計算方法的一般概念-2.ppt

計算方法,參考教材 (Text Book) 計算方法 鄧建中 劉之行 西安交通大學(xué)出版社, Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 數(shù)值分析 （英文版 第3版 ） David Kincaid & Ward Cheney（機械工業(yè)出版社), Numerical Analysis (Seventh Edition) 數(shù)值分析 （第七版 影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）,數(shù)值分析 李慶揚等 清華大學(xué)出版社,數(shù)值分析 馮果忱等 高等教育出版社,基礎(chǔ)知識,高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù),掌握一種語言、會用Matlab,學(xué)習(xí)方法,1.注意掌握各種方法的基本原理 2.注意各種方法的構(gòu)造手法 3.重視各種方法的誤差分析 4.做一定量的習(xí)題 5.注意與實際問題相聯(lián)系,3 誤差,1 數(shù)值計算的研究對象與特點,2 數(shù)值問題與數(shù)值方法,第1章 計算方法的一般概念,本章要點:,絕對誤差(限)和相對誤差(限),有效數(shù)字位數(shù)及其與誤差的關(guān)系,數(shù)值問題的性態(tài)與誤差的關(guān)系,數(shù)值算法設(shè)計原則,以計算機為工具,求解各種數(shù)學(xué)模型,都要經(jīng)歷 三個過程:,總體設(shè)計模型的細化,詳細設(shè)計主要為算法設(shè)計,程序設(shè)計,計算機數(shù)值方法研究的是將數(shù)學(xué)模型化為數(shù) 值問題，并研究求解數(shù)值問題的數(shù)值方法進 而設(shè)計數(shù)值算法,1 計算機數(shù)值方法的研究對象與特點,數(shù)值問題：,輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關(guān) 系的一個確定而無歧義的描述,即：,輸入與輸出的都是數(shù)值的數(shù)學(xué)問題,如求解線性方程組,求解二次方程,是數(shù)值問題,一、數(shù)值問題,2 數(shù)值問題與數(shù)值算法,求解微分方程,不是數(shù)值問題,將其變成數(shù)值問題，即將其“離散化”,二、數(shù)值方法,數(shù)值方法:,是指解數(shù)值問題的在計算機上 可執(zhí)行的系列計算公式,在計算機上可執(zhí)行的公式,是指只含有加減乘除的公式,現(xiàn)在的計算機中幾乎都含有關(guān)于開方的標(biāo)準函數(shù)sqrt(),常見的在計算機上不能直接運行的計算有:,開方、極限、超越函數(shù)、微分、積分等等,要在計算機上實行上述運算需將其化為可執(zhí)行的等價 或近似等價運算,應(yīng)化為,如求根公式,應(yīng)化為公式,研究數(shù)值方法的主要任務(wù):,1.將計算機上不能執(zhí)行的運算化為在計算機上可 執(zhí)行的運算,2.針對所求解的數(shù)值問題研究在計算機上可執(zhí)行 的且有效的計算公式,3.因為可能采用了近似等價運算,故要進行誤差分析, 即數(shù)值問題的性態(tài)及數(shù)值方法的穩(wěn)定性,本課程的重點就是對線性方程組、微積分、微分方程、 及插值、擬合等問題尋找行之有效的數(shù)值方法,三、數(shù)值算法,數(shù)值算法是指有步驟地完成解數(shù)值問題的過程.,數(shù)值算法有四個特點:,1.目的明確,算法必須有明確的目的,其條件和結(jié)論均應(yīng)有清楚的規(guī)定,2.定義精確,對算法的每一步都必須有精確的定義,3.可執(zhí)行,算法中的每一步操作都是可執(zhí)行的,4.步驟有限,算法必須在有限步內(nèi)能夠完成解 題過程,例1. 給出等差數(shù)列1,2,3,10000的求和算法,解:,記數(shù)器置零,一、誤差的種類及來源,模型誤差,在建立數(shù)學(xué)模型過程中,要將復(fù)雜的現(xiàn) 象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一 些次要因素的影響,而對問題作一些簡 化,因此和實際問題有一定的區(qū)別.,觀測誤差,在建模和具體運算過程中所用的數(shù)據(jù)往 往是通過觀察和測量得到的,由于精度的 限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有誤差,截斷誤差,由于計算機只能完成有限次算術(shù)運算和 邏輯運算,因此要將有些需用極限或無窮,3 誤差,過程進行的運算有限化,對無窮過程進行 截斷,這就帶來誤差.,如:,若將前若干項的部分和作為函數(shù)值的近似公式, 由于以后各項都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差,Taylor展開,舍入誤差,在數(shù)值計算過程中還會遇到無窮小數(shù), 因計算機受到機器字長的限制,它所能 表示的數(shù)據(jù)只能有一定的有限位數(shù),如 按四舍五入規(guī)則取有限位數(shù),由此引起 的誤差,數(shù)值計算中誤差是難以避免的.數(shù)學(xué)模型一旦建立,進入具體計算時所考慮和分析的就是截斷誤差和舍入誤差,經(jīng)過大量的運算之后,積累的總誤差有時會大得 驚人,因此如何控制誤差的傳播也是數(shù)值方法的 研究對象.,二、誤差和誤差限,定義1.,絕對誤差限或誤差限,定義2.,relative error,絕對誤差限,相對誤差限,往往未知,代替相對誤差,代替相對誤差限,例1.,解:,例2.,解:,可見,經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對誤差限將 不超過其末位數(shù)字的半個單位,有4位有效數(shù)字,有6位有效數(shù)字,三、有效數(shù)字,定義3.,有8位有效數(shù)字,只有4位有效數(shù)字,例3.,求下列四舍五入近似值的有效數(shù)字個數(shù).,3個,3個,4個,4個,3個,5個,例4.,實際上只1有個,例5.,從以上分析可見,四舍五入的近似值的數(shù)字都是有效數(shù)字,而不是四舍五入得到的近似值的數(shù)字不一定是有效數(shù)字,四、誤差的傳播與估計,即,絕對誤差 增長因子,相對誤差 增長因子,思考:,試分析四則運算、乘方和開方的誤差傳播規(guī)律,數(shù)據(jù)誤差影響的估計,數(shù)據(jù)誤差影響的估計,五、數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則,例7.,計算定積分,解:,誤差放大 5千倍!,但如果利用遞推公式,因此在計算公式選用及算法設(shè)計時,應(yīng)注意以下原則,1. 四則運算中的穩(wěn)定性問題,(1) 防止大數(shù)吃小數(shù),這一類問題主要由計算機的位數(shù)引起,假如作一個有效數(shù)字為4位的連加運算,誤差會放大,誤差不會放大,而如果將小數(shù)放在前面計算,在作連加時,為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進行相加, 如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別的方法.,(2) 作減法時應(yīng)避免相近數(shù)相減,兩個相近的數(shù)相減,會使有效數(shù)字的位數(shù)嚴重損失,由于,在算法設(shè)計中,若可能出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減,則改變 計算公式,如使用三角變換、有理化等等,(3) 避免小數(shù)作除數(shù)和大