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用法向量求異面直線間的距離,法向量的定義：,如果向量a平面，那么向量a叫做平面的法向量.,異面直線間的距離,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,如何求A1D和AC間的距離?,即求線AC與面A1C1D的距離,即求點A(或C)到面A1C1D的距離,求點到平面的距離,設A是平面外的一點,AB是的一條斜線,交平面于點B,而n是平面的法向量,那么向量BA在方向n上的正射影長就是點A到平面的距離h.,A,B,n,),h,注意! 點B必須在平面內,c,已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1,求直線 A1D和AC間的距離.,B,C,D,A1,B1,D1,A,C1,x,y,z,解:建立空間直角坐標系 第一步:先求平面 A1C1D的法向量 n,由題知:AC=(-1,1,0), A1D=(1,0,1),設法向量n=(x,y,z),解得 -x+y=0, x+z=0. 即 y=x, z=-x,所以n=(x,x,-x)=x(1,1,-1) 取n=(1,1,-1),第二步:求A到平面A1C1D的距離,由圖知AA1是平面A1C1D的斜線，向量AA1=（0，0，1）在向量n上的射影長為,h=,第三步：由于線AC平行于面A1C1D，所以點A到平面A1C1D的距離就是異面直線A1D與AC間的距離.,所以，所求的距離為,小結：,求兩條異面直線間的距離步驟如下,1.先找到經(jīng)過一條直線并且與另一條直線平行的平面,2.求平面的法向量 n,3.找到連接線與面向量,4.求這個向量在法向量 n 上的射影長,即為所求.,練習：,已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1, E、F、G分別為B1C1、C1D1和A1D1的中點,求：（1）點A1到平面DBEF的距離. （ 2）并求直線AG與BD間的距離.,B,C,D,A1,B1,D1,A,C1,x,y,z,E,F,G,解: 建立如圖的空間直角坐標系, 則由題知 DB=(1,1,0) ,DF=(0,1/2,1) ,DA1=(1,0,1) , 且AGBE 設平面DBEF的法向量為n=(x,y,z) ,則有:,即,令x=1,y=-1,z=1/2,取n=(1,-1,1/2) ,則A1到平面DBEF的距離h=,又由AGBE, 所以AG與BD間的距離就是A點到面DBEF的距離,同理可求得AG與BD間的距離為2/3.,總結:,1.求異面直線間的距離的關鍵是找到經(jīng)過一條直線與另一直線平行的平面.把向量通過坐標形式正確表示出來.,2.求異面直線間的距離的難點是求這個平面的法向量.,3.求異面直線間的距離的重點是轉化為求點到面的距離.,4.求異面直線間的距離易錯的是找連接直線和平面的向量.,6.用法向量解題的立幾模型一般是:正(長)方體、直棱柱、正棱錐等.,5.用法向量解題的立幾題的優(yōu)點是不需大量的邏輯推理,完全依靠計算就可以解決問題.不需要確定垂足的位置.,作業(yè):,

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