高數(shù)A習題課向量代數(shù).ppt

向量代數(shù)、平面方程,編輯：孫學峰 制作：彭豪,習題課（3）,稱為向量a在基本單位向量 i, j, k下的基本分解式或坐標表示式. ax、ay 、az為 坐標，分別是a在三坐標軸上的投影.,2.向量的分解,a = ax i + ay j+ az k， b =bxi + by j+ bz k, a b = (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k, a = (ax ) i + ( ay ) j + ( az) k,a = ax i + ay j+ az k,若在三維空間中不建立直角坐標系，同樣可研究向量的分解及向量的坐標運算。,設, , 為三個線性無關向量,a為任意向量， 則存在唯一一組數(shù)x,y,z,使得 a = x+ y+ z,3.數(shù)量積、向量積、混合積,設 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), c = (cx , cy , cz),則,a b = ax bx + ay by + az bz,a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k,復習數(shù)量積、向量積、混合積的運算性質、幾何意義、物理意義。,二、 作業(yè)講析,（練習冊 P32 1.1）,五、已知PA =(2,-3, 6) ，PB =(-1,2,-2) ， |PC|= ，且PC平分APB，求向量PC。,B,P,A,C,D,六、已知一向量的模為2，且與x軸和y軸的正向成等角，與z軸正向的夾角則是它們的兩倍，求該向量。,解：依題意只需求出向量的方向角即可?？稍O它的三個方向角 分別為,2,于是有,三、 典型例題講析,例1.設|a|=2, |b|=1,= .若向量m=a+b與向量n=a-b垂直,求.,解：mn= aa-ab+ba-bb=4+-2=5-2=0,故=2/5,例2.設a,b,c為不共線的三向量，那么它們能構成三角形a+b+c=0的 充要條件是ab=bc=ca.,證：必要性:利用向量積的性質得（a+b+c)a=ba+ca=0,即ab=ca.,同理可證ab=bc.,充分性：由條件ab=bc=ca知，三向量a,b,c共面，,于是有不全為0的1,2,3,使得1a+2b+3c=0,在上式兩邊與a,b作叉積得,2ab+3ac=0, 1ab+3cb =0, 1= 2= 3且非零。于是得a+b+c=0。,例3.設(ab)c=1,求(a+b)(b+c)(c+a).,解： (a+b)(b+c)(c+a) = (ab)+(ac)+(bb)+(bc)(c+a),= (ab)c+ (ac)c+(bc)c+(ab)a+(ac)a+(bc)a,= (ab)c+0+0+0+0+(ab)c=2,例4.設a,b,c為兩兩正交的向量，且|a|=1, |b|=2，|c|=3. 求向量d= a+2b+3c的長度。,解： dd=(a+2b+3c)(a+2b+3c）,= aa+2ab+3ac+2ba+4bb+6bc+3ca+6cb+9cc,= 12 +422 +932 =98,|d|=,例5.設a,b是兩個非零向量， |a|=2, =,= |a|cos = 1,例6.求過y軸并和點M(2,7,3),N(-1,1,0)等距離的平面方程。,解：所求平面過y軸，故可設其方程為Ax+Cz=0.,平面和點M(2,7,3),N(-1,1,0)等距離，故有,于是A=-C或A=-3C，故所求平面方程為,x-z=0或3x-z=0,例7.證明平面1: 2x -y +1 = 0, 2: x +2y +z+1 = 0, 3: 3x +y +z+2 = 0屬于同一平面束(相交于同一直線), 并求束里經過點P(1,0,1)的平面方程。,解：顯然1與2不平行，過其交線的一切平面方程 （除2外）均可表示為,2x -y +1 +( x +2y +z+1)=0 （1）,顯然3是上述方程中取1的結果，即1、2、 3 屬同一平面束。,將P(1,0,1)的坐標代入（1）式解得=-1,故所求平面方程為x-3y -z= 0,例8.對于平面Ax+By+Cz+D=0，若規(guī)定法向量n=(A,B,C) 所指一側為平面的正側，另一側為負側，那么D的符號就 決定了原點在平面的側位。試討論之。,解：首先研究D的幾何意義。,D=A(-x)+B(-y)+C(-z) =nMO = |n| |MO|cos,當原點在平面正側時,D0;在平面負側時,D0. 反之亦然。,例如平面x-y+z+1=0，則原點在平面的正側。,M(x,y,z),n,O(0,0,0),四、 練習題,1.設m=2a+3b,n=3a-b,|a|=2|b|=1, = ,求|mn|. 2.向量x同時垂直于a=(2,3,1)和b=(1,-1,3),且與c=(2,0,2) 的數(shù)量積為-10，求x. 3.證明a=(-1,3,2),b=(2,-3,4), c=(-3,12,6)在同一平面上， 并將c用a,b表示出來. 4.證明：若三向量a,b,c不共面,d同時垂直于a,b,c,則d=0. 5*.證明： (ab)c= (ac)b- (bc)a. 6.已給平面,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2: A2x+B2y+C2z+D2=0,試用矩陣,的秩為條件，判斷平面的相交、平行與重合。,7.求過 x 軸和點 M(1, 2, 3) 的平面方程.,8.設平面 過點P(-1, 0, 1), Q(1, 2, 1)且與,平面1：x+y+z+1=0垂直， 求平面(稱為PQ到1的投影平面)的方程 .,9*.四平面y-z=0, x-y=0, x+z-1=0, y=0圍成一立體， 求立體體積. 10*.平面6x+y=6, 2x+y=6, x+y+z=6, y=0,z=0圍成一 立體,畫出