2012屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--27數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法.ppt

第六模塊數(shù)列 第二十七講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法,回歸課本,1.數(shù)列的定義 數(shù)列是按照一定順序排列著的一列數(shù),在函數(shù)意義下,數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集N+(或它的有限子集1,2,3,n)的函數(shù),即當(dāng)自變量從小到大的順序依次取值時(shí),所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,其圖象是相應(yīng)的曲線(或直線)上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn),數(shù)列的一般形式為a1,a2,an,通常簡(jiǎn)記為an,其中an是數(shù)列an的第n項(xiàng),也叫做通項(xiàng).,2.數(shù)列的通項(xiàng)公式 一個(gè)數(shù)列an的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系,如果可以用一個(gè)式子an=f(n)來表示,我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列的最佳載體,因此確定一個(gè)數(shù)列是否有通項(xiàng)公式,以及如何求出這個(gè)通項(xiàng)公式,是解決數(shù)列問題的關(guān)鍵.求通項(xiàng)公式的常用方法有:觀察分析法累差法累商法和公式法等.,3.數(shù)列的表示方法 從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列的表示方法有:列表法圖象法解析法. 4.數(shù)列的分類 (1)按照項(xiàng)數(shù)是有限還是無限來分:有窮數(shù)列無窮數(shù)列. (2)按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系來分:遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列. (3)按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否都小于某一正數(shù)來分:有界數(shù)列無界數(shù)列.,5.數(shù)列an與Sn之間的關(guān)系 Sn=a1+a2+a3+an,an= 6.數(shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第2項(xiàng)起(或某一項(xiàng))任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.等差數(shù)列與等比數(shù)列是最基本的遞推數(shù)列,遞推數(shù)列的基本問題是由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.,考點(diǎn)陪練,1.(2010安徽)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為() A.15 B.16 C.49 D.64 解析:a8=S8-S7=82-72=15. 答案:A,2.下列說法正確的是() A.數(shù)列1,3,5,7可表示為1,3,5,7 B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列 C.數(shù)列 的第k項(xiàng)為 D.數(shù)列0,2,4,6,可記為2n,解析:根據(jù)數(shù)列的定義與集合定義的不同可知A,B不正確;D項(xiàng)2n中的nN*,故不正確;C中an= ak= 答案:C,3.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an= ,那么這個(gè)數(shù)列是( ) A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.擺動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列,解析:解法一:an+1-an= ,an+1an,數(shù)列an為遞增數(shù)列.,答案:A,4.設(shè)數(shù)列an中,a1=1,n2,都有a1a2a3an=n2,則a3+a5=( ),分析:從理論上說,如果已知數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式可以求出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng),但當(dāng)序號(hào)較大時(shí),利用遞推公式來求是很麻煩的,從這一點(diǎn)來說數(shù)列的通項(xiàng)公式要比遞推公式更為深刻,當(dāng)序號(hào)較小時(shí)可用解法二,如果由遞推公式能很快地推導(dǎo)出通項(xiàng)公式,還是用通項(xiàng)公式來求解,這樣能使得計(jì)算簡(jiǎn)捷準(zhǔn)確.,解析:解法一:由已知a1a2a3an=n2得 an= ,n2,nN*, 將a1a2an-1=(n-1)2,n3,nN*, 代入an得an= (n3). 當(dāng)n=2時(shí)適合此式,當(dāng)n=1時(shí)不適合此式. an= a3+a5= ,選A.,解法二:當(dāng)n=2時(shí),a1a2=4,a2=4. 當(dāng)n=3時(shí),a1a2a3=9,a3= 當(dāng)n=4時(shí),a1a2a3a4=16,a4= 當(dāng)n=5時(shí),a5= ,a3+a5= ,選A. 答案:A,5.數(shù)列an中,a1=1,a2=2,當(dāng)nN*時(shí),an+2等于anan+1的個(gè)位數(shù),若數(shù)列an的前k項(xiàng)和為243,則k=( ) A.61 B.62 C.63 D.64,解析:依題意,得a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,數(shù)列an除第一項(xiàng)外,其余的項(xiàng)形成以6為周期的數(shù)列,且從a2到a7這六項(xiàng)的和等于24.注意到243=1+2410+2,因此k=1+610+1=62.故選B. 答案:B,類型一 由前n項(xiàng)探索數(shù)列的通項(xiàng)公式 解題準(zhǔn)備:觀察法就是觀察數(shù)列的特征,找出各項(xiàng)共同規(guī)律,橫看“各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)”,縱看“各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系”,從而確定出數(shù)列的通項(xiàng).,利用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),要抓住以下幾個(gè)特征: (1)分式中分子分母的特征; (2)相鄰項(xiàng)的變化特征; (3)拆項(xiàng)后的特征; (4)各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行歸納聯(lián)想. 注意:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)形式不一定唯一.,【典例1】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式. (1)1,0,1,0,; (2)1,1,2,2,3,3,; (3) ,.,(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,故選用(-1)n確定符號(hào).由觀察知分子為2n,而分母為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積即(2n-1)(2n+1). an=(-1)n,反思感悟由給出的前n項(xiàng)求通項(xiàng)公式時(shí),常由數(shù)列的各項(xiàng)中的有關(guān)元素與項(xiàng)數(shù)之間相關(guān)變化歸納出規(guī)律,并對(duì)找出的規(guī)律加以驗(yàn)證.這種問題顯然較簡(jiǎn)單且單純,此類題型在高考題中也少有出現(xiàn),但它是“猜想證明”的前提,在高考中占有很重要的地位.,類型二 簡(jiǎn)單的數(shù)列遞推公式 解題準(zhǔn)備:已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng),可把每相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系列出來,抓住它們的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)處理,有時(shí)借助拆分或取倒數(shù)等方法構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)問題;,對(duì)于形如an+1=an+f(n)的遞推公式求通項(xiàng)公式,只要f(n)可求和,便可利用累加的方法;對(duì)于形如 = g(n)的遞推公式求通項(xiàng)公式,只要g(n)可求積,便可利用累積的方法或迭代的方法;對(duì)于形如an+1=Aan+B(A0且A1)型遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式時(shí),可用迭代法或構(gòu)造等比數(shù)列法.,【典例2】根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式: (1)a1=2,an+1=an+n;(2)a1=1,2n-1an=an-1. 分析(1)將遞推關(guān)系寫成n-1個(gè)等式累加. (2)將遞推關(guān)系寫成n-1個(gè)等式累乘,或逐項(xiàng)迭代也可.,解(1)當(dāng)n=1,2,3,n-1時(shí),可得n-1個(gè)等式. an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,a2-a1=1,將其相加,得an-a1=1+2+3+(n-1). an=a1+,類型三 數(shù)列的單調(diào)性 解題準(zhǔn)備:數(shù)列的單調(diào)性是高考中經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容,有關(guān)數(shù)列的最大(小)項(xiàng)、數(shù)列的有界性等問題,都可以借助于數(shù)列的單調(diào)性來研究,必須牢固掌握這類問題的解決方法.這些方法主要有 a作差法; b作商法; c利用數(shù)列或函數(shù)的單調(diào)性等方法.,【典例3】已知數(shù)列an的通項(xiàng)an=(n+1)( )n(nN+).試問該數(shù)列an有沒有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,說明理由.,分析因an是n的函數(shù),難點(diǎn)在于an是一個(gè)一次函數(shù)(n+1)與一個(gè)指數(shù)函數(shù)( )n的積.所以從一次函數(shù)或指數(shù)函數(shù)增減性看,一增一減積不確定.但nN+,不妨試從比較an與an+1的大小入手.,解an+1-an=(n+2)( )n+1-(n+1)( )n =( )n . 當(dāng)n0,即an+1an; 當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an; 當(dāng)n9時(shí),an+1-ana11a12, 數(shù)列an的最大項(xiàng)是a9或a10,其值為10( )9,其項(xiàng)數(shù)為9或10.,反思感悟由通項(xiàng)公式研究數(shù)列是常用方法,此時(shí)要注意數(shù)列是一類特殊的函數(shù),要重視函數(shù)思想方法的運(yùn)用和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.,類型四 利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式 解題準(zhǔn)備:an與Sn的關(guān)系式an=Sn-Sn-1的使用條件是n2,求an時(shí)切勿漏掉n=1的情況;利用an與Sn的關(guān)系可以消去Sn得到關(guān)于an與an-1的關(guān)系,也可以消去an得到Sn與Sn-1之間的關(guān)系,借助遞推關(guān)系的特點(diǎn)構(gòu)造等差或等比數(shù)列,前者可直接求出通項(xiàng)an,后者求出Sn后再利用an與Sn的關(guān)系求an即可.,8an=(an+an-1+4)(an-an-1), (an+an-1)(an-an-1-4)=0, an0,an+an-10,an-an-1-4=0, 即an-an-1=4,數(shù)列an為等差數(shù)列,且公差d=4,又a1=S1= ,a1=2, an=2+4(n-1)=4n-2.,【典例1】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1,則|an|=_. 錯(cuò)解由題意得:an=Sn-Sn-1 =n2-4n+1-(n-1)2-4(n-1)+1=2n-5. 則|an|=|2n-5|. 剖析未驗(yàn)證n=1時(shí),a1=S1是否適合當(dāng)n2時(shí)的解析式,適合合并,否則,分段來寫.,錯(cuò)源二 方法理解不到位,剖析本題的錯(cuò)誤原因是忽視了a1+3a2+3n-2an-1= 中n2,使得計(jì)算過程中出現(xiàn)了考慮不全面的錯(cuò)誤.,名師技法練智力 求解數(shù)列遞推式通項(xiàng)的6種類型與方法 求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一類基本題型,是進(jìn)一步研究數(shù)列性質(zhì)的前提,因此是高考數(shù)列知識(shí)考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.研究近幾年的高考命題,我們可以歸納出求解這類問題的基本思想主要是把問題轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,而轉(zhuǎn)化的常見方法有兩種:一種是通過變形把問題轉(zhuǎn)化,另一種是通過構(gòu)造把問題轉(zhuǎn)化.下面我們列舉幾種常見數(shù)列遞推式的類型,希望能給同學(xué)們提供解答這類問題的基本方法.,技法一an+1=pan+qn(其中p,q均為常數(shù),(pq(p-1)0)或an+1=pan+rqn(其中p,q,r均為常數(shù)),技法二 an+1=an+f(n) 把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n),再利用疊加法(逐差相加法)求解.,技法三 an+1=f(n)an 把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 再利用疊乘法(逐商相乘法)求解.,技法四an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù), pq(p-1)0) 先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an+1-t=p(an-t),其中t= ,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.,【典例4】已知數(shù)列an中,a1=1,an+1=2an+3,求an. 解設(shè)遞推公式an+1=2an+3可以轉(zhuǎn)化為an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-tt=-3. 故遞推公式為an+1+3=2(an+3). 令bn=an+3,則b1=a1+3=4,且 bn是以b1=4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列, bn=42n-1=2n+1,即an=2n+1-3.,技法五 an+1=pan+an+b(p1,0,a0) 這種類型一般利用待定系數(shù)