福建省閩侯二中五校教學(xué)聯(lián)合體2017_2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）.docx

福建省閩侯二中五校教學(xué)聯(lián)合體2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將不等式左邊因式分解可得，從而可解不等式.【詳解】因為的兩根為，不等式可化為，所以不等式的解集為或，故選A.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的求解方法，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握，屬于簡單題.2.下列結(jié)論正確的是 ()A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】D【解析】試題分析：當時，A不成立；當時，B不成立；令則由，可得，C不正確；若，則一定能推出，故D成立。故選D?？键c：不等式的基本性質(zhì)3.已知等比數(shù)列的前項和，則公比的值為()A. 1 B. C. 1或 D. 1或【答案】C【解析】【分析】等比數(shù)列中，,可得由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,從而可得結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列中，,前3項之和,整理可得,即,解得或，故選C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量運算，屬于中檔題. 等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和公式，并靈活應(yīng)用，在運算過程中，還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.4.的內(nèi)角所對的邊分別為 ，已知，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由余弦定理得 （負舍），選A.5.在中，若，則該三角形的形狀是( )A. 等腰三角形 B. 等邊三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)的運算法則可求得，利用正弦定理求得 ,根據(jù)余弦定理求得的表達式進而建立等式，整理求得,判斷出三角形為等腰三角形.【詳解】，,由正弦定理可得，整理得，的形狀是等腰三角形，故選A.【點睛】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內(nèi)角為鈍角進而知其為鈍角三角形.6.在數(shù)列中， ，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，兩式相減可得，也適合，可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.【詳解】由于已知有，因此令，且當時有，由一得，此式對也適用，所以數(shù)列的通項公式為，從而，所以數(shù)列是一個以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，故選B.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式與前項和公式之間的關(guān)系以及等比數(shù)列求和公式，屬于中檔題. 已知數(shù)列前項和，求數(shù)列通項公式，常用公式，將所給條件化為關(guān)于前項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否則適當變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式. 在利用與通項的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況.7.在各項都不為0的等差數(shù)列中， ，數(shù)列是等比數(shù)列，且則= ( )A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】8.的內(nèi)角所對的邊分別為 ，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個解的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】對于，利用正弦定理可判斷；對于，利用余弦定理可判斷；對于，利用正弦定理結(jié)合邊角大小關(guān)系可判斷；對于,由正弦定理求得，再根據(jù)，可得， 可能是銳角也可能是鈍角，從而可得有兩個解.【詳解】對于，若 ,則由正弦定理可得,求得，故有一解；對于，若 ,則由余弦定理可得,求得，只有一個解，故有一解；對于，若 ,則由正弦定理可得,求得，再根據(jù)，可得為銳角，故角只有一個，故有一解；對于，若 ,則由正弦定理可得,求得，再根據(jù)，可得，可得可能是銳角也可能是鈍角，即角有2個值，故有兩解，故選D.【點睛】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.9.已知函數(shù) 且 的圖象過定點，且點在直線上，則的最小值為( )A. 2 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【分析】由當時，可得函數(shù)過定點，于是有，,由基本不等式即可求得的最小值.【詳解】 函數(shù) 且 的圖象過定點，又點在直線上，(當且僅當時取“=”)，即的最小值為9，故選C.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題. 利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.10.已知實數(shù)x,y滿足約束條件，若的最大值為12，則的最小值為( )A. -3 B. -6 C. 3 D. 6【答案】B【解析】試題分析：不等式對應(yīng)的可行域為直線圍成的三角形及其內(nèi)部，當過點時取得最大值為12，所以當過點時取得最小值為考點：線性規(guī)劃問題11.等差數(shù)列的前項和為，若，且有最小值，那么以下四個結(jié)論：公差；當=18時，取得最小正值其中正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，正確；由結(jié)合，可得，故錯誤；由 ，可得錯誤；，結(jié)合，可得正確，從而可得結(jié)果.【詳解】，有最小值，二次函數(shù)圖象開口向上，正確；，與異號，結(jié)合，可得，故錯誤； ，錯誤；，結(jié)合，時，取最小正值，正確，故選B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的增減性、等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列的前 項和公式，屬于中檔題. 解等差數(shù)列有關(guān)問題時，要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項和的關(guān)系.12.已知函數(shù) (0，且1)若數(shù)列滿足 ，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、分界點處兩函數(shù)的單調(diào)性與整體保持一致，列出不等式組，解不等式組可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)，且是遞增數(shù)列，因為在上遞增，所以一次函數(shù)遞增，指數(shù)函數(shù)遞增，且，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選C.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、單調(diào)性以及數(shù)列的增減性，屬于中檔題.分段函數(shù)的單調(diào)性是分段函數(shù)性質(zhì)中的難點，也是高考命題熱點，要正確解答這種題型，必須熟悉各段函數(shù)本身的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，不但要求各段函數(shù)的單調(diào)性一致，最主要的也是最容易遺忘的是，要使分界點處兩函數(shù)的單調(diào)性與整體保持一致.二、填空題.13.在等比數(shù)列中，若=_.【答案】【解析】【分析】由利用等差數(shù)列的通項公式可得，且，求得首項與公差，從而可得結(jié)果.直接求解.【詳解】在等差數(shù)列中，由且，解得,故答案為 .【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式基本量運算，是基礎(chǔ)題. 等差數(shù)列基本量的運算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解.14. 的內(nèi)角所對的邊分別為 ，已知是公差為4的等差數(shù)列，且的最大內(nèi)角為，則最大邊的長度為_.【答案】14【解析】【分析】設(shè)三角形的三邊分別為,結(jié)合最大內(nèi)角為，利用余弦定理列方程求得，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)三角形的三邊分別為,則,化簡得,解得,所以三角形的三邊分別為,的最大邊的邊長是,故答案為14.【點睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.15.對于任意，都有恒成立，則實數(shù)取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】將分情況進行討論，時，顯然成立，時，利用判別式小于零列不等式，解不等式組求出的范圍，問題得解.【詳解】時，成立，時，由題意得,解得,綜合得，故答案為.【點睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立問題，屬于簡單題. 一元二次不等式恒成立問題主要方法：（1）若實數(shù)集上恒成立，考慮判別式小于零即可；（2）若在給定區(qū)間上恒成立，則考慮運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為求最值問題；（3）要注意討論二次項系數(shù)是否為零.16.把正整數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的三角形數(shù)表(每行比上一行多一個數(shù))：設(shè) 是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個數(shù)，如8若=2018，則i，j的值分別為_，_.【答案】 (1). 64 (2). 2【解析】【分析】第一行有一個數(shù) ,第二行有兩個數(shù)，第三行有三個數(shù)，第行有個數(shù)字，可得前行共有個數(shù)，是第行第2個數(shù)，從而可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，第一行有一個數(shù) ,第二行有兩個數(shù)，第三行有三個數(shù)，第行有62個數(shù)，第63行有個數(shù)63，第行有個數(shù)字，這樣每一行的數(shù)字個數(shù)組成等差數(shù)列，前項的和，當時，；前行共個數(shù)，所以，是第行遞2個數(shù)，的值分別為.故答案為.【點睛】本題的考點是歸納推理，以及等差數(shù)列的前項和公式,屬于難題. 歸納推理的一般步驟: 一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）. 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟).17.已知 ，（I）解關(guān)于的不等式；(）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的值【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)由可得,化為，利用一元二次不等式的解法求解即可；(2) 不等式可化為，即，由不等式的解集為，可得方程的兩個根分別為，由韋達定理可得結(jié)果.【詳解】(1) 即 故不等式的解集為 (2)不等式可化為即不等式的的解集為方程的兩個根分別為故 ，或【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，意在考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用以及靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.18.已知等差數(shù)列的公差為，且成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和的最小值，并求此時的值.【答案】（1）（2）當?shù)淖钚≈禐?25，【解析】【分析】（）設(shè)的首項為,運用等比中項性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項公式，可得的方程，解出 ,從而可得的通項公式；(2)結(jié)合（1），運用等差數(shù)列的求和公式可得，利用配方法和二次函數(shù)的最值，即可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意，得， 所以由 得 解得 所以，即 (2)由(1)知， 故當時，取最小值.【點睛】本題主要考查等比中項的應(yīng)用以及等差數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題. 求等差數(shù)列前項和的最大值的方法通常有兩種：將前項和表示成關(guān)于的二次函數(shù)， ，當時有最大值（若不是整數(shù)，等于離它較近的一個或兩個整數(shù)時最大）；可根據(jù)且確定最大時的值.19. 的內(nèi)角所對的邊分別為 已知，（）求的大小； （）若的面積為，求的最小值【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理可得 結(jié)合 可得 ，根據(jù)輔助角公式可求解角的大??；（2）由的面積為，可得，根據(jù)余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】(1) 由正弦定理,可得 又為的內(nèi)角 ，故 .(2). 在中,由余弦定理知 當且僅當b=c=4時等號成立，此時a取最小值為4【點睛】解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到20.已知數(shù)列的前項和為，且對一切正整數(shù)都成立，（I）證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)把和相減整理求得，整理出,判斷出數(shù)列是首項為6，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項公式求得，則可得的表達式；(3)把（2）中的代入 ,求得通項公式，進而利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式，可求得數(shù)列的前項的和.【詳解】（1）由已知得 ， 由-得：，所以 ,又得 所以是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列 （2）由（1）得 ，即 .（3）,所以, , 由- 得 =, .【點睛】本題主要考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的求和公式以及錯位相減法求數(shù)列的和，屬于難題. “錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點：掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；相減時注意最后一項 的符號；求和時注意項數(shù)別出錯；最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.21.如圖，在海島上有一座海拔千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站，上午11時，測得一輪船在島北偏東，俯角為的處，到11時10分又測得該船在島北偏西，俯角為的處.(I) 求船的航行速度是每小時多少千米?()又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的處，問此時船距島有多遠?【答案】(1)千米/時;(2)千米【解析】【分析】在、中利用山的高度以及俯角，確定的長，求得，最后利用勾股定理求得，用里程除以時間即可得船的速度；（2）利用 ，求得的值，利用，求得的值，進而利用正弦定理求得，從而可得結(jié)果.【詳解】(1)在中， ， 所