)向量組與秩相同且能經(jīng)線性表出.證明與等價(jià).【解】設(shè)向量組 (1)與向量組 (2)的極大線性無關(guān)組分別為 (3)和 (4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即因（4）線性無關(guān)，故（3）線性無關(guān)的充分必要條件是|aij|0，可由（*）解出,即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價(jià)，再由它們分別同（1），（2）等價(jià)，所以（1）和（2）等價(jià).14. 設(shè)向量組1,2,s的秩為r1,向量組1,2,t的秩為r2,向量組1,2,s,1,2,t的秩為r3,試證:maxr1,r2r3r1+r2.證明：設(shè)s1,，為1,2,，s的一個(gè)極大線性無關(guān)組, t1,t2,為1,2,t的一個(gè)極大線性無關(guān)組. 1，為1, 2，s，1，2，t的一個(gè)極大線性無關(guān)組，則s1, ，和t1，tr2可分別由1，線性表示，所以，r1r3，r2r3即maxr1,r2r3，又1，可由s1, ，sr1，t1，tr2線性表示及線性無關(guān)性可知：r3r1+r2.15. 已知向量組1=(1,a,a,a),2=(a,1,a,a),3=(a,a,1,a),4=(a,a,a,1)的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡形式：由秩A=3.可知a1,從而1+3a=0，即a=-.16. 求下列矩陣的行向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組.(1)； (2).【解】(1) 矩陣的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為;(2) 矩陣的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為.17. 集合V1()R且0是否構(gòu)成向量空間?為什么?【解】由（0,0,0）V1知V1非空，設(shè))則因?yàn)樗?故是向量空間.18. 試證：由,生成的向量空間恰為R3.【證明】把排成矩陣A=(),則,所以線性無關(guān)，故是R3的一個(gè)基，因而生成的向量空間恰為R3.19. 求由向量所生的向量空間的一組基及其維數(shù).【解】因?yàn)榫仃囀且唤M基，其維數(shù)是3維的.20. 設(shè),證明:.【解】因?yàn)榫仃囉纱酥蛄拷M與向量組的秩都是2，并且向量組可由向量組線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價(jià)，從而也可由線性表出.所以.21. 在R3中求一個(gè)向量，使它在下面兩個(gè)基下有相同的坐標(biāo).【解】設(shè)在兩組基下的坐標(biāo)均為()，即即求該齊次線性方程組得通解 (k為任意實(shí)數(shù))故22. 驗(yàn)證為R3的一個(gè)基，并把用這個(gè)基線性表示.【解】設(shè)又設(shè),即記作 B=AX.則因有,故為R3的一個(gè)基，且即.（B類）1.A2.B3.C4.D5.a=2，b=46.abc07.設(shè)向量組1,2,3線性相關(guān),向量組2,3,4線性無關(guān),問:(1) 1能否由2,3線性表示?證明你的結(jié)論.(2) 4能否由1,2,3線性表示?證明你的結(jié)論.解：(1)由向量組1，2，3線性相關(guān)，知向量組1, 2, 3的秩小于等于2,而2, 3, 4線性無關(guān)，所以2, 3線性無關(guān)，故2, 3是1, 2, 3的極大線性無關(guān)組，所以1能由2, 3線性表示.（2）不能.若4可由1，2，3線性表示,而2，3是1，2，3的極大線性無關(guān)組,所以4可由2，3線性表示.與2，3，4線性無關(guān)矛盾.8.若1,2,n,n+1線性相關(guān),但其中任意n個(gè)向量都線性無關(guān),證明:必存在n+1個(gè)全不為零的數(shù)k1,k2,kn,kn+1,使k11+k22+kn+1n+1=0.證明:因?yàn)?，2，n，n+1線性相關(guān)，所以存在不全為零的k1，k2，kn，kn+1使k11+k22+kn+1n+1=0若k1=0，則k22+kn+1n+1=0，由任意n個(gè)向量都性線無關(guān)，則k2=kn+1=0,矛盾.從k10,同理可知ki0,i=2, ,n+1,所以存在n+1個(gè)全不為零的數(shù)k1,k2,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+kn+1an+1=0.9. 設(shè)A是nm矩陣,B是mn矩陣,其中nm,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無關(guān).證明：由第2章知識(shí)知，秩An,秩Bn，可由第2章小結(jié)所給矩陣秩的性質(zhì)，n=秩Emin秩A，秩Bn，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無關(guān).習(xí)題四（A類）1. 用消元法解下列方程組.(1) (2) 【解】(1) 得所以(2) 解-2得 x2-2x3=0- 得 2x3=4得同解方程組由得 x3=2,由得 x2=2x3=4,由得 x1=2-2x3 -2x2 = -10,得 (x1,x2,x3)T=(-10,4,2)T.2. 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.(1) (2) (3) (4) 【解】(1) 得同解方程組得基礎(chǔ)解系為.(2) 系數(shù)矩陣為 其基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量.基礎(chǔ)解系為(3) 得同解方程組取得基礎(chǔ)解系為(