高考數(shù)學(xué)第10章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第6節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布教學(xué)案.docx

第六節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布考綱傳真1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念.2.會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單實際問題.3.借助直觀直方圖認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義1離散型隨機變量的分布列、均值與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(2)方差：稱D(X) xiE(X)2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機變量X的標準差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))3兩點分布與二項分布的均值、方差均值方差變量X服從兩點分布E(X)pD(X)p(1p)XB(n，p)E(X)npD(X)np(1p)4.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的特點：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；曲線在x處達到峰值；曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移；當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_4.1均值與方差的關(guān)系：D(X)E(X2)E2(X)2超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X).基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的( )(2)若XN(，2)，則，2分別表示正態(tài)分布的均值和方差( )(3)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量( )(4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小. ( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知X的分布列為X101Pa設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為( )A. B4 C1 D1A由概率分布列的性質(zhì)可知：a1，a.E(X)(1)01.E(Y)32E(X)3.3已知隨機變量X8，若XB(10,0.6)，則隨機變量的均值E()及方差D()分別是( )A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6B設(shè)隨機變量X的均值及方差分別為E(X)，D(X)，因為XB(10,0.6)，所以E(X)100.66，D(X)100.6(10.6)2.4，故E()E(8X)8E(X)2，D()D(8X)D(X)2.4，故選B.4已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(04)_.06由P(4)0.8，得P(4)0.2.又正態(tài)曲線關(guān)于x2對稱則P(0)P(4)0.2，P(04)1P(0)P(4)0.6.5隨機變量X的分布列為P(Xk)，k1,2,3，C為常數(shù)，則P(0.5X2.5)_.由P(X1)P(X2)P(X3)1，得1，解得C.所以P(0.5X2.5)P(X1)P(X2).求離散型隨機變量的均值、方差【例1】(1)(2017全國卷改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)( )A1.96 B1.98 C2 D2.02(2)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都投球3次時投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響求甲獲勝的概率；求投籃結(jié)束時甲的投球次數(shù)的分布列與期望(1)A依題意，XB(100,0.02)，所以D(X)1000.02(10.02)1.96.(2)解設(shè)Ak，Bk分別表示“甲、乙在第k次投籃投中”，則P(Ak)，P(Bk)，其中k1,2,3.記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式知P(C)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P()P()P(A2)P()P()P()P()P(A3).的所有可能取值為1,2,3，且P(1)P(A1)P(B1)，P(2)P(A2)P(B2)，P(3)P().綜上知，的分布列為123P所以E()123.規(guī)律方法求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個值時的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X). 設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量為取出此球所得分數(shù)若E()，D()，求abc.解(1)由題意得2,3,4,5,6，故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E()，D()222，化簡得解得a3c，b2c，故abc321.均值與方差在決策中的應(yīng)用【例2】根據(jù)某水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到某河流每年最高水位X(單位：米)的頻率分布直方圖如圖：將河流最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每年河流最高水位相互獨立(1)求在未來三年里，至多有一年河流最高水位X27,31)的概率(結(jié)果用分數(shù)表示)；(2)該河流對沿河A企業(yè)影響如下：當(dāng)X23,27)時，不會造成影響；當(dāng)X27,31)時，損失10 000元；當(dāng)X31,35時，損失60 000元為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對方案：方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程費用3 800元；方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程費用2 000元；方案三：不采取措施試比較上述三種方案，哪種方案好，并請說明理由解(1)由題意得P(27X31)0.25.設(shè)在未來3年里，河流最高水位x27,31)發(fā)生的年數(shù)為Y，則YN.設(shè)事件“在未來三年里，至多有一年河流最高水位X27,31)”為事件A，則P(A)P(Y0)P(Y1)CC2.所以在未來三年里，至多有一年河流最高水位X27,31)的概率為.(2)方案二好，理由如下：由題意得P(23X27)0.74，P(31X35)0.01，用X1，X2，X3分別表示方案一、方案二、方案三的損失，由題意得X13 800，X2的分布列為X22 00062 000P0.990.01所以E(X2)62 0000.012 0000.992 600.X3的分布列為X3010 00060 000P0.740.250.01所以E(X3)00.7460 0000.0110 0000.253 100.因為三種方案中方案二的平均損失最小，所以采取方案二好規(guī)律方法利用均值、方差進行決策的兩個方略(1)當(dāng)均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷.(2)若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策. 某供貨商計劃將某種大型節(jié)日商品分別配送到甲、乙兩地銷售，據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲、乙兩地該商品需求量(單位：件)的頻率分布表如下：甲地需求量頻率分布表需求量/件456頻率0.50.30.2乙地需求量頻率分布表需求量/件345頻率0.60.30.1以兩地需求量的頻率估計需求量的概率(1)若此供貨商計劃將10件該商品全部配送至甲、乙兩地，為保證兩地不缺貨(配送量需求量)的概率均大于0.7，問該商品的配送方案有哪幾種？(2)已知甲、乙兩地該商品的銷售相互獨立，該商品售出，供貨商獲利2萬元/件；未售出的，供貨商虧損1萬元/件在(1)的前提下，若僅考慮此供貨商所獲凈利潤，試確定最佳配送方案解(1)由表格可知，甲地不缺貨的概率大于0.7時，至少需配貨5件；乙地不缺貨的概率大于0.7時，至少需配貨4件故共有兩種方案：方案一是甲地配5件，乙地配5件；方案二是甲地配6件，乙地配4件(2)方案一：甲地配5件，乙地配5件時，記甲地的利潤為X1萬元，乙地的利潤為Y1萬元，則X1，Y1的分布列分別為X1710P0.50.5Y14710P0.60.30.1所以選擇方案一時，此供貨商凈利潤的期望為E(X1)E(Y1)(70.5100.5)(40.670.3100.1)8.55.514(萬元)方案二：甲地配6件，乙地配4件時，記甲地的利潤為X2萬元，乙地的利潤為Y2萬元，則X2，Y2的分布列分別為X26912P0.50.30.2Y258P0.60.4所以選擇方案二時，此供貨商凈利潤的期望為E(X2)E(Y2)(60.590.3120.2)(50.680.4)8.16.214.3(萬元)綜上，僅考慮此供貨商所獲凈利潤，選擇方案二更佳正態(tài)分布【例3】(2017全國卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得9.97，s)0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1,2，16.用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差s作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01)附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3Z3)0.997 4,0.997 4160.959 2，0.09.解(1)抽取的一個零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的數(shù)學(xué)期望E(X)160.002 60.041 6.(2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的由9.97，s0.212，得的估計值為9.97，的估計值為0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(169.979.22)10.02.因此的估計值為10.02.160.2122169.9721 591.134，剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估計值為0.09.規(guī)律方法正態(tài)分布下的概率計算常見的兩類問題(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，及曲線與x軸之間的面積為1的性質(zhì).(2)利用3原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一個. (1)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(1,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為( )附：若XN(，2)，則P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A1 193 B1 359C2 718 D3 413(2)甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，如果零件尺寸在(3，3)以外，我們就有理由認為生產(chǎn)中可能出現(xiàn)了異常情況現(xiàn)從甲、乙兩廠各抽取10件零件檢測，尺寸如莖葉圖所示：則以下判斷正確的是( )A甲、乙兩廠生產(chǎn)都出現(xiàn)異常B甲、乙兩廠生產(chǎn)都正常C甲廠生產(chǎn)正常，乙廠出現(xiàn)異常D甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常，乙廠正常(1)B(2)D(1)對于正態(tài)分布N(1,1)，1，1，正態(tài)曲線關(guān)于x1對稱，故題圖中陰影部分的面積為P(3X1)P(2X0)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.135 9，所以點落入題圖中陰影部分的概率P0.135 9，投入10 000個點，落入陰影部分的個數(shù)約為10 0000.135 91 359.(2)由甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，得5，0.1，區(qū)間(3，3)，即區(qū)間(4.7,5.3)，根據(jù)莖葉圖可知，甲廠生產(chǎn)的零件有1件尺寸超出上述區(qū)間，乙廠生產(chǎn)的零件尺寸均在上述區(qū)間，所以甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常、乙廠生產(chǎn)正常故選D.(2018全國卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200