2012屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--36直接證明與間接證明.ppt

第三十六講 直接證明與間接證明,回歸課本 證明 1.證明分為直接證明與間接證明.直接證明包括綜合法分析法等;間接證明主要是反證法. 2.綜合法:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義定理公理,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.,3.分析法:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件定義定理公理等)為止.這種證明方法叫做分析法. 4.反證法:一般地,由證明pq轉(zhuǎn)向證明 qrt,t與假設(shè)矛盾,或與某個(gè)真命題矛盾,從而判定q為假,推出q為真的方法,叫反證法.,考點(diǎn)陪練 1.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使結(jié)論成立的 ( ) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.等價(jià)條件 解析:根據(jù)分析法的要求,只要能找到一個(gè)條件使結(jié)論成立即可,并不需要是等價(jià)條件(充要條件),只需要是充分條件即可. 答案:A,2.用P表示已知,Q表示要證的結(jié)論,則綜合法的推理形式為( ) A.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ B.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ C.QQ1Q1Q2Q2Q3QnP D.QQ1Q1Q2Q2Q3QnP 答案:A,3.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí),假設(shè)正確的是( ) A.假設(shè)至少有一個(gè)鈍角 B.假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角 C.假設(shè)沒有一個(gè)鈍角 D.假設(shè)沒有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角 解析:此題實(shí)際是一個(gè)命題的否定問題,“至多有一個(gè)”“至少有兩個(gè)”是對(duì)應(yīng)的,此題極易錯(cuò)選為C或A. 答案:B,4.反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾.這個(gè)矛盾可以是( ) 與已知矛盾;假設(shè)矛盾;與定義公理定理法則矛盾;與事實(shí)矛盾. A. B. C. D. 答案:D,5.在不等邊三角形中,a為最大邊,要想得到A為鈍角的結(jié)論,三邊abc應(yīng)滿足什么條件( ) A.a2b2+c2 D.a2b2+c2 答案:C,類型一 綜合法 解題準(zhǔn)備:1.用P表示已知條件、已有的定義、定理等,Q表示所要證的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為:,2.綜合法是“由因到果”,即由已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步的推理,最后達(dá)到待證結(jié)論.綜合法又叫做順推證法或由因到果法. 3.綜合法格式:從已知條件出發(fā),順著推證,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求證的結(jié)論,這就是順推法的格式,它的常見書面表達(dá)是“,”或“”.,反思感悟 用綜合法證題是從已知條件出發(fā),逐步推向結(jié)論,綜合法的適用范圍是: (1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,求證無條件的等式或不等式等. (2)已知條件明確,并且容易通過分析和應(yīng)用條件能逐步逼近結(jié)論的題型.,類型二 分析法 解題準(zhǔn)備:1.用Q表示要證明的結(jié)論,則分析法可用框圖表示為,2.分析法是“執(zhí)果索因”,一步步尋求上一步成立的充分條件,因此分析法又叫做逆證法或執(zhí)果索因法. 3.分析法格式:與綜合法正好相反,它是從要求證的結(jié)論出發(fā),倒著分析,由未知想需知,由需知逐漸靠近已知(已知條件,已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等).這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的,它的常見書寫表達(dá)式是“要證只需”或“”. 4.綜合法和分析法均屬于直接證明的方法,經(jīng)常要把兩種方法結(jié)合起來用,也就是說“兩頭湊”,會(huì)使問題容易解決.,反思感悟在解決問題時(shí),根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q,根據(jù)結(jié)論的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化得到中間結(jié)論P(yáng),歸結(jié)為證明PQ之間的關(guān)系,通常用分析法尋找思路,綜合法完成證明.,類型三 反證法 解題準(zhǔn)備:1.反證法是間接證明的一種方法,在數(shù)學(xué)研究和考試中有著重要的作用.一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題的成立,這樣的證明方法叫做反證法. 2.反證法的理論依據(jù)是邏輯規(guī)律中的排除律:一個(gè)事物是A或 ,二者必居其一,反證法即證明結(jié)論的反面錯(cuò)誤,從而結(jié)論正確.,3.用反證法證明問題的步驟:(1)分清命題的條件和結(jié)論,假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立;(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾;(3)從矛盾判斷假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確. 4.適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題:(1)結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的命題;(2)關(guān)于唯一性、存在性命題;(3)結(jié)論以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題;(4)結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題.,【典例3】已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù). 求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(即任何一條拋物線與x軸沒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)),由y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得1=(2b)2-4ac0, 2=(2c)2-4ab0, 3=(2a)2-4bc0.,同向不等式求和得, 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)20, a=b=c,這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾, 因此假設(shè)不成立,從而命題得證. 反思感悟本題是“至少”型命題,直接證明比較困難,因此可用反證法,即否定命題尋找矛盾命題得證.,錯(cuò)源 邏輯不嚴(yán)密 【典例】如圖,設(shè)四面體P-ABC中,ABC=90,PA=PB=PC,D是AC中點(diǎn),求證:PD平面ABC.,錯(cuò)解PA=PC,D是AC的中點(diǎn), PDAC. 又BCAB, BCPD. 又ACBC=C, PD平面ABC. 剖析本題錯(cuò)誤的原因在于證明PDBC時(shí)沒有理論依據(jù),完全憑感覺,沒有邏輯感.,正解連接BD,因?yàn)锽D是 RtABC斜邊上的中線,