概率論與數(shù)理統(tǒng)計5.1.ppt

第五章 參數(shù)估計與假設(shè)檢驗,統(tǒng)計推斷是一個從樣本值推斷未知總體的過程。 依據(jù)推斷形式不同，統(tǒng)計推斷可分為兩大類：估計問題和假設(shè)檢驗問題。 估計問題又分為參數(shù)估計和非參數(shù)估計； 假設(shè)檢驗問題也分為參數(shù)假設(shè)檢驗和非參數(shù)假設(shè)檢驗。 本章將介紹參數(shù)估計和假設(shè)檢驗的基本思想和方法，內(nèi)容包括求參數(shù)點估計的經(jīng)典方法，正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗與區(qū)間估計，其它總體(包括小樣本和大樣本情形)的區(qū)間估計，多參數(shù)和非參數(shù)假設(shè)檢驗。,5.1 點估計概述 5.2 參數(shù)的最大似然估計與矩估計 5.3 置信區(qū)間 5.4 假設(shè)檢驗概述 5.5 單正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗 5.6 雙正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗 5.7 一般總體的參數(shù)假設(shè)檢驗 5.8 擬合優(yōu)度檢驗與獨立性檢驗,本章目錄,5.1 點估計概述,一、什么叫點估計 二、評價估計量的標(biāo)準(zhǔn),一、什么叫點估計,所謂參數(shù)是指在原理上可以從整個總體中計算出來的數(shù)。比如： 總體數(shù)字特征； 在已知總體分布類型時，總體分布中的未知參數(shù)； 總體分布中未知參數(shù)的函數(shù)。 參數(shù)通常用希臘字母，來表示。 參數(shù)估計就是用總體的樣本值對未知的參數(shù)進行統(tǒng)計推斷，包括點估計和區(qū)間估計。 點估計就是一個用來估計參數(shù)的數(shù)。 在進一步介紹點估計問題的一般提法前，我們先來看一個例子。,解 由于X P()，故有=E(X)，我們自然想到用樣本均值來估計總體的均值E(X)。現(xiàn)由已知數(shù)據(jù)計算得到,得的估計為1.22,在某炸藥制造廠，一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù)是一個隨機變量，假定它服從以 0 為參數(shù)的泊松分布，參數(shù)為未知，現(xiàn)有以下的樣本值，試估計參數(shù)。,例,點估計問題的一般提法,參數(shù)空間。,估計量,估計值,估計量和估計值統(tǒng)稱為點估計，簡稱為估計，并簡記為 。,點估計問題的一般提法(續(xù)),在點估計中，最基本的概念就是估計量，而估計量就是值域為參數(shù)空間的統(tǒng)計量。顯然，一個估計量就是一種計算估計值的方法。給定一個估計量，也就給定了一種計算估計值的方法。,解 由題意有=E(X)，我們自然想到用樣本均值來估計總體的均值E(X)?，F(xiàn)由已知數(shù)據(jù)計算得到,例 5.1,二、評介估計量的標(biāo)準(zhǔn),因此，點估計的概念是相當(dāng)寬松的。一個未知的參數(shù)的估計量是不唯一的。原則上任何值域為參數(shù)空間的統(tǒng)計量都可以作為未知參數(shù)的估計量。,為從眾多的估計量中選用一個好的估計量，必須給出評介估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn)。 本節(jié)簡單介紹三條最基本的標(biāo)準(zhǔn)：無偏性、有效性及相合性(一致性)。,評價一個估計量(計算估計值的方法)的好壞，不能僅僅依據(jù)一次使用的結(jié)果，而必須由多次使用結(jié)果來衡量。,這是因為估計量是隨機變量。對不同的樣本值，就會得出不同的估計值。因此一個好的估計，應(yīng)在多次使用中體現(xiàn)出優(yōu)良性。,評介估計量的標(biāo)準(zhǔn)(續(xù)),這是因為估計量是隨機變量。對不同的樣本值，就會得出不同的估計值。因此一個好的估計，應(yīng)在多次使用中體現(xiàn)出優(yōu)良性。,1無偏性,用一臺包裝機包裝標(biāo)準(zhǔn)重量為每包500克的奶粉，對于某一包奶粉而言實際重量可能比500克重，也可能比500克輕。 但如果這臺包裝機是準(zhǔn)確的，不存在系統(tǒng)誤差，每包奶粉重量與標(biāo)準(zhǔn)重量500克的偏差純粹由隨機誤差引起的。 那么所有由這臺包裝機包裝的奶粉的平均重量將正好為500克。,無偏性(續(xù)),這個簡單的例子包含了無偏性的基本原理。,設(shè)想我們用估計量 來估計，對于一次使用來講，得到的估計值有可能比大，也有可能比小。但如果我們反復(fù)地抽樣，從而得到的一系列估計值 1，2， 。,從直觀上講，我們希望這些估計值的平均值 在m時能收斂于。,由大數(shù)定律可知，這個平均值在m時收斂于E( )。,由此我們得到無偏性的定義。,無偏性的定義,總體均值和方差的無偏估計,證：,總體均值和方差的無偏估計(續(xù)1),總體均值和方差的無偏估計(續(xù)2),例,D( ) D( ),則稱 較 有效 .,設(shè),和,參數(shù) 的無偏估計量，,綠色是采用估計量 ，14 組樣本得到的14個估計值.,紅色是采用估計量 ，14 組樣本得到的14個估計值.,2有效性,若對于任意 ，,都是,有,例(續(xù)),無偏估計量 nX(1)有效。,試證當(dāng) n 1 時，的無偏估計量 較的,證 由于,另一方面，由于,所以當(dāng) n 1 時，,例 5.4,證：,例 5.4,在數(shù)理統(tǒng)計中常用到最小方差無偏估計.,它的定義是:,（也稱最佳無偏估計）,若 滿足：,（1） ， 即 為 的無偏估計；,則稱 為 的最小方差無偏估計.,最小方差無偏估計,3 相合性(一致性),無偏性和有效性都是在樣本容量 n 固定的的前題下給出的，我們自然希望隨著樣本容量的增大，一個估計量的值穩(wěn)定于待估參數(shù)的真值，這樣，對估計量又有下述相合性的要求。,例 5.5,證：,例 5.6,證：,4. 漸近正態(tài)性,若估計量不具有相合性，那么不論將樣本容量 n 取得多大，都