2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第7講立體幾何中的向量方法教案理（含解析）新人教A版.docx

第7講立體幾何中的向量方法基礎(chǔ)知識(shí)整合1直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量直線l上的向量e或與e共線的向量叫做直線l的方向向量，顯然一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè)(2)平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n，此時(shí)向量n叫做平面的法向量顯然一個(gè)平面的法向量也有無數(shù)個(gè)，且它們是共線向量(3)設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為u，v，則lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.2空間向量與空間角的關(guān)系(1)兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為，則cos|cos|其中為異面直線a，b所成的角，范圍是.(2)直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin|cos|，的取值范圍是.(3)求二面角的大小如圖，AB，CD是二面角l的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿足coscosn1，n2或cosn1，n2取值范圍是0，3求空間的距離(1)點(diǎn)到平面的距離如圖，設(shè)AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則點(diǎn)B到平面的距離d.(2)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距進(jìn)行求解1直線的方向向量的確定：l是空間一直線，A，B是l上任意兩點(diǎn)，則及與平行的非零向量均為直線l的方向向量2平面的法向量的確定：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為1平面的一個(gè)法向量為(1,2,0)，平面的一個(gè)法向量為(2，1,0)，則平面和平面的位置關(guān)系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案C解析由(1,2,0)(2，1,0)122(1)000，知兩平面的法向量互相垂直，所以兩平面互相垂直2(2019黑龍江模擬)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于()A. B. C. D.答案B解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的坐標(biāo)系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,0)，D1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)cos，.3如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點(diǎn)若PDA45，則EF與平面ABCD所成的角的大小是()A90 B60 C45 D30答案C解析設(shè)ADa，ABb，因?yàn)镻DA45，PA平面ABCD，所以PAAD，PAADa.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在射線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，P(0,0，a)，E，F(xiàn)，所以.易知(0,0，a)是平面ABCD的一個(gè)法向量設(shè)EF與平面ABCD所成角為，則sin|cos，|.所以45.4(2019金華模擬)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為n(2，2,1)，已知點(diǎn)P(1,3,2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于()A4 B2 C3 D1答案B解析由已知平面OAB的一條斜線的方向向量(1，3,2)，所以點(diǎn)P到平面OAB的距離d|cos，n|2.故選B.5在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_答案解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，(0,2,0)，設(shè)平面A1BC1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1,2)，設(shè)D1C1與平面A1BC1所成角為，則sin|cos，n|.即直線D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為.核心考向突破考向一利用空間向量證明平行、垂直例1(2019南京模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，ABCBCD90，AB4，CD1，點(diǎn)M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD所成的角為30.求證：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.證明以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB，CD，CP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABCD所成的角PBC30.PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)設(shè)n(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量，由即令y2，得n(，2,1)n2010，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)如圖，取AP的中點(diǎn)E，連接BE，則E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.觸類旁通證明平行、垂直問題的思路(1)恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算(3)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可，當(dāng)然，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可.即時(shí)訓(xùn)練1.(2019廣東深圳模擬)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M為AA1的中點(diǎn)，N為BC1的中點(diǎn)求證：(1)MN平面A1B1C1；(2)平面MBC1平面BB1C1C.證明由題意知AA1，AB，AC兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)正方形AA1C1C的邊長(zhǎng)為2，則A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)(1)因?yàn)閹缀误w是直三棱柱，所以側(cè)棱AA1底面A1B1C1.因?yàn)?2,0,0)，(0,1,1)，所以0，即.MN平面A1B1C1，故MN平面A1B1C1.(2)設(shè)平面MBC1與平面BB1C1C的法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)因?yàn)?1,2,0)，(1,0,2)，所以即，令x12，則平面MBC1的一個(gè)法向量為n1(2,1，1)同理可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n2(0,1,1)因?yàn)閚1n22011(1)10，所以n1n2，所以平面MBC1平面BB1C1C.考向二利用空間向量求空間角角度求異面直線所成的角例2如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)證明：平面AEC平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值解(1)證明：連接BD.設(shè)BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB1.由ABC120.可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.從而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因?yàn)镋G平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸正方向，|為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F(xiàn)，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.觸類旁通由于異面直線所成的角的范圍是，利用向量的數(shù)量積所求的兩個(gè)向量的夾角有可能是鈍角，為此取向量夾角余弦值的絕對(duì)值作為異面直線的夾角的余弦值，即若AB，CD為異面直線，所成角為，則cos.即時(shí)訓(xùn)練2.(2017江蘇高考)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解在平面ABCD內(nèi)，過點(diǎn)A作AEAD，交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如圖，以，1為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因?yàn)锳BAD2，AA1，BAD120，則A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)，則cos，因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.(2)平面A1DA的一個(gè)法向量為(，0,0)設(shè)平面BA1D的法向量為n(x，y，z)由得取x，得n.cosA，n.所以二面角BA1DA的正弦值為 .角度求直線與平面所成的角例3(2018浙江高考)如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)證明：AB1平面A1B1C1；(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值解(1)證法一：由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，得AB1A1B12，所以A1BABAA.故AB1A1B1.由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，得B1C1，由ABBC2，ABC120，得AC2，由CC1AC，得AC1，所以ABB1CAC，故AB1B1C1.又A1B1B1C1B1，因此AB1平面A1B1C1.證法二：如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(0，0)，B(1,0,0)，A1(0，4)，B1(1,0,2)，C1(0，1)因此(1，2)，(1，2)，(0,2，3)，由0得AB1A1B1.由0得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為.由(1)可知(0,2，1)，(1，0)，(0,0,2)設(shè)平面ABB1的法向量n(x，y，z)由即可取n(，1,0)所以sin|cos，n|.因此，直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是.觸類旁通利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.即時(shí)訓(xùn)練3.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M是AB的中點(diǎn)(1)證明：BC1平面MCA1；(2)若BMC是正三角形，且ABBC1，求直線AB與平面MCA1所成角的正弦值解(1)證明：連接AC1，設(shè)AC1與A1C的交點(diǎn)為N，則N為AC1的中點(diǎn)，連接MN，又M是AB的中點(diǎn)，所以MNBC1.又MN平面MCA1，BC1平面MCA1，所以BC1平面MCA1.(2) 因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，BMC是正三角形，所以ABC60，BAC30，ACB90，設(shè)BC1，則ACCC1，易知CC1，CB，CA兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CC1，CB，CA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，B(0,1,0)，A(0,0，)，A1(，0，)，M，(0,1，)，(，0，)設(shè)n(x，y，z)是平面MCA1的法向量，則則令z1，則n(1，1)為平面MCA1的一個(gè)法向量，則|cos，n|，所以直線AB與平面MCA1所成角的正弦值為.角度求二面角例4(2018全國(guó)卷)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值解(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn)由題設(shè)得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，(2,1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)設(shè)n(x，y，z)是平面MAB的法向量，則即可取n(1,0,2)是平面MCD的法向量，因此，cosn，sinn，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.觸類旁通求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.即時(shí)訓(xùn)練4.(2019廣西桂林模擬)如圖，四棱錐FABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，G分別是CD，AF的中點(diǎn)，AF4, FAEBAE，且二面角FAEB的大小為90.(1)求證：AEBG；(2)求二面角BAFE的余弦值解(1)證明：如圖，作GOAE于點(diǎn)O，連接BO.AGAB2，GAOBAO，AOAO，AOGAOB，AOGAOB90，即GOAE，BOAE.又GOBOO，AE平面OGB.又GB平面OGB，AEBG.(2) 平面AEF平面AEB，平面AEF平面AEBAE，GOAE，GO平面AEB.以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA，OB，OG所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，連接BE.SABEABBCAEBO，22BO，BO.AOGAOB，GOBO，AO.又在RtAEF中，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，且GOAE，點(diǎn)O為AE的中點(diǎn)，AOEO.F，A，B，G.，.設(shè)平面ABF的法向量m(x，y，z)，由得令y1，得m(2,1,1)易知n(0,1,0)為平面AEF的一個(gè)法向量設(shè)二面角BAFE為，為銳角，則cos，即二面角BAFE的余弦值為.考向三利用空間向量求空間距離(視情況選學(xué))例5如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1BD.(1)證明：DC1BC；(2)設(shè)AA12，A1B1的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P到平面BDC1的距離解(1)證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于D為AA1的中點(diǎn)，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.又因?yàn)锽C平面BCD，所以DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，則BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1兩兩垂直以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.由題意知B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)，B1(0，1,2)，P，則(1，1，1)，(1，0,1)，.設(shè)m(x，y，z)是平面BDC1的法向量，則即可取m(1,2,1)設(shè)點(diǎn)P到平面BDC1的距離為d，則d.觸類旁通求平面外一點(diǎn)P到平面的距離的步驟(1)求平面的法向量n.即時(shí)訓(xùn)練5.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD60，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，DE2，M為線段BF的中點(diǎn)(1)求M到平面DEC的距離及三棱錐MCDE的體積；(2)求證：DM平面ACE.解(1)設(shè)ACBDO，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，過O作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0)，D(1,0,0)，E(1,0,2)，M(1,0,1)，(0,0,2)，(1，0)，(2,0,1)，0，DEDC，SDECDEDC222，設(shè)平面DEC的法向量n(x，y，z)，則取x，得n(，1,0)，M到平面DEC的距離h，三棱錐MCDE的體積VSCDEh2.(2)證明：A(0，0)，(0,2，0)，(1，2)，0，220，ACDM，AEDM，ACAEA，DM平面ACE.(2018天津高考)如圖，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.(1)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN平面CDE；(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60，求線段DP的長(zhǎng)易錯(cuò)分析(1)不能靈活運(yùn)用共線向量定理設(shè)出與動(dòng)點(diǎn)M相關(guān)的向量的坐標(biāo)，導(dǎo)致變量較多，運(yùn)算量過大而致誤(2)弄不清線面角與直線方向向量與平面的法向量夾角的關(guān)系致誤解(1)證明：以D為原點(diǎn)，以D，D，D的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(xiàn)(0,1,2)，G(0,0,2)，M，N(1,0,2)則D(0,2,0)，D(2,0,2)設(shè)n0(x，y，z)為平面CDE的法向量，則即不妨令z1，可得n0(1,0，1)因?yàn)镸，所以Mn00.因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN平面CDE.(2)由題意可得B(1,0,0)，B(1，2,2)，C(0，1,2)，設(shè)n(x，y，z)為平面BCE的法向量，則即不妨令z1，可得n(0,1,1)設(shè)m(x，y，z)為平面BCF的法向量，則即不妨令z1，可得m(0,2,1)