概率論課件第十八次課.ppt

1、抽樣分布定理中，需要掌握的正態(tài)總體的,抽樣分布的主要結(jié)論是哪幾個(gè)？,一、復(fù)習(xí)：,設(shè)總體,為使樣本均值大于70,的概率不小于90%，則樣本容量n至少應(yīng)取多少？,解：,則,設(shè)總體,已知樣本容量為24，樣,求總體標(biāo)準(zhǔn)差大于3的概率。,本方差為12.5277，,解：,開(kāi)始,在總體,中隨機(jī)抽取容量為,21的樣本，求,和,解：,第七章 參數(shù)估計(jì),第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì)的幾種方法,設(shè)總體X的分布函數(shù)的形式已知，,但它的一個(gè),或多個(gè)參數(shù)未知，,借助于總體X的一個(gè)樣本來(lái)估計(jì),總體未知參數(shù)的值的問(wèn)題稱(chēng)為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。,例1、在某炸藥制造廠，一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次,數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)它服從以 為參數(shù)的,泊松分布，參數(shù) 未知。,現(xiàn)有以下的樣本值，試,估計(jì)參數(shù),解：,所以用樣本均值來(lái)估計(jì)總體均值,即,點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題的一般提法：,設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù),為 F(x, )，,其中 為未知參數(shù),X1,X2,Xn是X的一個(gè)樣本，,是相應(yīng)的一個(gè)樣本值。,點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題,就是構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量,用它的觀察值,近似值。,我們稱(chēng),稱(chēng),作為未知參數(shù) 的,為 的估計(jì)量,為 的估計(jì)量值。,均簡(jiǎn)記為：,下面介紹兩種常用的構(gòu)造估計(jì)量的方法：,1. 矩估計(jì)法,2. 極大似然法,一、 矩估計(jì)法,其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩 .,它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來(lái)的一,是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的 .,種估計(jì)方法 .,理論依據(jù):,大數(shù)定律,用相應(yīng)的樣本矩去估計(jì)總體矩的估計(jì)方法就,稱(chēng)為矩估計(jì)法.,記總體k階矩為,樣本k階矩為,記總體k階中心矩為,樣本k階中心矩為,常用的是：,用樣本均值估計(jì)總體均值；,用樣本二階中心矩估計(jì)總體方差；,用事件發(fā)生的頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率；,解:,由矩法,樣本矩,總體矩,數(shù)學(xué)期望 是一階 原點(diǎn)矩,例1、設(shè)總體X的概率密度為,是未知參數(shù),其中,X1,X2,Xn是取自X的樣本,求參數(shù) 的矩估計(jì).,從中解得,例2、設(shè)總體X 在a,b上服從均勻分布，a，b為,解:因?yàn)?未知，,X1,X2,Xn是X的一個(gè)樣本，,試求a，b的,矩估計(jì)量。,令,解得：,則,例3、設(shè)總體為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為,是樣本,試求 的估計(jì)量。,解：,（此時(shí)k1）,令,矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需要事先知道總,體是什么分布 .,缺點(diǎn)是當(dāng)總體類(lèi)型已知時(shí)，沒(méi)有充分利用分布提,供的信息 .,一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性 .,其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取哪些總,體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性 .,二、 極大似然法：,是在總體類(lèi)型已知條件下,它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的 ,Gauss,Fisher,然而，這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇 .,費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了 這一方法，,使用的一種參數(shù)估計(jì)方法 .,并首先研究了這 種方法的一些性質(zhì) .,極大似然法的基本思想,先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子：,一只野兔從前方竄過(guò) .,是誰(shuí)打中的呢？,某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵 .,如果要你推測(cè)，,你會(huì)如何想呢?,只聽(tīng)一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下 .,你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大,這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn),于這位同學(xué)命中的概率. 看來(lái)這一槍是獵人射中的 .,了極大似然法的基本思想 .,極大似然估計(jì)原理：,當(dāng)給定樣本X1,X2,Xn時(shí)，定義似然函數(shù)為：,設(shè)X1,X2,Xn是取自總體X的一個(gè)樣本，樣本,的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合概率函數(shù)(離散型)為,f (X1,X2,Xn; ) .,可能產(chǎn)生樣本值X1,X2,Xn的一種度量 .,看作參數(shù) 的函數(shù)，,它可作為 將以多大,極大似然估計(jì)法就是用使 達(dá)到最大值的,稱(chēng) 為 的極大似然估計(jì),去估計(jì) .,例4、 設(shè)X1, X2, , Xn是取自總體X的一個(gè)樣本，且,解：,似然函數(shù)為：,令,解之得,求極大似然估計(jì)的一般步驟：,1) 由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率函數(shù),2) 把樣本聯(lián)合概率函數(shù)(或聯(lián)合密度)中自變 量 看成已知常數(shù),而把參數(shù) 看作自變量, 得到,(或聯(lián)合密度);,3) 求似然函數(shù)的 最大值點(diǎn) (常常轉(zhuǎn)化為求 的最大值點(diǎn)),即得 的極大似然估計(jì) ;,4) 在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中, 用樣本值代入 就得,參數(shù)的極大似然估計(jì)值 .,解：,例5、設(shè),所以似然函數(shù)為：,是未知參數(shù)，,是X的一組觀察值，,似然估計(jì)量。,令,則,解得：,即為所求