高考數(shù)學(xué)第4章平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例教學(xué)案（含解析）.docx

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例考綱傳真1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題1向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0，180，其中當(dāng)a與b的夾角是90時，a與b垂直，記作ab，當(dāng)a與b的夾角為0時，ab，且a與b同向，當(dāng)a與b的夾角為180時，ab，且a與b反向2平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影；|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：abba；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2夾角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2|1兩個向量a，b的夾角為銳角ab0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角ab0且a，b不共線2平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2.(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)2a22abb2.3當(dāng)a與b同向時，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab|a|b|.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在ABC中，向量與的夾角為B.( )(2)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量( )(3)若ab0，則a和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角( )(4)abac(a0)，則bc.( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)設(shè)a(5，7)，b(6，t)，若ab2，則t的值為( )A4 B4 C. DAab5(6)7t2，解得t4，故選A.3(教材改編)已知|a|2，|b|6，ab6，則a與b的夾角為( )A. B. C. D.Dcos ，又0，則，故選D.4已知向量a(2,3)，b(3，m)，且ab，則m_.2由ab得ab0，即63m0，解得m2.5(教材改編)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120，則向量b在向量a方向上的投影為_2由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos 4cos 1202.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算1(2018全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab)( )A4 B3 C2 D0B因?yàn)閨a|1，ab1，所以a(2ab)2|a|2ab212(1)3，故選B.2已知(2,1)，點(diǎn)C(1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為 ( )A B3 C. D3C因?yàn)辄c(diǎn)C(1,0)，D(4,5)，所以CD(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影為|cos，故選C.3已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE2EF，則的值為( )A B. C. D.B如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE2EF，所以，所以.又，則()2222.又|1，BAC60，故11.故選B.規(guī)律方法平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab|a|b|cos a，b.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考法1求向量的?！纠?】(1)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D為BC中點(diǎn)，則|等于( )A2 B4 C6 D8(2)(2019廣州模擬)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|a2b|2，則|b|等于( )A4 B2 C. D1(1)A(2)D(1)因?yàn)?)(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，則|2.(2)由|a2b|2，得(a2b)2|a|24ab4|b|24，即|a|24|a|b|cos 604|b|24，即|b|2|b|0，解得|b|0(舍去)或|b|1，故選D.考法2求向量的夾角【例2】(1)已知向量a，b滿足(a2b)(5a4b)0，且|a|b|1，則a與b的夾角為( )A. B. C. D.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_(1)C(2)(1)(a2b)(5a4b)0，5a26ab8b20.又|a|b|1，ab，cos .又0，故選C.(2)因?yàn)?a3b與c的夾角為鈍角，所以(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，所以4k660，所以k3.又若(2a3b)c，則2k312，即k.當(dāng)k時，2a3b(12，6)6c，即2a3b與c反向綜上，k的取值范圍為.考法3平面向量的垂直問題【例3】(1)已知向量a(1，1)，b(6，4)若a(tab)，則實(shí)數(shù)t的值為_(2)已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(1)5(2)(1)a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又a(tab)，則a(tab)0，即t6t40，解得t5.(2)由得0，即()()0，(1)220，即3(1)940.解得.規(guī)律方法平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角：，要注意0，.(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：a2aa|a|2或|a|.若a(x，y)，則|a|. (1)(2017全國卷)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|b|1，則|a2b|_.(2)(2017山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量若e1e2與e1e2的夾角為60，則實(shí)數(shù)的值是_(1)2(2) (1)法一：|a2b|2.法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.(2)由題意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos 60，解得.平面向量與三角函數(shù)的綜合【例4】(2017江蘇高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值解(1)因?yàn)閍(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，則sin x0，與sin2 xcos2 x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因?yàn)閤0，所以x，從而1cos.于是，當(dāng)x，即x0時，f(x)取到最大值3；當(dāng)x，即x時，f(x)取到最小值2.規(guī)律方法平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)的定義域內(nèi)的有界性，求得值域等. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)因?yàn)閙，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因?yàn)閨m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因?yàn)?x，所以x，所以x，即x.1(2016全國卷)已知向量，則ABC( )A30 B45 C60 D120A因?yàn)?，所?又因?yàn)閨cosABC11cosABC，所以cosABC.又0ABC180，所以ABC30.故選A.2(2015全國卷)向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)a( )A1 B0 C1 D2C法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，從而(2ab)a2a2ab431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，從而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故選C.3(2014全國卷)設(shè)向量a，b滿足|ab|，