小環(huán)C活套在OA桿和半徑為R的固定圓環(huán)上,此固定圓環(huán)與.ppt

,補(bǔ)充例題：桿OA繞O點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動，小環(huán)C活套在OA桿和半徑為R的固定圓環(huán)上，此固定圓環(huán)與OA桿在同一平面內(nèi)且通過O點(diǎn)，已知OA桿與 的夾角 ，求小環(huán)C在任一時刻的速度、加速度的大小。,解：方法1: 選直角坐標(biāo)系,方法2： 選取極坐標(biāo)系 （以O(shè)為極點(diǎn)，OX為極軸， 為極角） C點(diǎn)的極坐標(biāo)運(yùn)動方程為：,方法3：選自然坐標(biāo)系 取C點(diǎn)的已知軌道（大園環(huán)）為弧坐標(biāo)， 時，C點(diǎn)位置（D點(diǎn)）為弧坐標(biāo)的原點(diǎn)，并以 角正向?yàn)榛∽鴺?biāo)的正方向，則C點(diǎn)的弧坐標(biāo)運(yùn)動方程為：,4 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程及其積分 The equation and their integration of motion of particle,一、牛頓三定律,明確: 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因?yàn)榈谝欢蔀檎麄€ 力學(xué)體系選定了一類特殊的參考系-慣性參考系 2. 第二定律中的質(zhì)量是慣性質(zhì)量,與萬有引力中的質(zhì)量相比,近年 來的實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)證實(shí)相差不到10-12. 愛因斯坦把引力質(zhì)量等于 慣性質(zhì)量作為廣義相對論的基本公設(shè).,3. 一般工程問題地球可以看作慣性參考系;如果物體運(yùn)動的尺度 很大問題的精確度要求很高,應(yīng)當(dāng)考慮地球自轉(zhuǎn)的影響,可取地心 為慣性參考系; 在分析行星的運(yùn)動時,地心本身作公轉(zhuǎn),必須取日 心參考系. 太陽本身在銀河系的加速度大約是310-8厘米/秒2, 一般來說可以不用考慮了,可以認(rèn)為足夠精確的了.,基本定律: 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力Fi(i=1,2,.n)的作用,在慣性系 中的加速度為a, 則:,二、運(yùn)動微分方程,將動力學(xué)基本方程 表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。,（1）矢量形式,1.運(yùn)動微分方程,（2）直角坐標(biāo)形式,解二階常微分方程將出現(xiàn)積分常數(shù)，共6個。由質(zhì)點(diǎn)的 初始條件決定：,線性:力是位置和速度的線性函數(shù)，有一般的解法，線性方程只是實(shí)際問題中的少數(shù)情況.,非線性:力是位置和速度的非線性函數(shù)，無一般的解法，實(shí)際問題中大多數(shù)是非線性的.,（3）自然形式,（4）平面極坐標(biāo)形式,若質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上運(yùn)動:,R為約束反作用力,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程除以上三種基本形式外,還可有球坐標(biāo)形式, 柱坐標(biāo)形式等等。,2.約束 牛頓力學(xué)中力的分類,若質(zhì)點(diǎn)被限制在某一曲線或曲面上運(yùn)動,該曲線或曲面稱 為約束, 其方程為約束方程, 約束對質(zhì)點(diǎn)的作用力為約束力 (約束反力).,約束力是待定的,取決于約束本身的性質(zhì),質(zhì)點(diǎn)的 運(yùn)動狀態(tài)及其質(zhì)點(diǎn)受主動力的情況,只靠約束力不能引起質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動,故稱約束力為被動力.,質(zhì)點(diǎn)受到約束, 其自由度減少.,（1） 約束的概念和約束方程,鋼軌，平面，擺長,第一章,（2） 約束力和主動力,約束是通過約束物實(shí)現(xiàn)的, 為強(qiáng)制質(zhì)點(diǎn)滿足約束條件, 約束物與質(zhì)點(diǎn)間有力的相互作用, 稱約束物對質(zhì)點(diǎn)施加的力為約束力 (或稱為約束反力, 約束反作用力). 用數(shù)學(xué)方法表述約束條件的方程稱為約束方程。,彈簧彈性力、萬有引力、電磁力,主動力已知力的函數(shù) , 約束力是未知的.,而把質(zhì)點(diǎn)所受的, 除約束力之外的其他力稱為主動力 (叫非 約束力可能更準(zhǔn)確).,主動力的主要特點(diǎn)是已知，或大小，或方向，或函數(shù)關(guān)系,空氣阻力也是主動力,第一章,而約束力的主要特點(diǎn)是未知，取決于約束與介質(zhì)的性質(zhì)以及 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)。,被動。,只有被動力不能引起質(zhì)點(diǎn)的任何運(yùn)動。,繩的張力、面的支撐力、摩擦力,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的約束微分方程：,第一章,一般采用自然坐標(biāo)系.,1) 光滑約束，約束力在軌道的法平面內(nèi),(1)式求出運(yùn)動規(guī)律,(2)和(3)解出約束力,方便之處在于 運(yùn)動規(guī)律和約束力可分開求解.,第一章,2) 非光滑約束,4個方程4個未知數(shù),可解,應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程，可以求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類問題。,第一章,兩類基本問題： 1)已知運(yùn)動求力 2)已知力求運(yùn)動，解微分方程，為理論力學(xué)主要課題。 解體步驟：1）作圖，受力分析; 2）寫出方程，選坐標(biāo)系投影; 3）積分求解，分析解的物理意義.,4.運(yùn)動微分方程的解,1)自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程組及例題,（1） 力僅是時間的函數(shù), F=F(t),例:研究自由電子在沿x軸的振蕩電場中的運(yùn)動,電子所受的力則為：,根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，電子運(yùn)動的微分方程為：,設(shè)起始條件是：當(dāng) 時， ，,上式積分兩次得：,振蕩項(xiàng)與電場具有相同的角頻率 ，且與初始條件無關(guān)。非振蕩項(xiàng)與起始條件有關(guān)，對波的傳播特性無貢獻(xiàn)，只能影響波到達(dá)的前沿位置。,設(shè)沿 軸的電場強(qiáng)度為：,第一章,設(shè)阻力 只與速度 的量值的一次方成正比，即,當(dāng) 時，,上兩式積分，得：,2.力只是速度的函數(shù) 在具有阻力的媒質(zhì)中運(yùn)動的拋射體,選取直角坐標(biāo)系，其運(yùn)動微分方程為：,第一章,當(dāng) 時，,上式再積分一次得：,第一章,上式展開為級數(shù)后，可得：,(2)當(dāng)mvx0-bx0, y 無窮, 說明軌道在x=mvx0/b處變成豎直直線.,當(dāng)拋射體的速度接近槍彈的速度時， 與 的正比關(guān)系已經(jīng)不再適用。如為低速炮彈，可以認(rèn)為 與 成正比；當(dāng)速度接近聲速時， 與 正比的關(guān)系又不再適用。,如果阻力很小或距離很短，即：,軌道方程為：,第一章,可見:(1) 若阻力較小(b很小)或x很小, 可以忽略x3以上的項(xiàng), 與真空中彈道一致,解：質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖所示，選取直角坐標(biāo) 系，其運(yùn)動微分方程為：,即,上式積分得：,當(dāng)時間逐漸增加時，速度逐漸接近于定值極限速度 ，而運(yùn)動幾乎是勻速直線運(yùn)動。這是因?yàn)闀r間增加時，和重力相反的阻力也隨之增加（因速度隨著時間逐漸加大），等它增加到和重力mg 相等時，物體等于沒有受到外力作用，因而作勻速直線運(yùn)動。,例題1.質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)，在有阻力的空氣中無初速地自離地面為h的地方豎直下落。如阻力與速度成正比，試研究其運(yùn)動。,第一章,當(dāng)時間逐漸增加時，速度逐漸接近于定值極限速度 ，而運(yùn)動幾乎是勻速直線運(yùn)動。這是因?yàn)闀r間增加時，和重力相反的阻力也隨之增加（因速度隨著時間逐漸加大），等它增加到和重力mg 相等時，物體等于沒有受到外力作用，因而作勻速直線運(yùn)動。,第一章,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程為（步驟與例題1相仿，故從略）：,積分得：,當(dāng) 時， ，故物體的速度由零逐漸增大，但以定值 為其極限。極限速度與運(yùn)動物體在運(yùn)動垂直方向的最大截面積有關(guān)。,例題2.在例題1中，如阻力與速度平方成正比，試研究該 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。,解：阻力表示為 ，式中 為常數(shù),第一章,3. 力只是坐標(biāo)的函數(shù)三維諧振動,是比例系數(shù)，常稱為倔強(qiáng)系數(shù)。,方向：,其解為：,所以：,原子在晶體點(diǎn)陣中的運(yùn)動，在簡單情況下，力只是坐標(biāo) x 、y 、 z 的函數(shù)，且可互相分開，故其運(yùn)動微分方程可寫為,第一章,第一章,1.22）帶電粒子在正交電磁場中的運(yùn)動,假定,粒子運(yùn)動微分方程為:,粒子運(yùn)動分量微分方程為:,（1）,（2）,（3）,第一章,（1）,（2）,（3）,由（1）得：,利用初始條件，積分，得,代入（2），,上式的解為,第一章,t=0時,積分常數(shù)為,積分，得,積分(3) z 0,第一章,2)非自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程組及例題,（1）有關(guān)約束力的進(jìn)一步討論,約束力是約束物施加給質(zhì)點(diǎn)的力： 1）未知的. 只有通過求解質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程才可以確定. 2）被動的. 只有當(dāng)被約束物體相對約束物有運(yùn)動趨勢時, 約束力才存在；單靠約束力本身不能引起被約束物體相對于約束物的運(yùn)動.,（2）非自由質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程組,約束方程,第一章,牛頓力學(xué)的缺點(diǎn): 要同時計(jì)及約束力和約束方程, 同時考慮約束的兩個側(cè)面.,不好，不好！自由度減少了，為什么方程反而復(fù)雜了？,分析力學(xué)！,（1） （2）,解：小環(huán)受力分析，如圖所示。 小環(huán)在任意位置P處的運(yùn)動微分方程為：,第一章,（1）式變?yōu)椋?（2）（3）（4）聯(lián)立得：,求得,由,（4）,對上式積分得：,（3）,利用,（1）式變?yōu)椋?第一章,第一章,例題4:p.80:1.27)一質(zhì)點(diǎn)自一水平放置的光滑固定圓柱面凸面的最高點(diǎn)自由滑下。問滑至何處，此質(zhì)點(diǎn)將離開圓柱面？假定圓柱體的半徑為r.,解：,第一章,第一章,解的適用范圍為,當(dāng) 時滑塊脫離球面,正確選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是很重要的, 關(guān)系解決問題的繁簡以至成敗, 而且又沒有簡單的規(guī)則可以遵循, 所以讀者在學(xué)習(xí)理論及解算例題習(xí)題的過程中, 對這個問題要給以足夠的重視.,第一章,作業(yè)：,周衍柏：18-31,習(xí)題：p.79 1.19),1.21)1.22)。,第一章,質(zhì)點(diǎn)在加速平動參照系中的運(yùn)動,所以有：,故相對于作加速直線運(yùn)動的非慣性參照系，牛頓運(yùn)動定律,有,相對于非慣性系來講，牛頓第二定律在形式上仍然成立。,不再成立，上式改寫為： 令：,5. 非慣性系動力學(xué)(一),這樣除了物體間相互作用的力之外，還有一種非相互作用力 ，這種力是由于參照系本身相對于慣性參照系作加速運(yùn)動所引起的，這種力叫做慣性力。,第一章,一、功與能 （Mechanical work and energy),1.功和功率,其中，r 是力的作用點(diǎn)之位移。,1） 質(zhì)點(diǎn)在恒力作用下沿直線運(yùn)動,5 功與能 保守力與耗散力 勢能,2） 質(zhì)點(diǎn)受變力沿曲線運(yùn)動,第一章,功是標(biāo)量，其值與坐標(biāo)選取無關(guān)。,選坐標(biāo)系較方便，在直角坐標(biāo)系下：,3. 若質(zhì)點(diǎn)受幾個力F1 F2 _Fn作用, 合力,即合力之功等于分力功之代數(shù)和。,4. 功率：描述做功快慢的量,第一章,二、能,物體具有做功的本領(lǐng)，稱它具有一定的能量。力學(xué) 中機(jī)械能. 當(dāng)能量發(fā)生變化時，總有一定數(shù)量的功 表現(xiàn)出來功是能量變化的度量。,對能的理解:哲學(xué)上：能量是物質(zhì)運(yùn)動的度量，運(yùn)動是永恒 的。 能量是推動一切過程的本因可用能。 我國能源及其利用現(xiàn)狀.,第一章,三、保守力、非保守力與耗散力,1. 力場: 一般,若質(zhì)點(diǎn)在某空間區(qū)域任意位置上，受到確定的力F (r)，力是 位置的單值有界可微函數(shù)，則該區(qū)域稱為力場，F(xiàn)為場力。 如：萬有引力場、靜電場,若含有時間稱為非穩(wěn)定場.,2. 保守力場:,積分一般與路徑有關(guān),若力場是穩(wěn)定的，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，場力做功單值地有始末位置確定（與軌道形狀無關(guān)）該力場為保守力場。質(zhì)點(diǎn)受到的場力為保守力。,否則場力做功與路徑有關(guān)，這種力為非保守力，力場為非保守力場。,如：摩擦力與路徑有關(guān)耗散能量耗散力,第一章,3. 保守力的判據(jù):,F(r)為保守力的充要條件是:,即:,證: 先證必要性,與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān),必存在一可微函數(shù)V 使得,第一章,同理,再證充分性:,根據(jù)Stokes定理,即積分與路徑無關(guān)！,第一