高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3拋物線2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第1課時拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案.docx

2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第1課時拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題知識點一拋物線的幾何性質(zhì)思考觀察下列圖形，思考以下問題：觀察焦點在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？答案拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個頂點，有兩個焦點，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個頂點，兩個焦點，有中心；拋物線只有一條曲線，一個頂點，一個焦點，無中心梳理標(biāo)準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖象性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對稱軸x軸y軸頂點(0,0)焦點準線xxyy離心率e1知識點二焦點弦的性質(zhì)如圖，AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的一條弦，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，相應(yīng)的準線為l.(1)以AB為直徑的圓必與準線l相切(2)|AB|2(焦點弦長與中點關(guān)系)(3)|AB|x1x2p.(4)若直線AB的傾斜角為，則|AB|.如當(dāng)90時，AB叫做拋物線的通徑，是所有焦點弦中最短的(5)A，B兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1x2，y1y2p2.1拋物線關(guān)于頂點對稱()2拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心()3拋物線的標(biāo)準方程雖然各不相同，但是其離心率都相同()類型一拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用例1已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準方程考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線方程解由題意，設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，焦點F，直線l：x，所以A，B兩點坐標(biāo)為，所以|AB|2|m|.因為OAB的面積為4，所以|2|m|4，所以m2.所以拋物線的標(biāo)準方程為y24x.引申探究等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點，OAOB，則AOB的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2答案B解析因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以易得A，B兩點的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.反思與感悟把握三個要點確定拋物線簡單幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負(2)關(guān)系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸(3)定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，其上一點P到準線及對稱軸距離分別為10和6，求拋物線的方程考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線方程解設(shè)拋物線的方程為y22ax(a0)，點P(x0，y0)因為點P到對稱軸距離為6，所以y06.因為點P到準線距離為10，所以10.因為點P在拋物線上，所以362ax0，由，得或或或所以所求拋物線的方程為y24x或y236x.類型二拋物線的焦點弦問題例2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值考點拋物線的焦點弦問題題點求拋物線的焦點弦長解因為直線l的傾斜角為60，所以其斜率ktan60.又F，所以直線l的方程為y.聯(lián)立消去y，得x25x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.引申探究1若本例中“直線l的傾斜角為60”改為“直線l垂直于x軸”，求|AB|的值解直線l的方程為x，聯(lián)立解得或所以|AB|3(3)6.2若本例中“直線l的傾斜角為60”改為“|AB|9”，求線段AB的中點M到準線的距離解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2px1x23，所以x1x26，于是線段AB的中點M的橫坐標(biāo)是3.又準線方程是x，所以點M到準線的距離為3.反思與感悟(1)解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過定義將焦點弦長度轉(zhuǎn)化為端點的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進行求解(2)設(shè)直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨討論跟蹤訓(xùn)練2已知拋物線方程為y22px(p0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|p，求AB所在直線的方程考點拋物線的焦點弦問題題點知拋物線焦點弦長求方程解由題意可知，焦點F.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)若ABx軸，則|AB|2pp，不合題意，故直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為yk.聯(lián)立消去x，整理得ky22pykp20.則y1y2，y1y2p2.|AB|2pp，解得k2，AB所在直線方程為y2或y2.類型三與拋物線有關(guān)的最值問題例3設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點(1)求點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若點B的坐標(biāo)為(3,2)，求|PB|PF|的最小值考點拋物線的定義題點由拋物線定義求最值解(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線方程是x1.由拋物線的定義知，點P到直線x1的距離等于點P到焦點F的距離于是問題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點P，使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小顯然，連接AF，AF與拋物線的交點即為點P，故最小值為，即點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值為.(2)如圖，把點B的橫坐標(biāo)代入y24x中，得y2.因為22，所以點B在拋物線內(nèi)部過點B作BQ垂直于準線，垂足為點Q，交拋物線于點P1，連接P1F.此時，由拋物線定義知，|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值為4.反思與感悟解關(guān)于拋物線的最值、定值問題時，首先要注意拋物線上的點到焦點的距離與點到準線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是注意平面幾何知識的應(yīng)用，例如兩點之間線段最短、三角形中三邊之間的不等關(guān)系、點與直線上點的連線中垂線段最短等跟蹤訓(xùn)練3已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A2B3C.D.考點拋物線的定義題點由拋物線定義求最值答案A解析由題意知，直線l2：x1為拋物線y24x的準線由拋物線的定義知，點P到l2的距離等于點P到拋物線的焦點F(1,0)的距離故所求最值可轉(zhuǎn)化為在拋物線y24x上找一個點P，使得點P到點F(1,0)和到直線l1的距離之和最小，最小值為F(1,0)到直線l1：4x3y60的距離，即d2.1以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線方程答案C解析設(shè)拋物線y22px或y22px(p0)，依題意得x或x，分別代入y22px和y22px，得|y|p，2|y|2p8，p4.即拋物線方程為y28x.2拋物線yax2(a0)的焦點作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1x23p，則|PQ|等于()A4pB5pC6pD8p考點拋物線的焦點弦問題題點求拋物線的焦點弦長答案A解析由焦點弦公式|PQ|x1x2p，又x1x23p，|PQ|4p.4已知過拋物線y22px(p0)的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p_.考點拋物線的焦點弦問題題點知拋物線焦點弦長求方程答案2解析直線AB的方程為yx，由消去y，得x23px0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x23p，|AB|x1x2p4p8，p2.5.如圖，已知邊長為2的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點，ABx軸(1)求以O(shè)為頂點且過AB的拋物線方程；(2)求拋物線的焦點坐標(biāo)，準線方程及離心率e.考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線方程解(1)由題意知A(，1)，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，將x，y1，代入得p，所求拋物線方程為y2x.(2)拋物線的準線方程為x，焦點坐標(biāo)為，離心率e1.1討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程2拋物線中的最值問題：注意拋物線上的點到焦點的距離與點到準線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是平面幾何知識的應(yīng)用一、選擇題1已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x4y110上，則此拋物線的方程是()Ay211xBy211xCy222xDy222x考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線方程答案D解析在方程2x4y110中，令y0得x，拋物線的焦點為F，即，p11，拋物線的方程是y222x.2已知拋物線y22px(p0)的準線與曲線x2y24x50相切，則p的值為()A2B1C.D.考點拋物線的幾何性質(zhì)題點拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題答案A解析曲線的標(biāo)準方程為(x2)2y29，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，又拋物線的準線方程為x，由拋物線的準線與圓相切得23，解得p2.3拋物線C1：y22x的焦點為F1，拋物線C2：x2y的焦點為F2，則過F1且與直線F1F2垂直的直線l的方程為()A2xy10B2xy10C4xy20D4x3y20考點拋物線的幾何性質(zhì)題點與準線、焦點有關(guān)的簡單幾何性質(zhì)答案C解析由題意知，F(xiàn)1，F(xiàn)2.所以直線F1F2的斜率為，則直線l的斜率為4.故直線l的方程為y4，即4xy20.4過拋物線y22px(p0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標(biāo)為3，|PQ|10，則拋物線方程是()Ay28xBy22xCy26xDy24x考點拋物線的焦點弦問題題點知拋物線焦點弦長求方程答案A解析設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則3，即x1x26.又|PQ|x1x2p10，即p4，拋物線方程為y28x.5在同一直角坐標(biāo)系中，方程a2x2b2y21與axby20(ab0)的曲線大致是()考點拋物線的幾何性質(zhì)題點拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題答案D解析a2x2b2y21其標(biāo)準方程為1，因為ab0，所以0)的焦點作一直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則的值是()A4B4Cp2Dp2考點拋物線的焦點弦問題題點與焦點弦有關(guān)的其他問題答案B解析采用特例法當(dāng)直線與x軸垂直時，易得A，B，4.7已知拋物線y22px(p0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準線方程為()Ax1Bx1Cx2Dx2考點拋物線的焦點弦問題題點與焦點弦有關(guān)的其他問題答案A解析拋物線的焦點為F，所以過焦點且斜率為1的直線方程為yx，即xy.代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20，由根與系數(shù)的關(guān)系，得p2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y24x，準線方程為x1.8已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在拋物線C上，且|AK|AF|，則AFK的面積為()A4B8C16D32考點拋物線的定義題點拋物線定義的其他應(yīng)用答案B解析易知F(2,0)，K(2,0)，過點A作AM垂直準線于點M，則|AM|AF|.|AK|AM|，AMK為等腰直角三角形設(shè)A(m2,2m)(m0)，則AFK的面積S2m44m.又由|AK|AM|，得(m22)28m22(m22)2，解得m.AFK的面積S4m8.二、填空題9設(shè)拋物線y216x上一點P到對稱軸的距離為12，則點P與焦點F的距離|PF|_.考點拋物線的定義題點由拋物線定義求距離答案13解析設(shè)P(x,12)，代入y216x，得x9，|PF|x9413.10拋物線yx2的焦點與雙曲線1的上焦點重合，則m_.考點拋物線的幾何性質(zhì)題點拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題答案13解析拋物線yx2可化為x216y，則其焦點為(0,4)，3m16，則m13.11已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，且與圓x2y24相交的公共弦長等于2，則這條拋物線的方程為_考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線方程答案y23x解析由題意設(shè)拋物線方程為y2ax(a0)，當(dāng)a0時，弦的端點坐標(biāo)為(1，)代入拋物線方程得y23x，同理當(dāng)a0)，A(x0，y0)，由題知M.|AF|3，y03.|AM|，x217，x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4.所求拋物線的標(biāo)準方程為x24y或x28y.四、探究與拓展14.如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，交其準線于點C，若|BC|2|BF|且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay23xBy29xCy2xDy2x考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線方程答案A解析作AM，BN分別垂直準線于點M，N，則|BN|BF|，|AM|AF|.又|BC|2|BF|，得|BC|2|BN|，NCB30，|AC|2|AM|2|AF|6.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|x，則2xx36，得x1，而x13，x21，且x1x2，p，得拋物線方