高考數(shù)學(xué)第5章數(shù)列第4節(jié)數(shù)列求和教學(xué)案文（含解析）北師大版.docx

第四節(jié)數(shù)列求和考綱傳真1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法1公式法(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Snna1d；(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn2分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解3裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和4錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解5倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解6并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1一些常見的數(shù)列前n項和公式：(1)1234n；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n.2常用的裂項公式(1)；(2)；(3)；(4)logaloga(n1)logan.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn()(2)當(dāng)n2時，()(3)求Sna2a23a3nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得()(4)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)數(shù)列an的前n項和為Sn，若an，則S5等于()A1BCDBan，S5a1a2a51.3若Sn123456(1)n1n，則S50_.25S50(12)(34)(4950)25.4數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項和Sn的值等于_n21Sn135(2n1)n2n21.5321422523(n2)2n_.4設(shè)S345(n2)，則S345(n2).兩式相減得S3.S334.分組轉(zhuǎn)化求和【例1】(2019黃山模擬)已知數(shù)列an的前n項和Sn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項和解(1)當(dāng)n1時，a1S11；當(dāng)n2時，anSnSn1n.a1也滿足ann，故數(shù)列an的通項公式為ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前2n項和T2nAB22n1n2.拓展探究在本例(2)中，如何求數(shù)列bn的前n項和Tn.解由本例(1)知bn2n(1)nn.當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn(21222n)1234(n1)n2n12；當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.所以Tn規(guī)律方法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和；(2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和 等差數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)令cn設(shè)數(shù)列cn的前n項和為Tn，求T2n.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，由得解得an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1，得Snn(n2)，則cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)錯位相減法求和【例2】(2017天津高考)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*)解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因為q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項公式為an3n2，數(shù)列bn的通項公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18，得Tn4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項和為4n1.規(guī)律方法錯位相減法求和時的3個注意點(diǎn)(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式，同時應(yīng)注意差式中成等比數(shù)列的項數(shù)(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解 (2019阜陽模擬)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)當(dāng)d1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意得即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.裂項相消法求和考法1形如an型【例3】(2019濟(jì)南模擬)已知數(shù)列an的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足4Sna2an3對任意的正整數(shù)n都成立(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列，并求其通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)當(dāng)n1時，4S1a2a13，即a2a130，解得a13或a11(舍去)，由4Sna2an3，得當(dāng)n2時，4Sn1a2an13，兩式相減，得4anaa2an2an1，即(anan1)(anan12)0，又an0，anan120，即anan12(n2)，數(shù)列an是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，an32(n1)2n1.(2)由an2n1，得Snnn(n2)，bn，Tnb1b2b3bn1bn1.考法2形如an型【例4】已知函數(shù)f(x)x的圖像過點(diǎn)(4,2)，令an，nN*.記數(shù)列an的前n項和為Sn，則S2 019_.21由f(4)2，可得42，解得，則f(x)x.an，S2 019a1a2a3a2 019(1)()()()()121.規(guī)律方法利用裂項相消法求和的注意事項(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項；(2)將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等如：若an是公差d0的等差數(shù)列，則，. (2019山西八校聯(lián)考)在等差數(shù)列an中，a24，a1a4a730，其前n項和為Sn.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.法一：由已知可得即解得所以ana1(n1)d1(n1)33n2.法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1a4a73a430，解得a410，所以d3，所以ana2(n2)d4(n2)33n2.(2)由(1)知Sn，所以Sn2n2n，所以.所以Tn.1(2017全國卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和解(1)因為a13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時，a13a2(2n3)an12(n1)，兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，滿足上式，所以an的通項公式為an.(2)記的前n項和為Sn.由(1)知，則Sn.2(2014全國卷)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和解(1)方程x25x60的兩根為2,3，由題意得a22，a43.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a4a22d，故d，從而a1.所以an的通項公式為ann1.(2)設(shè)的前n項和為Sn.由(1)知，則Sn，Sn.兩式相減得Sn.所以Sn2.(三)數(shù)列中的高考熱點(diǎn)問題命題解讀數(shù)列在數(shù)學(xué)中既具有獨(dú)立性，又具有較強(qiáng)的綜合性，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要銜接點(diǎn)，從近五年全國卷高考試題來看，本專題的熱點(diǎn)題型有：一是等差、等比數(shù)列的綜合問題；二是數(shù)列的通項與求和；三是數(shù)列與不等式的交匯，難度中等等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算解決等差、等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩種數(shù)列的項之間的關(guān)系，并注重方程思想的應(yīng)用，等差(比)數(shù)列共涉及五個量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”【例1】(2016天津高考)已知an是等比數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通項公式；(2)若對任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中項，求數(shù)列(1)nb的前2n項和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由已知，有，解得q2或q1.又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由題意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首項為，公差為1的等差數(shù)列設(shè)數(shù)列(1)nb的前n項和為Tn，則T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.規(guī)律方法1.若an是等差數(shù)列，則ban(b0，且b1)是等比數(shù)列；若an是正項等比數(shù)列，則logban(b0，且b1)是等差數(shù)列2對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系，以便實現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化 (2019南昌模擬)已知各項均為正數(shù)且遞減的等比數(shù)列an滿足：a3，a4，2a5成等差數(shù)列，前5項和S531.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若等差數(shù)列bn滿足b1a41，b2a31，求數(shù)列abn的前n項和解(1)由a3，a4，2a5成等差數(shù)列得3a4a32a5，設(shè)an的公比為q，則2q23q10，解得q或q1(舍去)，所以S531，解得a116.所以數(shù)列an的通項公式為an16.(2)設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，由b1a41，b2a31得b11，da3a4422，所以bn2n1，abn，數(shù)列abn的前n項和Tn.數(shù)列的通項與求和數(shù)列的通項與求和是高考的必考題型，求通項屬于基本問題，常涉及等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、基本量的運(yùn)算；求和問題關(guān)鍵在于分析通項的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)那蠛头椒ǔ？嫉那蠛头椒ㄓ校汗椒?、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等【例2】(本小題滿分12分)(2019青島模擬)已知等差數(shù)列an，公差d2，S1，S2，S4成等比數(shù)列(1)求an；(2)令bn(1)n，求bn的前n項和Tn.信息提取看到條件中S1，S2，S4成等比數(shù)列，想到SS1S4；看到(2)中(1)n想到n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況規(guī)范解答(1)S1，S2，S4成等比數(shù)列SS1S4，1分(2a12)2a1，解得a11，3分an12(n1)2n1.4分(2)bn(1)n(1)n(1)n.6分當(dāng)n為偶數(shù)時，bn的前n項和Tn1，8分當(dāng)n為奇數(shù)時，bn的前n項和Tn1.11分故Tn12分易錯與防范易錯誤區(qū)：(1)在解答第(2)問時，不會處理bn的表達(dá)式；(2)求Tn時，沒有對n進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致解答錯誤防范措施：(1)對于常見式子的裂項要心中有數(shù)，要根據(jù)分子的結(jié)構(gòu)特征來確定裂成兩項之和還是兩項之差(2)出現(xiàn)(1)n求和時，一般要分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況通性通法(1)一般求數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列，此時從要證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項相消法等 已知遞增數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn1an1Sn2an(nN*且n2)，且a2a421，a1a510.(1)證明：數(shù)列an是等差數(shù)列，并求其通項公式；(2)若bn，試求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由Sn1an1Sn2an可得Sn1Sn2anan1，an1ananan1(n2)不妨令anan1d(n2)，易知d0，數(shù)列an是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列又a2a421，a1a510，解得或又d0，故ana1(n1)d2n1.(2)由(1)知，an2n1，bn，Tn1.數(shù)列與不等式的交匯問題【例3】(2019哈爾濱模擬)已知數(shù)列an滿足a13，an12ann1，數(shù)列bn滿足bnann.(1)證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列cn滿足cn，且數(shù)列cn的前n項和為Tn，求證：Tn.證明(1)an12ann1，an1(n1)2(ann)，即bn12bn.又b1a112，數(shù)列bn是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知，bn22n12n，cn.Tn.規(guī)律方法解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法等總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了 (2019貴州模擬)已知數(shù)列an滿足2an1an2an(nN*)，且a3a720，a2a514.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項和為Sn，求證：Sn.解(1)由2an1an2an得an為等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a3a720，a2a514，解得d2，a12，數(shù)列an的通項公式為an2n.(2)證明：bn ，Sn，故當(dāng)nN*，Sn.大題增分專訓(xùn)1(2017北京高考)已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求