高數(shù)二下學期復習課(第八章第九章.ppt

2019/7/17,1,2009學年第二學期 高等數(shù)學二總復習,2019/7/17,2,第一節(jié) 向量及其線性運算,第二節(jié) 數(shù)量積 向量積,第三節(jié) 曲面及其方程,第四節(jié) 空間曲線及其方程,第五節(jié) 平面及其方程,第六節(jié) 空間直線及其方程,第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何,2019/7/17,3,1. 向量的概念及其線性運算,2. 空間直角坐標系,3. 利用坐標變量作向量的線性運算,4. 向量的模、方向角、投影,第一節(jié) 向量及其線性運算,2019/7/17,4,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 o ,坐標面,卦限(八個),zox面,1. 空間直角坐標系,向徑,點 M,有序數(shù)組,(稱為點 M 的坐標),2019/7/17,5,坐標軸 :,坐標面 :,2019/7/17,6,設點 M,則,的坐標為,2. 向量的坐標表示,2019/7/17,7,3、利用坐標作向量的線性運算,設,則,平行向量對應坐標成比例:,設 a 為非零向量 , 則,( 為唯一實數(shù)),定理1,2019/7/17,8,4、向量的模,有,例： 單位向量,2019/7/17,9,第二節(jié) 數(shù)量積 向量積,1、兩向量的數(shù)量積,2、兩向量的向量積,2019/7/17,10,設,則,當,為非零向量時,2. 兩向量夾角的余弦的坐標表示,1. 數(shù)量積的坐標表示,2019/7/17,11,定義,向量,方向 :,記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,3. 向量積的定義,2019/7/17,12,第三節(jié) 曲面及其方程,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,二、旋轉曲面,三、柱 面,2019/7/17,13,(1) 曲面 S 上任意點的坐標都滿足此方程;,兩個基本問題 :,(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀,( 必要時需作圖 ).,定義1,F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形，若,2019/7/17,14,二次曲面,三元二次方程,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本類型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面.,(二次項系數(shù)不全為 0 ),2019/7/17,15,(1)范圍：,(2)與坐標面的交線：橢圓,例1 橢球面,2019/7/17,16,例2 橢圓拋物面,特別地,當a = b時 為繞 z 軸的旋轉拋物面.,2019/7/17,17,第四節(jié) 空間曲線及其方程,四、空間曲線在坐標面上的投影,一、空間曲線的一般方程,二、空間曲線的參數(shù)方程,三、曲面的參數(shù)方程,2019/7/17,18,一、空間曲線的一般方程,空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組,二、空間曲線的參數(shù)方程,將曲線C上的動點坐標x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):,稱它為空間曲線的參數(shù)方程.,2019/7/17,19,三、曲面的參數(shù)方程,一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù) , 形如,四、空間曲線在坐標面上的投影,設空間曲線 C 的一般方程為,消去 z 得投影柱面,則C 在xoy 面上的投影曲線 C為,2019/7/17,20,第五節(jié) 平面及其方程,一、平面的點法式方程,二、平面的一般方程,三、兩平面的夾角,2019/7/17,21,一、平面的點法式方程,設一平面通過已知點,且垂直于非零向,稱式為平面的點法式方程,求該平面的方程.,法向量.,量,則有,故,2019/7/17,22,二、平面的一般方程,設有三元一次方程,此方程稱為平面的一般方程。,的平面,方程的圖形是,法向量為,2019/7/17,23,三、兩平面的夾角,設平面1的法向量為,平面2的法向量為,則兩平面夾角 的余弦為,即,兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.,2019/7/17,24,特別有下列結論：,2019/7/17,25,第六節(jié) 空間直線及其方程,四、直線與平面的夾角,一、空間直線方程的一般方程,二、空間直線方程的對稱式方程和參數(shù)方程,三、兩直線的夾角,五、平面束,2019/7/17,26,空間直線方程,一般式,對稱式,參數(shù)式,2019/7/17,27,第九章 多元函數(shù)微分法及其應用,推廣,一元函數(shù)微分學,多元函數(shù)微分學,2019/7/17,28,主 要 內 容,第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念,第二節(jié) 偏導數(shù),第三節(jié) 全微分,第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則,第五節(jié) 隱函數(shù)的求導公式,第六節(jié) 多元微分學的幾何應用,第七節(jié) 方向導數(shù)與梯度,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,2019/7/17,29,點集 D 稱為函數(shù)的定義域 ;,數(shù)集,稱為函數(shù)的值域 .,映射,稱為定義,在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作,定義1 設非空點集,第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念,2019/7/17,30,定義2 設 n 元函數(shù),點 ,則稱 A 為函數(shù),P0 是 D 的聚,若存在常數(shù) A ,對一,記作,都有,對任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切,定義3 設 n 元函數(shù),定義在 D 上,如果函數(shù)在 D 上,如果存在,則稱 n 元函數(shù),各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上連續(xù).,連續(xù)。,2019/7/17,31,第二節(jié) 偏導數(shù),一、偏導數(shù)的定義及其計算方法,二、高階偏導數(shù),2019/7/17,32,一、偏導數(shù)定義及其計算方法,當點(x, y)沿各種不同的方向變動趨向于(x0, y0)時，,二元函數(shù)z = f (x, y)一般有不同的變化率.,我們先討論當沿著平行于x 軸或y軸方向變動,（即一個自變量變化，而另一個自變量固定不變）時 函數(shù)的變化率.,此時，它們就是一元函數(shù)的變化率.,2019/7/17,33,在點,存在,的偏導數(shù)，記為,的某鄰域內,則稱此極限為函數(shù),極限,設函數(shù),定義1,2019/7/17,34,若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內每一點 ( x , y ) 處對 x,則該偏導數(shù),記為,或 y 偏導數(shù)存在 ,2019/7/17,35,二、高階偏導數(shù),設 z = f (x , y)在域 D 內存在連續(xù)的偏導數(shù),若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導數(shù) .,按求導順序不同, 有下列四個二階偏導數(shù):,2019/7/17,36,則,注:,故在其定義區(qū)域內,是連續(xù)的 ,因此求初等函數(shù)的高階導數(shù)可選擇方便的 求導順序.,初等函數(shù)的偏導數(shù)為初等函數(shù) ,定理,求高階偏導數(shù)的方法,逐次求導法,(與求導順序無關時, 應選擇方便的求導順序),2019/7/17,37,第三節(jié) 全微分,一、全微分的定義,二、全微分存在的條件,三、小結與思考練習,2019/7/17,38,定義 函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內點( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關，,在點 (x, y) 的全微分為,若函數(shù)在域 D 內各點都可微,則稱函數(shù),f ( x, y ) 在點( x, y) 可微，,處全增量,則稱此函數(shù)在D 內可微.,2019/7/17,39,若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微 ,則該函數(shù)在該點偏導數(shù),必存在,且有,定理1(必要條件),若函數(shù),的偏導數(shù),則函數(shù)在該點可微.,定理2 (充分條件),2019/7/17,40,關系圖：,2019/7/17,41,第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則,一、多元復合函數(shù)的求導法則,二、全微分的形式不變性,2019/7/17,42,一、多元復合函數(shù)的求導法則,定理 若函數(shù),處偏導連續(xù),在點 t 可導,則復合函數(shù),且有鏈式法則,2019/7/17,43,設下面所涉及的函數(shù)都可微 .,中間變量是多元函數(shù)的情形，如,推廣:,口訣 :,分段用乘, 分叉用加, 單路全導, 叉路偏導,2019/7/17,44,第五節(jié) 隱函數(shù)的求導公式,一、一個方程的情形,二、方程組的情形,2019/7/17,45,若函數(shù),的某鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù) ,則方程,在點,并有連續(xù)偏導數(shù),定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) ,上面的求導公式推導如下:,滿足, 在點,滿足:,某一鄰域內可唯一確,定理2,2019/7/17,46,兩邊對 x 求偏導,同樣可得,則,2019/7/17,47,解： 利用隱函數(shù)求導,再對 x 求導,例2 設,2019/7/17,48,第六節(jié) 多元微分學在幾何上的應用,一、空間曲線的切線與法平面,二、曲面的切平面與法線,2019/7/17,49,曲面 在點 M 的法向量,切平面方程,法線方程,2019/7/17,50,解: 設切點為,則,(二法向量平行),(切點在平面上),(切點在橢球面上),2019/7/17,51,第七節(jié) 方向導數(shù)與梯度,一、方向導數(shù),二、梯度,2019/7/17,52,即,同樣可定義二元函數(shù),稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度，,記作,在點,處的梯度,向量,定義,2019/7/17,53,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,一、多元函數(shù)的極值,二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,2019/7/17,54,二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,極值問題,無條件