概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)16講.ppt

1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第16講,本文件可從網(wǎng)址 上下載,2,超幾何分布,3,例 某班有學(xué)生23名, 其中有5名女同學(xué), 今從班上任選4名學(xué)生去參觀展覽, 被選到的女同學(xué)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量, 求X的分布.,4,解 X可取0,1,2,3,4這5個(gè)值, 相應(yīng)概率為,5,概率分布表為,6,概率分布圖為:,7,定義 設(shè)N個(gè)元素分為兩類, 有N1個(gè)元素屬于第一類, N2個(gè)元素屬于第二類(N1+N2=N). 從中按不重復(fù)抽樣取n個(gè), 令X表示這n個(gè)中第一(或二)類元素的個(gè)數(shù), 則X的分布稱為超幾何分布. 其概率函數(shù)為:,8,9,根據(jù)概率分布的性質(zhì), 必有,10,和二項(xiàng)分布相比,二項(xiàng)分布是放回抽樣, 而超幾何分布是不放回抽樣. 當(dāng)在不放回抽樣時(shí), 超幾何分布中的N1/N相當(dāng)于二項(xiàng)分布中的參數(shù)p, N2/N相當(dāng)于二項(xiàng)分布中的q=1-p.,11,超幾何分布也可以和二項(xiàng)分布一樣看作是n個(gè)0-1分布的隨機(jī)變量Xi的和, i=1,2,.,n, Xi表示第i次抽樣抽到第一類元素的事件的次數(shù), 根據(jù)抽簽原理P(Xi=1)=N1/N, 但如果ij, Xi與Xj相互之間是不獨(dú)立的.,12,計(jì)算超幾何分布的數(shù)學(xué)期望,13,因?yàn)閄可看作n個(gè)相互并不獨(dú)立但仍然服從同樣的0-1分布的隨機(jī)變量X1,X2,.,Xn的和, X=X1+X2+.+Xn, 其中,14,因此,可以認(rèn)為超幾何分布的數(shù)學(xué)期望與二項(xiàng)分布的一樣,15,計(jì)算X的方差,16,因Xi服從0-1分布, 則Xi2也服從同樣的0-1分布, 則E(Xi2)=nN1/N, 當(dāng)ij時(shí), XiXj也服從0-1分布,17,而,18,因此,19,20,也可以直接用定義來計(jì)算E(X)和D(X),21,22,23,計(jì)算D(X)必須要先計(jì)算EX(X-1),24,25,26,因此,27,28,在實(shí)際應(yīng)用中,元素的個(gè)數(shù)N是相當(dāng)大的, 例如, 從中國人民中任抽幾千個(gè)人觀察, 從一個(gè)工廠的幾十萬件產(chǎn)品中任抽幾千件觀察, 等等. 而在N非常大的情況下, 放回抽樣和不放回抽樣的結(jié)果幾乎是相同的.,29,因此有, 當(dāng)N很大的時(shí)候, 超幾何分布可用二項(xiàng)分布來近似. 或者換句話說, 當(dāng)N趨于無窮時(shí), 超幾何分布的極限是二項(xiàng)分布.,30,為證明這一點(diǎn), 首先給出一個(gè)近似公式,31,這是因?yàn)?32,因此, 如果X服從超幾何分布, 則當(dāng)抽樣數(shù)n保持不變且遠(yuǎn)小于樣本數(shù)N即也小于N1和N2時(shí),33,這正是二項(xiàng)分布的概率函數(shù)表達(dá)式 當(dāng)N趨于無窮時(shí), 上面的約等于就成為等于,34,例 一大批種子的發(fā)芽率為90%, 今從中任取10粒, 求播種后, (1) 恰有8粒發(fā)芽的概率; (2) 不少于8粒發(fā)芽的概率.,35,解 設(shè)10粒種子中發(fā)芽的數(shù)目為X. 因10粒種子是由一大批種子中抽取的, 這是一個(gè)N很大, n相對(duì)于N很小的情況下的超幾何分布問題, 可用二項(xiàng)分布近似計(jì)算.其中n=10, p=90%, q=10%, k=8,36,n=10, p=90%, q=10%, k=8,37,泊松(Poisson)分布,在編寫電子游戲程序時(shí), 有時(shí)需要某個(gè)目標(biāo)隨機(jī)出現(xiàn), 比如說, 在駕駛游戲中希望平均十秒鐘對(duì)面出現(xiàn)一輛迎面開來的車. 因此而每秒種做一次發(fā)生概率為p=1/10的貝努利試驗(yàn)概型的試驗(yàn), 則十秒鐘就做了n=10次, 平均發(fā)生次數(shù)為np=1.,38,而更精確的做法是每十分之一秒做一次p=1/100的試驗(yàn), 則十秒鐘n=100, 平均發(fā)生次數(shù)也是np=1. 還可以將n增加p再減少來保持均值np不變.,39,圖示,時(shí)間t,1,10,1,10,時(shí)間t,每秒做一次發(fā)生概率為1/10 的試驗(yàn),每1/10秒做一次發(fā)生概率為1/100的試驗(yàn),40,因此就想到, 固定二項(xiàng)分布的均值np不變, 即令l=np的條件下, 讓n很大, p很小, 甚至讓n趨于窮大, p趨于無窮小, 會(huì)變成什么分布,41,42,定義 如果隨機(jī)變量X的概率函數(shù)是,則稱X服從參數(shù)為l的泊松分布, 記作XP(l)或Xp(l).,43,定義 如果隨機(jī)變量X的概率函數(shù)是,44,泊松分布常見于所謂稠密性的問題中, 如一段時(shí)間內(nèi), 電話用戶對(duì)電話臺(tái)的呼喚次數(shù), 候車的旅客數(shù), 原子放射粒子數(shù), 織機(jī)上斷頭的次數(shù), 以及零件鑄造表面上一定大小的面積內(nèi)砂眼的個(gè)數(shù)等等.,45,泊松分布的數(shù)學(xué)期望,46,47,泊松分布的方差,48,49,50,通常在n比較大, p很小時(shí), 用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布的公式, 其中l(wèi)=np. 泊松分布的方便之處在于有現(xiàn)成的分布表可查 (見附表2),51,例 X服從泊松分布, E(X)=5, 查表求PX=2, PX=5, PX=20,52,解 因泊松分布的參數(shù)l就是它的期望值, 故l=5, 查書后附表2, 有 P5(2)=0.084224, P5(5)=0.175467, P5(20)=0,53,例 一大批產(chǎn)品的廢品率為p=0.015, 求任取一箱(有100個(gè)產(chǎn)品), 箱中恰有一個(gè)廢品的概率.,54,解 所取一箱中的廢品個(gè)數(shù)X服從超幾何分布, 由于產(chǎn)品數(shù)量N很大, 可按二項(xiàng)分布公式計(jì)算, 其中n=100, p=0.015.,55,但由于n較大而p很小, 可用泊松分布公式近似代替二項(xiàng)分布公式計(jì)算. 其中l(wèi)=np=1.5, 查表得: P1.5(1)=0.334695 誤差不超過1%.,56,例 檢查了100個(gè)零件上的疵點(diǎn)數(shù), 結(jié)果如下表:,試用泊松分布公式計(jì)算疵點(diǎn)數(shù)的分布, 并與實(shí)際檢查結(jié)果比較.,57,解,58,計(jì)算出來的圖表如下所示:,59,60,指數(shù)分布 定義 如隨機(jī)變量X的概率密度為,簡記為Xe(l),61,62,指數(shù)分布的分布函數(shù),63,指數(shù)分布的分布函數(shù),64,對(duì)任何實(shí)數(shù)a,b(0ab), 有,指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差為,65,指數(shù)分布經(jīng)常用來作各種“壽命”分布的近似.,如隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間, 某些消耗性產(chǎn)品(電子元件等)的壽命等等, 都常被假定服從指數(shù)分布. 假若產(chǎn)品的失效率為l, 則產(chǎn)品在t(t0)時(shí)間失效的分布函數(shù)為 F(t)=1-e-lt 而產(chǎn)品的可靠度為 R(t)=1-F(t)=e-lt,66,例 某元件壽命X服從參數(shù)為l(l-1=1000小時(shí))的指數(shù)分布, 3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)后, 都沒有損壞的概率是多少?,67,解 參數(shù)為l的指數(shù)分布的分布函