福建省閩侯二中五校教學聯合體2017_2018學年高二數學上學期期中試題（含解析）.docx

福建省閩侯二中五校教學聯合體2017-2018學年高二數學上學期期中試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將不等式左邊因式分解可得，從而可解不等式.【詳解】因為的兩根為，不等式可化為，所以不等式的解集為或，故選A.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的求解方法，意在考查對基礎知識的掌握，屬于簡單題.2.下列結論正確的是 ()A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】D【解析】試題分析：當時，A不成立；當時，B不成立；令則由，可得，C不正確；若，則一定能推出，故D成立。故選D?？键c：不等式的基本性質3.已知等比數列的前項和，則公比的值為()A. 1 B. C. 1或 D. 1或【答案】C【解析】【分析】等比數列中，,可得由等比數列的性質可得,從而可得結果.【詳解】等比數列中，,前3項之和,整理可得,即,解得或，故選C.【點睛】本題主要考查等比數列的基本量運算，屬于中檔題. 等比數列基本量的運算是等比數列的一類基本題型，數列中的五個基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，解決此類問題的關鍵是熟練掌握等比數列的有關性質和公式，并靈活應用，在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.4.的內角所對的邊分別為 ，已知，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由余弦定理得 （負舍），選A.5.在中，若，則該三角形的形狀是( )A. 等腰三角形 B. 等邊三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用對數的運算法則可求得，利用正弦定理求得 ,根據余弦定理求得的表達式進而建立等式，整理求得,判斷出三角形為等腰三角形.【詳解】，,由正弦定理可得，整理得，的形狀是等腰三角形，故選A.【點睛】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；（3）根據余弦定理確定一個內角為鈍角進而知其為鈍角三角形.6.在數列中， ，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，兩式相減可得，也適合，可得，利用等比數列的求和公式可得結果.【詳解】由于已知有，因此令，且當時有，由一得，此式對也適用，所以數列的通項公式為，從而，所以數列是一個以1為首項，4為公比的等比數列，故選B.【點睛】本題主要考查數列的通項公式與前項和公式之間的關系以及等比數列求和公式，屬于中檔題. 已知數列前項和，求數列通項公式，常用公式，將所給條件化為關于前項和的遞推關系或是關于第項的遞推關系，若滿足等比數列或等差數列定義，用等比數列或等差數列通項公式求出數列的通項公式，否則適當變形構造等比或等數列求通項公式. 在利用與通項的關系求的過程中，一定要注意 的情況.7.在各項都不為0的等差數列中， ，數列是等比數列，且則= ( )A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】8.的內角所對的邊分別為 ，根據下列條件解三角形，其中有兩個解的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】對于，利用正弦定理可判斷；對于，利用余弦定理可判斷；對于，利用正弦定理結合邊角大小關系可判斷；對于,由正弦定理求得，再根據，可得， 可能是銳角也可能是鈍角，從而可得有兩個解.【詳解】對于，若 ,則由正弦定理可得,求得，故有一解；對于，若 ,則由余弦定理可得,求得，只有一個解，故有一解；對于，若 ,則由正弦定理可得,求得，再根據，可得為銳角，故角只有一個，故有一解；對于，若 ,則由正弦定理可得,求得，再根據，可得，可得可能是銳角也可能是鈍角，即角有2個值，故有兩解，故選D.【點睛】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.9.已知函數 且 的圖象過定點，且點在直線上，則的最小值為( )A. 2 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【分析】由當時，可得函數過定點，于是有，,由基本不等式即可求得的最小值.【詳解】 函數 且 的圖象過定點，又點在直線上，(當且僅當時取“=”)，即的最小值為9，故選C.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題. 利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.10.已知實數x,y滿足約束條件，若的最大值為12，則的最小值為( )A. -3 B. -6 C. 3 D. 6【答案】B【解析】試題分析：不等式對應的可行域為直線圍成的三角形及其內部，當過點時取得最大值為12，所以當過點時取得最小值為考點：線性規(guī)劃問題11.等差數列的前項和為，若，且有最小值，那么以下四個結論：公差；當=18時，取得最小正值其中正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等差數列的求和公式，結合二次函數的性質可得，正確；由結合，可得，故錯誤；由 ，可得錯誤；，結合，可得正確，從而可得結果.【詳解】，有最小值，二次函數圖象開口向上，正確；，與異號，結合，可得，故錯誤； ，錯誤；，結合，時，取最小正值，正確，故選B.【點睛】本題主要考查等差數列的增減性、等差數列的性質與等差數列的前 項和公式，屬于中檔題. 解等差數列有關問題時，要注意應用等差數列的性質（）與前項和的關系.12.已知函數 (0，且1)若數列滿足 ，且數列是遞增數列，則實數的取值范圍是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據分段函數的性質可得：函數在各段上均為增函數，根據一次函數和指數函數的單調性、分界點處兩函數的單調性與整體保持一致，列出不等式組，解不等式組可得實數的取值范圍.【詳解】因為函數，且是遞增數列，因為在上遞增，所以一次函數遞增，指數函數遞增，且，可得，解得，所以實數的取值范圍是，故選C.【點睛】本題主要考查分段函數的解析式、單調性以及數列的增減性，屬于中檔題.分段函數的單調性是分段函數性質中的難點，也是高考命題熱點，要正確解答這種題型，必須熟悉各段函數本身的性質，在此基礎上，不但要求各段函數的單調性一致，最主要的也是最容易遺忘的是，要使分界點處兩函數的單調性與整體保持一致.二、填空題.13.在等比數列中，若=_.【答案】【解析】【分析】由利用等差數列的通項公式可得，且，求得首項與公差，從而可得結果.直接求解.【詳解】在等差數列中，由且，解得,故答案為 .【點睛】本題考查等差數列通項公式基本量運算，是基礎題. 等差數列基本量的運算是等差數列的一類基本題型，數列中的五個基本量一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解.14. 的內角所對的邊分別為 ，已知是公差為4的等差數列，且的最大內角為，則最大邊的長度為_.【答案】14【解析】【分析】設三角形的三邊分別為,結合最大內角為，利用余弦定理列方程求得，從而可得結果.【詳解】設三角形的三邊分別為,則,化簡得,解得,所以三角形的三邊分別為,的最大邊的邊長是,故答案為14.【點睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.15.對于任意，都有恒成立，則實數取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】將分情況進行討論，時，顯然成立，時，利用判別式小于零列不等式，解不等式組求出的范圍，問題得解.【詳解】時，成立，時，由題意得,解得,綜合得，故答案為.【點睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立問題，屬于簡單題. 一元二次不等式恒成立問題主要方法：（1）若實數集上恒成立，考慮判別式小于零即可；（2）若在給定區(qū)間上恒成立，則考慮運用“分離參數法”轉化為求最值問題；（3）要注意討論二次項系數是否為零.16.把正整數按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的三角形數表(每行比上一行多一個數)：設 是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數，如8若=2018，則i，j的值分別為_，_.【答案】 (1). 64 (2). 2【解析】【分析】第一行有一個數 ,第二行有兩個數，第三行有三個數，第行有個數字，可得前行共有個數，是第行第2個數，從而可得結果.【詳解】由題意可知，第一行有一個數 ,第二行有兩個數，第三行有三個數，第行有62個數，第63行有個數63，第行有個數字，這樣每一行的數字個數組成等差數列，前項的和，當時，；前行共個數，所以，是第行遞2個數，的值分別為.故答案為.【點睛】本題的考點是歸納推理，以及等差數列的前項和公式,屬于難題. 歸納推理的一般步驟: 一、通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質. 二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）. 常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1) 數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.三、解答題(解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟).17.已知 ，（I）解關于的不等式；(）若關于的不等式的解集為，求實數的值【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)由可得,化為，利用一元二次不等式的解法求解即可；(2) 不等式可化為，即，由不等式的解集為，可得方程的兩個根分別為，由韋達定理可得結果.【詳解】(1) 即 故不等式的解集為 (2)不等式可化為即不等式的的解集為方程的兩個根分別為故 ，或【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關系，意在考查轉化與劃歸思想的應用以及靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.18.已知等差數列的公差為，且成等比數列（）求數列的通項公式；（）求數列的前項和的最小值，并求此時的值.【答案】（1）（2）當的最小值為-25，【解析】【分析】（）設的首項為,運用等比中項性質以及等差數列的通項公式，可得的方程，解出 ,從而可得的通項公式；(2)結合（1），運用等差數列的求和公式可得，利用配方法和二次函數的最值，即可得結果.【詳解】(1)由題意，得， 所以由 得 解得 所以，即 (2)由(1)知， 故當時，取最小值.【點睛】本題主要考查等比中項的應用以及等差數列的通項公式與等差數列的求和公式，屬于中檔題. 求等差數列前項和的最大值的方法通常有兩種：將前項和表示成關于的二次函數， ，當時有最大值（若不是整數，等于離它較近的一個或兩個整數時最大）；可根據且確定最大時的值.19. 的內角所對的邊分別為 已知，（）求的大小； （）若的面積為，求的最小值【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理可得 結合 可得 ，根據輔助角公式可求解角的大??；（2）由的面積為，可得，根據余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】(1) 由正弦定理,可得 又為的內角 ，故 .(2). 在中,由余弦定理知 當且僅當b=c=4時等號成立，此時a取最小值為4【點睛】解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到20.已知數列的前項和為，且對一切正整數都成立，（I）證明:數列是等比數列，并求出數列的通項公式；（II）設，求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)把和相減整理求得，整理出,判斷出數列是首項為6，公比為2的等比數列；（2）由（1）利用等比數列的通項公式求得，則可得的表達式；(3)把（2）中的代入 ,求得通項公式，進而利用錯位相減法，結合等比數列求和公式，可求得數列的前項的和.【詳解】（1）由已知得 ， 由-得：，所以 ,又得 所以是以6為首項，2為公比的等比數列 （2）由（1）得 ，即 .（3）,所以, , 由- 得 =, .【點睛】本題主要考查利用遞推關系求數列的通項公式、等比數列的求和公式以及錯位相減法求數列的和，屬于難題. “錯位相減法”求數列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；相減時注意最后一項 的符號；求和時注意項數別出錯；最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.21.如圖，在海島上有一座海拔千米的山，山頂設有一個觀察站，上午11時，測得一輪船在島北偏東，俯角為的處，到11時10分又測得該船在島北偏西，俯角為的處.(I) 求船的航行速度是每小時多少千米?()又經過一段時間后，船到達海島的正西方向的處，問此時船距島有多遠?【答案】(1)千米/時;(2)千米【解析】【分析】在、中利用山的高度以及俯角，確定的長，求得，最后利用勾股定理求得，用里程除以時間即可得船的速度；（2）利用 ，求得的值，利用，求得的值，進而利用正弦定理求得，從而可得結果.【詳解】(1)在中， ， 所