高數(shù)A(下)第八章第三節(jié).ppt

曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡.,曲面方程的定義,(1),曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程;,(2),不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程;,如果曲面S,有下述關(guān)系:,那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的圖形.,一、曲面方程的概念,與三元方程,解,所求方程為,球心在原點的球面方程,例,特殊,是球面上任一點,例 下述方程表示什么樣的曲面？,解,原方程可以表示為：,所以方程表示？,研究空間曲面有,(1)已知曲面,(2)已知方程,兩個基本問題,(討論旋轉(zhuǎn)曲面),(討論柱面, 二次曲面),求方程;,研究圖形.,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,繞其平面上的一條直線,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.,此曲線稱,稱為旋轉(zhuǎn)曲面.,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,母線.,為方便,平面取作坐標(biāo)面,旋轉(zhuǎn)軸取,作坐標(biāo)軸.,常把曲線所在,以一條平面曲線,母線,軸,如圖，C為yoz平面內(nèi)的曲線,將,得方程,代入,為曲面上任一點，,旋轉(zhuǎn)曲面,求其方程.,f(y,z)=0,C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，形成,M是由C上的點,旋轉(zhuǎn)而得到，其中,由于,旋轉(zhuǎn)曲面方程.,旋轉(zhuǎn)一周的,即為,同理,旋轉(zhuǎn)曲面方程為,旋轉(zhuǎn)一周的,繞z軸,繞y軸,曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動,總之,位于坐標(biāo)面上的曲線C,繞其上的 一個 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動,所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到 :,而用另兩個的變量的平方和的平方根(加正、 負(fù)號)替代曲線方程中另一個變量即可.,將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.,旋轉(zhuǎn)雙曲面,例,雙曲線,(1),分別繞x軸和z軸;,繞x軸旋轉(zhuǎn),繞z軸旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)拋物面,(2),繞y軸和z軸;,(3),繞z軸.,B,方程,(A) xOz平面上曲線 繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面;,(B) xOz平面上直線 繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；,(C) yOz平面上直線 繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；,(D) yOz平面上曲線 繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面.,表示( ).,練習(xí),解,圓錐面方程,面上直線方程為,圓錐面方程,即 圓錐面方程,定義,三、柱面,平行于定直線并沿定曲線C,這條定曲線C 稱為柱面的,動直線L稱為柱面的,準(zhǔn)線,母線.,所形成的曲面稱為,移動的直線L,柱面.,準(zhǔn)線,母線,例 討論方程 的圖形.,在xOy面上,解,現(xiàn)在空間直角坐標(biāo)系中討論問題.,表一個圓C.,過,作平行z軸的直線L,設(shè)點,在圓C上,對L上任意點,的坐標(biāo)也滿足方程,沿曲線C,平行于z軸的一切直線所形成的曲面上的點,的坐標(biāo)都滿足此方程,在空間,就是圓柱面方程.,此曲面稱為圓柱面.,平面,表示母線平行于z,表示母線平行于z軸,拋物柱面,柱面舉例,其準(zhǔn)線是xOy面,上的拋物線,軸的柱面,的柱面,其準(zhǔn)線是xOy面上,的直線,從柱面方程看柱面的特征：,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面,坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面,在空間,為xOy面上的曲線C.,其準(zhǔn)線,母線平行于x軸,母線平行于z軸,母線平行于y軸,一般的，含有兩個變量的方程在平面和空間坐標(biāo)系中表示不同的圖形！,四、二次曲面,1. 二次曲面的定義,相應(yīng)地平面被稱為,三元二次方程所表示的曲面稱為,球面、,二次曲面.,如:,雙曲柱面等),某些柱面(圓柱面、拋物柱面、,一次曲面.,都是二次曲面.,研究的方法是采用截痕法.,以下用截痕法討論上面幾種特殊的二次曲面.,從而了解曲面,即用坐標(biāo)面和,平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,考察其交線,(即截痕)的形狀,然后加以綜合,的全貌.,現(xiàn)只研究幾種常見的二次曲面的方程.,2. 橢圓錐面,以垂直于z軸的平面z=t去截此曲面，,若t=0,就是坐標(biāo)原點.,隨t的增加(截面逐漸遠(yuǎn)離xoy面),即將z=t代入到,曲面方程得，,若t不為0,得,這表示一系列橢圓.,橢圓逐漸擴(kuò)大！,由此知道此曲面的形狀.,問題：,用平行于其余兩個坐標(biāo)面的平面截這個曲面，截痕是什么形狀？,3. 橢球面,由方程可知,即,這說明橢球面包含在由平面,圍成的長方體內(nèi).,先考慮橢球面與三個坐標(biāo)面的截痕：,截這個曲面,截痕方程是,這些截痕都是,再用平面,這些截痕都是,橢圓.,橢圓大小隨z1而變化.,橢圓.,橢圓截面的大小,隨平面位置的變化而變化.,與平面,橢圓.,同理,的截痕也是,橢球面的幾種特殊情況:,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓,方程可寫為,繞z軸旋轉(zhuǎn)而成.,球面,方程可寫為,4. 雙曲面,單葉雙曲面,特點是:,平方項有一個取負(fù)號,另兩個取正號.,分析：,用平行于xoy面的平面截這個曲面，截痕是什么形狀？,問題：,用平行于其余兩個坐標(biāo)面的平面截這個曲面，截痕是什么形狀？,類似地,亦表示,單葉雙曲面.,方程,雙葉雙曲面,特點是:平方項有一個取正號,另兩個取負(fù)號.,包含上、下兩個曲面.,用平面z=t去截此曲面，,當(dāng)t c時得到什么形狀的截痕？,問題：,用平行于其余兩個坐標(biāo)面的平面截這個曲面，截痕是什么形狀？,5. 拋物面,橢圓拋物面,問題：,用平行于其余兩個坐標(biāo)面的平面截這個曲面，截痕是什么形狀？a=b時有何特點？,用x=t去截曲面得到截痕l,這是x=t平面上開口向下的拋物線，頂點坐標(biāo)為,t