高數(shù)二下學(xué)期復(fù)習(xí)課(第八章第九章.ppt

2019/7/17,1,2009學(xué)年第二學(xué)期 高等數(shù)學(xué)二總復(fù)習(xí),2019/7/17,2,第一節(jié) 向量及其線(xiàn)性運(yùn)算,第二節(jié) 數(shù)量積 向量積,第三節(jié) 曲面及其方程,第四節(jié) 空間曲線(xiàn)及其方程,第五節(jié) 平面及其方程,第六節(jié) 空間直線(xiàn)及其方程,第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何,2019/7/17,3,1. 向量的概念及其線(xiàn)性運(yùn)算,2. 空間直角坐標(biāo)系,3. 利用坐標(biāo)變量作向量的線(xiàn)性運(yùn)算,4. 向量的模、方向角、投影,第一節(jié) 向量及其線(xiàn)性運(yùn)算,2019/7/17,4,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.,坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過(guò)空間一定點(diǎn) o ,坐標(biāo)面,卦限(八個(gè)),zox面,1. 空間直角坐標(biāo)系,向徑,點(diǎn) M,有序數(shù)組,(稱(chēng)為點(diǎn) M 的坐標(biāo)),2019/7/17,5,坐標(biāo)軸 :,坐標(biāo)面 :,2019/7/17,6,設(shè)點(diǎn) M,則,的坐標(biāo)為,2. 向量的坐標(biāo)表示,2019/7/17,7,3、利用坐標(biāo)作向量的線(xiàn)性運(yùn)算,設(shè),則,平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:,設(shè) a 為非零向量 , 則,( 為唯一實(shí)數(shù)),定理1,2019/7/17,8,4、向量的模,有,例： 單位向量,2019/7/17,9,第二節(jié) 數(shù)量積 向量積,1、兩向量的數(shù)量積,2、兩向量的向量積,2019/7/17,10,設(shè),則,當(dāng),為非零向量時(shí),2. 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示,1. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示,2019/7/17,11,定義,向量,方向 :,記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,3. 向量積的定義,2019/7/17,12,第三節(jié) 曲面及其方程,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,二、旋轉(zhuǎn)曲面,三、柱 面,2019/7/17,13,(1) 曲面 S 上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程;,兩個(gè)基本問(wèn)題 :,(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀,( 必要時(shí)需作圖 ).,定義1,F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形，若,2019/7/17,14,二次曲面,三元二次方程,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本類(lèi)型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面.,(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 ),2019/7/17,15,(1)范圍：,(2)與坐標(biāo)面的交線(xiàn)：橢圓,例1 橢球面,2019/7/17,16,例2 橢圓拋物面,特別地,當(dāng)a = b時(shí) 為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.,2019/7/17,17,第四節(jié) 空間曲線(xiàn)及其方程,四、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影,一、空間曲線(xiàn)的一般方程,二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程,三、曲面的參數(shù)方程,2019/7/17,18,一、空間曲線(xiàn)的一般方程,空間曲線(xiàn)可視為兩曲面的交線(xiàn),其一般方程為方程組,二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程,將曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):,稱(chēng)它為空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程.,2019/7/17,19,三、曲面的參數(shù)方程,一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù) , 形如,四、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影,設(shè)空間曲線(xiàn) C 的一般方程為,消去 z 得投影柱面,則C 在xoy 面上的投影曲線(xiàn) C為,2019/7/17,20,第五節(jié) 平面及其方程,一、平面的點(diǎn)法式方程,二、平面的一般方程,三、兩平面的夾角,2019/7/17,21,一、平面的點(diǎn)法式方程,設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn),且垂直于非零向,稱(chēng)式為平面的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,法向量.,量,則有,故,2019/7/17,22,二、平面的一般方程,設(shè)有三元一次方程,此方程稱(chēng)為平面的一般方程。,的平面,方程的圖形是,法向量為,2019/7/17,23,三、兩平面的夾角,設(shè)平面1的法向量為,平面2的法向量為,則兩平面夾角 的余弦為,即,兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱(chēng)為兩平面的夾角.,2019/7/17,24,特別有下列結(jié)論：,2019/7/17,25,第六節(jié) 空間直線(xiàn)及其方程,四、直線(xiàn)與平面的夾角,一、空間直線(xiàn)方程的一般方程,二、空間直線(xiàn)方程的對(duì)稱(chēng)式方程和參數(shù)方程,三、兩直線(xiàn)的夾角,五、平面束,2019/7/17,26,空間直線(xiàn)方程,一般式,對(duì)稱(chēng)式,參數(shù)式,2019/7/17,27,第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,推廣,一元函數(shù)微分學(xué),多元函數(shù)微分學(xué),2019/7/17,28,主 要 內(nèi) 容,第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念,第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù),第三節(jié) 全微分,第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,第六節(jié) 多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用,第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,2019/7/17,29,點(diǎn)集 D 稱(chēng)為函數(shù)的定義域 ;,數(shù)集,稱(chēng)為函數(shù)的值域 .,映射,稱(chēng)為定義,在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作,定義1 設(shè)非空點(diǎn)集,第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念,2019/7/17,30,定義2 設(shè) n 元函數(shù),點(diǎn) ,則稱(chēng) A 為函數(shù),P0 是 D 的聚,若存在常數(shù) A ,對(duì)一,記作,都有,對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切,定義3 設(shè) n 元函數(shù),定義在 D 上,如果函數(shù)在 D 上,如果存在,則稱(chēng) n 元函數(shù),各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱(chēng)此函數(shù)在 D 上連續(xù).,連續(xù)。,2019/7/17,31,第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù),一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法,二、高階偏導(dǎo)數(shù),2019/7/17,32,一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算方法,當(dāng)點(diǎn)(x, y)沿各種不同的方向變動(dòng)趨向于(x0, y0)時(shí)，,二元函數(shù)z = f (x, y)一般有不同的變化率.,我們先討論當(dāng)沿著平行于x 軸或y軸方向變動(dòng),（即一個(gè)自變量變化，而另一個(gè)自變量固定不變）時(shí) 函數(shù)的變化率.,此時(shí)，它們就是一元函數(shù)的變化率.,2019/7/17,33,在點(diǎn),存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi),則稱(chēng)此極限為函數(shù),極限,設(shè)函數(shù),定義1,2019/7/17,34,若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x,則該偏導(dǎo)數(shù),記為,或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,2019/7/17,35,二、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,則稱(chēng)它們是z = f ( x , y ),的二階偏導(dǎo)數(shù) .,按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):,2019/7/17,36,則,注:,故在其定義區(qū)域內(nèi),是連續(xù)的 ,因此求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可選擇方便的 求導(dǎo)順序.,初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為初等函數(shù) ,定理,求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法,逐次求導(dǎo)法,(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí), 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序),2019/7/17,37,第三節(jié) 全微分,一、全微分的定義,二、全微分存在的條件,三、小結(jié)與思考練習(xí),2019/7/17,38,定義 函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依賴(lài)于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，,在點(diǎn) (x, y) 的全微分為,若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱(chēng)函數(shù),f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微，,處全增量,則稱(chēng)此函數(shù)在D 內(nèi)可微.,2019/7/17,39,若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù),必存在,且有,定理1(必要條件),若函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微.,定理2 (充分條件),2019/7/17,40,關(guān)系圖：,2019/7/17,41,第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,二、全微分的形式不變性,2019/7/17,42,一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理 若函數(shù),處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn) t 可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù),且有鏈?zhǔn)椒▌t,2019/7/17,43,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .,中間變量是多元函數(shù)的情形，如,推廣:,口訣 :,分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo),2019/7/17,44,第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,一、一個(gè)方程的情形,二、方程組的情形,2019/7/17,45,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程,在點(diǎn),并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) ,上面的求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:,滿(mǎn)足, 在點(diǎn),滿(mǎn)足:,某一鄰域內(nèi)可唯一確,定理2,2019/7/17,46,兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo),同樣可得,則,2019/7/17,47,解： 利用隱函數(shù)求導(dǎo),再對(duì) x 求導(dǎo),例2 設(shè),2019/7/17,48,第六節(jié) 多元微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用,一、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面,二、曲面的切平面與法線(xiàn),2019/7/17,49,曲面 在點(diǎn) M 的法向量,切平面方程,法線(xiàn)方程,2019/7/17,50,解: 設(shè)切點(diǎn)為,則,(二法向量平行),(切點(diǎn)在平面上),(切點(diǎn)在橢球面上),2019/7/17,51,第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,一、方向?qū)?shù),二、梯度,2019/7/17,52,即,同樣可定義二元函數(shù),稱(chēng)為函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度，,記作,在點(diǎn),處的梯度,向量,定義,2019/7/17,53,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,一、多元函數(shù)的極值,二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,2019/7/17,54,二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,極值問(wèn)題,無(wú)條件