數(shù)值分析課件第6章.ppt

第六章解線性代數(shù)方程組 的迭代法,內(nèi)容提要 6.1 引言 6.2 基本迭代法 6.3 迭代法的收斂性,即AX=b 其中A為非奇異矩陣，當(dāng)A為低階稠密矩陣時(shí)，線性方程組用直接法(如高斯消去法和三角分解法)是有效的，但對(duì)于由工程技術(shù)中產(chǎn)生的大型稀疏矩陣方程組（A的階數(shù)n很大，但零元素較多），利用迭代法求解是適合的。在計(jì)算機(jī)內(nèi)存和運(yùn)算兩方面，迭代通常都可利用A中有大量零元素的特點(diǎn)。,考慮線性方程組,6.1 引言,本章將介紹迭代法的一般理論及雅可比迭代法、高斯塞 德?tīng)柕ā⒊沙诘?，研究它們的收斂性?6.2 基本迭代,一、雅可比迭代法,二、高斯塞德?tīng)柕?SOR迭代法的計(jì)算公式:對(duì)k=0,1,三、逐次超松馳(SOR)迭代法,說(shuō)明: 1)=1,即為GS（高斯-賽德?tīng)柕ǎ? 2)1，稱為超松馳法； 1，稱為低松馳法； 3) SOR方法每迭代一次主要運(yùn)算量是計(jì)算一次矩陣 與向量的乘法。,例6-3 用SOR迭代法解線性代數(shù)方程組,6.3 迭代法的收斂性 一、一階定常迭代法的基本定理,注：定理5中的矩陣是迭代矩陣，常用格式的迭代矩陣如下：,1) 雅可比迭代法: BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b; 2) 高斯-賽德?tīng)柕? BG=(D-L)-1U，fG= =(D-L)-1b; 3) SOR迭代法: BSOR=(D-L)-1(1-)D+U，fSOR=(D-L)-1b.,例6-4 考察用雅可比迭代法求解線性方程組,二、某些特殊方程組的迭代收斂性,定義3 （1）按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),（2）按行弱對(duì)角占優(yōu),上式至少有一個(gè)不等號(hào)嚴(yán)格成立。,定理6(對(duì)角占優(yōu)定理)若矩陣A按行(或列)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，或 按行(或列)弱對(duì)角占優(yōu)且不可約；則矩陣A非奇異。,定理7 若矩陣A按行(或列)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),或按行(或列)弱對(duì) 角占優(yōu)不可約；則Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收斂。,定理9 對(duì)于線性方程組Ax=b，若A為對(duì)稱正定矩陣，則當(dāng)02時(shí)，SOR迭代收斂。,定理10 對(duì)于線性代數(shù)方程組Ax=b， 若A按行(或列)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，或按行(或列)弱對(duì)角占優(yōu)不可約；則當(dāng)01時(shí)，SOR迭代收斂。,知 識(shí) 結(jié) 構(gòu) 圖 六,迭 代 法 解 方 程 組,迭代法基本概念,高斯-賽德 爾迭代法,迭代格式 收斂條件（充要條件、充分條件四個(gè)）,SQR迭代法,迭代法收斂速度,雅可比迭代法,迭代格式