2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教案理（含解析）新人教A版.docx

第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用基礎(chǔ)知識整合1數(shù)量積的有關(guān)概念(1)兩個非零向量a與b，過O點(diǎn)作a，b，則AOB，叫做向量a與b的夾角；范圍是0180.(2)a與b的夾角為90度時，叫ab.(3)若a與b的夾角為，則ab|a|b|cos.(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.(5)a在b的方向上的投影為|a|cos.(6)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，夾角為，則|a|，cos .abx1x2y1y20.abx1y2x2y10.2數(shù)量積滿足的運(yùn)算律已知向量a，b，c和實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.1數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，abac(a0)不能得出bc，兩邊不能約去一個向量2數(shù)量積不滿足結(jié)合律(a b)ca(bc)3當(dāng)a與b同向時，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab|a|b|，特別地，aaa2或|a|.1(2019重慶模擬)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()A B0 C3 D答案C解析因?yàn)?a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3.選C.2(2019泉州質(zhì)檢)已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，則()的值為()A BC D答案D解析由圖知，與的夾角為120.()cos12012.3(2018全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab)()A4 B3 C2 D0答案B解析因?yàn)閍(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.故選B.4(2016全國卷)已知向量，則ABC()A30 B45 C60 D120答案A解析cosABC，所以ABC30.故選A.5(2019三門峽質(zhì)檢)已知向量a，b滿足|2ab|，且ab，則|2ab|_.答案解析|2ab|，(2ab)27，即4a2b24ab7，ab，ab0，4a2b27，|2ab|.6已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則的值為_，的最大值為_答案11解析()()|2.因?yàn)?，所?.所以1201.設(shè)AEAB(01)，則()|2(01)，的最大值為1.核心考向突破考向一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)(2019紹興模擬)已知向量a，b滿足|a|，(a2b)a，則向量b在向量a方向上的投影為()A B C D答案A解析(a2b)a，(a2b)a22|a|b|cosa，b0，|a|b|cosa，b1，即|b|cosa，b1，向量b在向量a方向上的投影為|b|cosa，b，故選A.(2)(2018上海高考)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，0)，B(2,0)，E，F(xiàn)是y軸上的兩個動點(diǎn)，且|2，則的最小值為_答案3解析設(shè)E(0，m)，F(xiàn)(0，n)，又A(1,0)，B(2,0)，(1，m)，(2，n)2mn，又知|2，|mn|2.當(dāng)mn2時，mn2(n2)n2n22n2(n1)23.當(dāng)n1，即E(0,1)，F(xiàn)(0，1)時，取得最小值3.當(dāng)mn2時，mn2(n2)n2n22n2(n1)23.當(dāng)n1，即E(0，1)，F(xiàn)(0,1)時，取得最小值3.綜上可知，的最小值為3.觸類旁通 向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)向量的模和夾角已知時，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)當(dāng)向量的坐標(biāo)已知時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.即時訓(xùn)練1.(2019湖北模擬)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A BC D答案A解析(2,1)，(5,5)，由定義知在方向上的投影為.2已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，則實(shí)數(shù)k的值為_答案解析因?yàn)閍b(e12e2)(ke1e2)ke(12k)(e1e2)2e，且|e1|e2|1，e1e2，所以k(12k)20，解得k.考向二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)角度平面向量的垂直例2(1)已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c()A. B.C. D.答案D解析不妨設(shè)c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)，由(ca)b得3(1m)2(2n)，由c(ab)得3mn0，聯(lián)立，解得故選D. (2)如圖所示，在ABC中，ADAB，|1，則()A.2 B. C. D.答案D解析()|cosBDA|2.故選D.角度平面向量的模例3(1)(2019濟(jì)南模擬)設(shè)向量a，b滿足|a|1，|ab|，a(ab)0，則|2ab|()A2 B2 C4 D4答案B解析a(ab)0，a2ab1，|ab|2a22abb23，b24，|2ab|2.故選B.(2)已知向量a與b的夾角為120，|a|3，|ab|，則|b|等于()A5 B4 C3 D1答案B解析|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos120|b|23223|b|b|293|b|b|213，即|b|23|b|40，解得|b|4或|b|1(舍去)故選B.角度平面向量的夾角例4(1)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.答案A解析由條件，得(ab)(3a2b)3a22b2ab0，即ab3a22b2.又|a|b|，所以ab322b2b2，所以cosa，b，所以a，b.故選A.(2)(2017山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量若e1e2與e1e2的夾角為60，則實(shí)數(shù)的值是_答案解析由題意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2| 2.同理|e1e2|.所以cos60，解得.觸類旁通 平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角：cos，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：abab0|ab|ab|.即時訓(xùn)練3.(2019濟(jì)寧模擬)平面四邊形ABCD中，0，()0，則四邊形ABCD是()A矩形 B正方形C菱形 D梯形答案C解析因?yàn)?，所以，所以四邊形ABCD是平行四邊形又()0，所以四邊形對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形故選C.4(2019江西六校聯(lián)考)設(shè)向量a，b滿足|a|2，|b|ab|3，則|a2b|_.答案4解析由|ab|3知|a|2|b|22ab9，又|a|2，|b|3，2ab4，|a2b|4.5(2019安徽“江淮十校”聯(lián)考)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b的夾角余弦值為_答案解析|a|a2b|，|a|2|a|24ab4|b|2，ab|b|2，cos.考向三向量運(yùn)算的最值或范圍問題例5(1)(2017全國卷)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則()的最小值是()A2 BC D1答案B解析(解析法)建立坐標(biāo)系如圖1所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，)，B(1,0)，C(1,0)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.當(dāng)且僅當(dāng)x0，y時，()取得最小值，最小值為.故選B.(幾何法)如圖2所示，2(D為BC的中點(diǎn))，則()2.要使最小，則與方向相反，即點(diǎn)P在線段AD上，則(2)min2|，問題轉(zhuǎn)化為求|的最大值又|2，|22，()min(2)min2.故選B.(2)在矩形ABCD中，AB2，AD1，E為線段BC上的點(diǎn)，則的最小值為()A2 B C D4答案B解析解法一：設(shè)(01)，則，(1)，()(1)又|2，|1，且ABBC即0，4(1)242.當(dāng)時，最小為，故選B.解法二：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，設(shè)E(2，y)(0y1)，則(2，y)，(2，y1)，y2y42.當(dāng)y時，最小為，故選B.觸類旁通 求向量的最值或范圍問題求最值或取值范圍必須有函數(shù)或不等式，因此，對于題目中給出的條件，要結(jié)合要求的夾角或長度或其他量，得出相應(yīng)的不等式或函數(shù)(包括自變量的范圍)，然后利用相關(guān)知識求出最值或取值范圍即時訓(xùn)練6(2019溫州模擬)如圖，AOB為等腰直角三角形，OA1，OC為斜邊AB的高，點(diǎn)P在射線OC上，則的最小值為()A1 BC D答案B解析設(shè)|t0，因?yàn)椋瑒t()2t2t2，當(dāng)t時取等號，所以的最小值為.故選B.7在平行四邊形ABCD中，A，邊AB，AD的長分別為2,1，若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是_答案2,5解析設(shè)(01)，則，(1)(1)，則()()()(1)(1)22(1).又21cos1，24，21，225(1)26.01，25，即的取值范圍是2,5(2018天津高考)在如圖的平面圖形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，則的值為()A15 B9 C6 D0答案C解析解法一：(基向量法)如圖所示，連接MN，由2，2可知點(diǎn)M，N分別為線段AB，AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則33()，由題意可知，2121，12cos1201，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，3()332336.故選C.解法二：(坐標(biāo)法)在ABC中，不妨設(shè)A90，取特殊情況ONAC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)镸ON120，ON2，OM1，所以O(shè)，C，M，B.故6.故選C.答題啟示向量與平面幾何綜合問題的解法(1)基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解(2)坐標(biāo)法若把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決 對點(diǎn)訓(xùn)練(2019石家莊模擬