偏微分方程離散-差分格式-差分方法等.ppt

1,（三）偏微分方程的數(shù)值離散方法,3.1 有限差分法 3.2 有限體積法 (有限元，譜方法，譜元，無(wú)網(wǎng)格，有限解析，邊界元，特征線）,2,3.1 有限差分法,3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的構(gòu)造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理論基礎(chǔ) 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全離散方法,3,3.1.1 模型方程的差分逼近,4,3.1.2 差分格式的構(gòu)造,5,3.1.3 差分方程的修正方程,差分方程所精確逼近的微分方程稱為修正方程 對(duì)于時(shí)間發(fā)展方程，利用展開(kāi)的方程逐步消去帶時(shí)間的高階導(dǎo)數(shù)，只留空間導(dǎo)數(shù)。 Warming-Hyett方法： 差分方程(2)寫(xiě)成算子的形式：,6,3.1.3 差分方程的修正方程 (續(xù)),7,3.1.3 差分方程的修正方程(續(xù)),8,3.1.4 差分方法的理論基礎(chǔ),相容性，穩(wěn)定性，收斂性 等價(jià)性定理 Fourier穩(wěn)定性分析,9,3.1.4 差分方法的理論基礎(chǔ)（續(xù)）,Fourier (Von Neumann) 穩(wěn)定性分析,10,3.1.4 差分方法的理論基礎(chǔ)（續(xù)）,Fourier (Von Neumann) 穩(wěn)定性分（續(xù)） 稱為CFL條件 (Courant, Friedrichs, Levy),11,3.1.5 守恒型差分格式,流體力學(xué)方程組描述物理量的守恒性；守恒律組： 定義,12,3.1.5 守恒型差分格式（續(xù)）,守恒性質(zhì)： 非守恒的差分格式一般沒(méi)有對(duì)應(yīng)于原始守恒律的“離散守恒律”。,13,3.1.5 守恒型差分格式（續(xù)）,守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式 是和守恒律 相容的，且當(dāng)時(shí)間和空間步長(zhǎng)趨于零時(shí)，差分解一致有界，幾乎處處收斂于分片連續(xù)可微的函數(shù)，則這個(gè)收斂的函數(shù)就是守恒律的一個(gè)弱解。 推論：守恒型差分各式的收斂解能自動(dòng)滿足間斷關(guān)系。 用途: (加上熵條件）可以得到正確的激波，研究中大量使用 例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式,14,3.1.6 偏微分方程的全離散方法,對(duì)差分格式的一般要求： 有精度、格式穩(wěn)定、求解效率高 特殊要求 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋渦、多介質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)等）、有界性(正密度、正溫度、正湍動(dòng)能、正組分濃度等) 主要指非定常方程的時(shí)間離散,15,3.1.6偏微分方程的全離散方法(續(xù)）,兩層格式 Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式 Runge-Kutta方法 時(shí)空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法 多層格式 Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三點(diǎn)隱格式,16,3.1.6.1 兩層格式,Crank-Nicolson格式 Predictor-Corrector格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack格式 Runge-Kutta方法,17,3.1.6.1 兩層格式(cont.）,Lax-Wendroff 格式 一步LW格式,18,3.1.6.1 兩層格式(cont.）,Lax-Wendroff 格式 兩步LW格式 常系數(shù)Jacobian時(shí)與單步LW等價(jià)。但計(jì)算更簡(jiǎn)單，不涉及矩陣相乘。,19,3.1.6.1 兩層格式(cont.）,Mac Cormack 格式 (1969) 兩步格式 比LW更簡(jiǎn)單，不需要計(jì)算函數(shù)在半點(diǎn)上的值。 LW兩步格式和MC各式的缺點(diǎn)：定常解的誤差依賴于時(shí)間步長(zhǎng)。,20,Mac Cormack格式的構(gòu)造,21,3.1.6.2 三層格式,Leap-Frog格式 Adams-Bashforth格式,22,第二課后閱讀提示,傅德薰計(jì)算流體力學(xué)，3.1 3.3 水鴻壽一維流體力學(xué)數(shù)值方法3.1 Computational Methods for Fluid Dynamics, Ferziger and Peric, Springer Chap. 6,23,作業(yè)2,1.用Fourier法分析 3.1.6.1節(jié)中Crank-Nicolson格式的穩(wěn)定性。 2.分析前面3.1.6節(jié)中Mac Cormack格式是幾階精度。,24,3.2有限體積法,出發(fā)方程為積分型守恒方程（直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)） 以控制體為離散量 計(jì)算體積分和面積分需要適當(dāng)?shù)牟逯倒胶头e分公式 (quadrature formula) 適用于任意形狀的網(wǎng)格，復(fù)雜幾何形狀 缺點(diǎn)：難以構(gòu)造大于二階以上的格式,25,3.2.1 定常守恒型方程和控制體,26,3.2.2 面積分的逼近,面積分用積分點(diǎn)的值表示(quadrature) 積分點(diǎn)的值用CV的值表示(interpolation) 對(duì)于Simpson公式,對(duì)積分點(diǎn)的插值需要四階精度,27,3.2.4 體積分的逼近,當(dāng)被積函數(shù)為某種型函數(shù)時(shí)，可以得到精確的積分，逼近精度取決于型函數(shù)的精度。,28,3.2.4 體積分的逼近,四階精度：2D 直角坐標(biāo)網(wǎng)格 最后一式可以四階精度逼近3D的面積分,29,3.2.5 插值和微分,積分點(diǎn)的函數(shù)值和其法向梯度 1st UDS: 取上風(fēng)點(diǎn)的值,30,插值,2nd order: 向積分點(diǎn)線性插值 等價(jià)于中心差分 (CDS),31,插值,當(dāng)積分點(diǎn)的函數(shù)是線性插值時(shí) Second order,32,插值,QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics) 插值三階精度，但積分（差分）往往只有二階精度。,33,插值,高精度： N階精度的quadrture需要N-1階多項(xiàng)式插值公式。 界面上導(dǎo)數(shù)可以用插值公式的微分求出。,34,3.2.5有限體積法的邊界條件,用邊界條件替代面積分 入口：通常給定對(duì)流通量 (mass, momentum, energy, etc.) 壁面和對(duì)稱面：通量為零 邊界上函數(shù)值給定：和內(nèi)部CV的值共同構(gòu)建邊界上的導(dǎo)數(shù),35,FV例子,36,3.2.6 守恒律的有限體積方法 Godunov 格式,37,38,3.2.6.1 Godunov方法的思想,39,一階迎風(fēng)格式(CIR格式),40,用Godunov思想 說(shuō)明CIR格式=Godunov格式,41,42,Riemann解圖示,43,44,3.2.6.1 1D Euler方程組的Godunov格式,Godunov格式是基于積分形式的方程組,間斷關(guān)系自動(dòng)滿足，不需要另外考慮間斷線上的間斷關(guān)系,45,移動(dòng)網(wǎng)格上的積分回路,46,移動(dòng)網(wǎng)格上的Godunov格式,47,固定網(wǎng)格上的Godunov格式,48,Lagrange網(wǎng)格上的Godunov格式,49,Euler方程組的Riemann問(wèn)題的解 理想氣體的5種解,50,51,二維Euler方程組的Riemann問(wèn)題,52,53,僅是局部化的1D RP,54,第3