數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想.ppt

第十二章 數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想,第一節(jié) 數(shù)學(xué)美的涵義,第二節(jié) 數(shù)學(xué)美的特征,退出,一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美,二、數(shù)學(xué)美的涵義,一、簡單美,二、 對(duì)稱美,三、和諧美,四、奇異美,第三節(jié) 感受數(shù)學(xué)美,第四節(jié) 數(shù)學(xué)美在中國的源頭,一、美觀-外在的美,二、美好-內(nèi)在的美,三、美妙-快樂的美,四、完美- 至善至美,一、太極八卦-中國象數(shù)學(xué)的美,二、河圖洛書數(shù)學(xué)形式美的雛形,一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美,古希臘的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯(Proelus)斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”,古希臘著名學(xué)者畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)對(duì)數(shù)學(xué)有很深的造詣，其中畢氏定理(勾股定理)就是他的杰作, 他認(rèn)為“萬物最基本的元素是數(shù)，數(shù)的和諧-這就是美?！?返回,龐加萊：“數(shù)學(xué)家們十分重視他們的方法和理論是否十分優(yōu)美，這并非華而不實(shí)的作風(fēng)，那么到底是什么使我們感到一個(gè)解答、一個(gè)證明優(yōu)美呢？那就是各個(gè)部分之間的和諧、對(duì)稱、恰到好處的平穩(wěn)?！?克萊因：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類靈魂最獨(dú)特的創(chuàng)造。音樂能激發(fā)或撓慰情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！?高斯：“去尋求一種最美和最簡潔的證明，乃是吸引我研究的主要?jiǎng)恿??！?返回,二、數(shù)學(xué)美的涵義,返回,返回,返回,第二節(jié) 數(shù)學(xué)美的特征,返回,一、 簡單美,簡單性，在數(shù)學(xué)中普遍存在。數(shù)學(xué)中的每個(gè)概念，都是經(jīng)過人們精心“雕琢”得到的，是人類智慧的結(jié)晶，數(shù)學(xué)就是以它的這種獨(dú)特的“簡”來展示它的美的。 簡單性是數(shù)學(xué)美的本質(zhì)之一 。數(shù)學(xué)是客觀的數(shù)量關(guān)系和空間形式的高度抽象和概括，而經(jīng)過不同程度的抽象后，所得出的數(shù)學(xué)形式和結(jié)構(gòu)總是在不同的范圍內(nèi)呈現(xiàn)出簡單的形態(tài)，簡單性可用圖表示。,返回,簡約是一種美。數(shù)學(xué)便是用最簡潔的語言概括了數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu),也正因?yàn)楹啙?數(shù)學(xué)才得以最廣泛地運(yùn)用,才有極強(qiáng)的生命力。 簡潔的阿拉伯?dāng)?shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0這一組數(shù)字是人們對(duì)物質(zhì)世界存在性最直接最原始的表達(dá)。歷史上,各國各民族都有自己的數(shù)字,但只有阿拉伯?dāng)?shù)字保留并廣為流傳,究其原因,簡潔流暢的書寫,干脆上口的發(fā)音,運(yùn)算中進(jìn)位快捷方便,是其勝出的法寶。,符號(hào)簡單 符號(hào)是書寫數(shù)學(xué)語言的文字，大數(shù)學(xué)家克萊因說：“符號(hào)常常比發(fā)明它們的數(shù)學(xué)家更能推理”, 人們總是探索用簡單的符號(hào)去表現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)內(nèi)容。,返回,在埃及出土的三千六百年前的萊因特紙草上有下面一串符號(hào),用今天的符號(hào)表示即：,宋、元時(shí)期我國也開始了相當(dāng)于現(xiàn)在“方程論” 的研究，當(dāng)時(shí)記數(shù)使用的是“算籌”，的記號(hào)來表示二次三項(xiàng)式 412x2x +136 其中x系數(shù)旁邊注以“元”字，常數(shù)項(xiàng)注以“太”字，籌上畫斜線表示“負(fù)數(shù)”。,返回,16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家卡當(dāng)、韋達(dá)等人對(duì)方程符號(hào)有了改進(jìn)，直到笛卡爾才第一個(gè)倡用x, y, z表示未知數(shù)。 他曾用 xxx9xx +26240 表示方程 x39x2 +2624 = 0 這個(gè)演變過程就是對(duì)簡單美的追求過程。,返回,如果要具體寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能，然而用數(shù)學(xué)符號(hào)卻能精確地表示它們。,有些數(shù)及其運(yùn)算只有用符號(hào)表示，才能更精確、更完美。 例如，圓周率是一個(gè)常數(shù)，1737年歐拉首先倡導(dǎo)用希臘字母來表示它，且通用全世界； 也是歐拉用e表示特殊的無理常數(shù)歐拉常數(shù),返回,2. 形式簡單,藝術(shù)家們追求的美中，形式美是其中特別重要的內(nèi)容，他們?cè)阡秩久罆r(shí)，常常運(yùn)用不同形式，如泰山的雄偉，華山的險(xiǎn)峻，黃山的奇特，峨眉的秀麗，青海的幽深，滇池的開闊等。,返回,數(shù)學(xué)家們也十分注重?cái)?shù)學(xué)的形式美，美國數(shù)學(xué)家柏克提出了一個(gè)公式 審美度= 即人們對(duì)數(shù)學(xué)的審美感受程度，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的秩序成正比，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的復(fù)雜性成反比。 因此，按審美度要求，數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式越簡單就越美。,格林公式,斯托克斯公式,返回,空間解析幾何中,橢球,橢圓拋物面,它們不僅便于記憶，而且具有形式美。,返回,球,3. 語言簡單,數(shù)學(xué)的簡單美表現(xiàn)在語言上使人回味無窮。,如 “負(fù)負(fù)得正”；“對(duì)頂角相等”；“實(shí)數(shù)集不可數(shù)”； “角、邊、角”；“邊、角、邊” 等 。,數(shù)列極限,函數(shù)極限,導(dǎo)數(shù)概念,返回,4. 方法簡單,數(shù)學(xué)中的許多簡單有效的判定定理，形式優(yōu)美的表達(dá)方式，并不是原本固有的，而是經(jīng)過人們長期比較、篩選的結(jié)果。,例如，對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別，達(dá)朗貝爾判別法(比值法)與柯西判別法(根式法)都是十分簡單有效的判別法, 然而它們都有一個(gè)共同的不足，就是不能判別當(dāng)極限值 時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性，于是人們不斷地給出了許多其他形式的判別法。,比達(dá)朗貝爾判別法更精細(xì)的是拉貝(Laber)判別法,設(shè),則 當(dāng) r1時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂； 當(dāng) r1時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散。,返回,然而，人們?cè)趹?yīng)用泰勒公式時(shí)，最習(xí)慣使用的還是拉格朗日型余項(xiàng),其中 在x與x0 之間。,返回,又如，泰勒公式的余項(xiàng)，局部性的有皮亞諾(Peano)余項(xiàng)，整體性的有施諾米爾奇(Schlomilch)羅赫(Roche)余項(xiàng)，柯西余項(xiàng)和拉格朗日余項(xiàng)等。 在整體性余項(xiàng)中，后兩種余項(xiàng)僅是前一種余項(xiàng)的特例。因而，從整體性考慮，前一種余項(xiàng)更完美。,拉格朗日型余項(xiàng)簡單整齊，易于記憶，使用方便。從審美度而言拉格朗日型余項(xiàng)是最美的，因此受到人們的青睞。,對(duì)稱是指一個(gè)整體的幾個(gè)部分或幾個(gè)整體在構(gòu)成上的比為1時(shí)，作為協(xié)調(diào)的特例，給人以平衡感，從而作為審美對(duì)象使人產(chǎn)生對(duì)稱美的感覺。在數(shù)學(xué)上一般指圖形或數(shù)式的對(duì)稱，概念、命題、法則或結(jié)構(gòu)的對(duì)偶、對(duì)應(yīng)、對(duì)逆等。 幾何圖形中的對(duì)稱圖形是典型的視覺對(duì)稱美，平面或空間圖形的中心對(duì)稱、平面圖形的軸對(duì)稱、平面空間圖形的面對(duì)稱等都是這種典型。而既是中心對(duì)稱而且所有過對(duì)稱中心的直線都是對(duì)稱軸的平面圖形是圓，既是中心對(duì)稱而且所有過對(duì)稱中心的平面都是對(duì)稱平面的立體圖形是球。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。”就是它們達(dá)到了“全”對(duì)稱的原因。,返回,二、 對(duì)稱美,1. 形式對(duì)稱,解析幾何中的標(biāo)準(zhǔn)圖形,返回,代數(shù)中二項(xiàng)式的展開，呈現(xiàn)出的也是一種對(duì)稱：,返回,返回,返回,對(duì)稱多項(xiàng)式,對(duì)稱行列式:,對(duì)稱矩陣 ：,返回,微積分中空間曲線L：x = x(t), y = y(t), z = z(t) 的切線方程,空間曲面S ：F(x, y, z) = 0的法線方程,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,返回,2. 關(guān)系對(duì)稱,運(yùn)算的對(duì)稱：加與減、乘與除、乘方與開方、指數(shù)與對(duì)數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等；,概念的對(duì)稱：函數(shù)與反函數(shù)、奇與偶、單增與單減、連續(xù)與間斷、收級(jí)與發(fā)散等；,命題的對(duì)稱：,返回,“共軛”關(guān)系對(duì)稱性：,共軛無理數(shù),共軛矩陣,共軛積分,返回,返回,“對(duì)偶”關(guān)系對(duì)稱性：,集合中的對(duì)偶關(guān)系,線性規(guī)劃中的對(duì)偶關(guān)系,返回,由對(duì)偶定理知，若線性規(guī)劃問題(*)有最優(yōu)解，則其對(duì)偶規(guī)劃問題(*)也有最優(yōu)解, 且兩問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等。反之也成立。,返回,返回,例 有A、B、C、D、E五個(gè)人站成一橫排，如果B必須站在A右邊(A、B可不相鄰)，有多少種不同站法?,例 求 展開式中的整數(shù)次幕各系數(shù)的和。,三、和諧美,數(shù)學(xué)中的和諧美是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、部分與整體之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系或共同規(guī)律，從而形成本質(zhì)上的嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一。,和諧指事物之間具有勻稱、有序、明確的變化規(guī)律。,1. 嚴(yán)謹(jǐn)是和諧的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)自然顯現(xiàn)出它的和諧。為了追求嚴(yán)謹(jǐn)，消除數(shù)學(xué)中的不和諧因素，數(shù)學(xué)家們一直在努力。,數(shù)學(xué)史上所謂的“數(shù)學(xué)危機(jī)”正是某些數(shù)學(xué)理論不和諧所致。,返回,第一次危機(jī)-無理數(shù)的誕生。,第二次危機(jī)-實(shí)數(shù)理論得以建立, 導(dǎo)致集合論的誕生。,第三次數(shù)學(xué)危機(jī)-“羅素悖論”和其它悖論的產(chǎn)生，為了避免悖論，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一種公理系統(tǒng)，后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel)在1921年加以改進(jìn)，形成了目前公認(rèn)的彼此無矛盾的公理系統(tǒng)，簡稱ZF公理系統(tǒng)。,函數(shù)的連續(xù)性，是當(dāng)今數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要基本概念，然而它的現(xiàn)代定義的形成，也經(jīng)歷了一個(gè)從不和諧到和諧的漫長過程。,18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為，由一個(gè)單獨(dú)表達(dá)式給出的函數(shù)是連續(xù)的，而由幾個(gè)表達(dá)式給出的函數(shù)是不連續(xù)的。例如, 歐拉函數(shù),返回,是不連續(xù)的，而由兩個(gè)分支組成的雙曲線(反比例函數(shù))， 因?yàn)樗怯梢粋€(gè)表達(dá)式 給出的，就認(rèn)為它是連續(xù)的。,19世紀(jì)，傅立葉證明：定義在某個(gè)區(qū)間上的任意函數(shù)可表示成該區(qū)間上的正弦與余弦的無窮級(jí)數(shù)。 比如，,返回,可表示為,這樣一來，上述函數(shù)依照歐拉的見解既不是連續(xù)的，同時(shí)又是連續(xù)的。,1821年，柯西對(duì)“連續(xù)”概念重新敘述，直至1850年魏爾斯特拉斯給出“形式” 的定義，才使得“連續(xù)”這一概念有了新的解釋。,2. 統(tǒng)一是和諧的標(biāo)志,統(tǒng)一是指數(shù)學(xué)中內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、章節(jié)與章節(jié)之間客觀存在的相互聯(lián)系。,返回,解析幾何中, 引入極坐標(biāo)之后，橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式,平面上的二次曲線方程,由于系數(shù)A, B, C, , F不同，其形態(tài)萬千，但是歐拉通過坐標(biāo)變換，將它們化為下面九種標(biāo)準(zhǔn)形狀:,返回,可描繪橢圓、拋物線和雙曲線，描繪天體運(yùn)動(dòng)和萬有引力場中運(yùn)動(dòng)物體的軌跡,(雙曲線),(兩虛直線相交),(虛橢圓),(橢圓),返回,(兩重合直線),(兩平行虛直線),(兩平行直線),(拋物線),(兩相交直線),返回,在積分學(xué)中，不定積分與定積分是兩個(gè)截然不同的概念，但在微積分基本公式,之中得到和諧統(tǒng)一, 從而極大地推動(dòng)了微積分的應(yīng)用與發(fā)展。,定積分、重積分、曲線積分和曲面積分，它們表述的實(shí)際意義各不相同，但卻都統(tǒng)一于黎曼積分之中。,各類積分之間都有著內(nèi)在聯(lián)系 ：,返回,返回,四、奇異美,奇異指數(shù)學(xué)中的方法、結(jié)論或有關(guān)發(fā)展出乎意料，使人既驚奇又贊賞與折服。,徐利治先生說：“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美?！?返回,一性的升華，而新的和諧統(tǒng)一性又是奇異性的進(jìn)一步發(fā)展。,返回,在數(shù)學(xué)史上曾吸引人們廣泛關(guān)注的有“蝴蝶定理”。,1815年，數(shù)學(xué)家奧納首先解決了這個(gè)問題的證明。但由于它優(yōu)美的外形及包含的深刻內(nèi)涵，引起了人們廣泛的興趣，100多年來研究者眾多，給出了不少初等與高等的證明，其中被公認(rèn)為最奇妙的證明是1973年由斯特溫等人給出的。,蝴蝶定理：若過圓O中AB弦的中點(diǎn)M引任意兩弦CD和EF，連結(jié)CF和ED交AB弦于P，Q，則PM = MQ。,證明：由圖所示，圓內(nèi)共有四對(duì)相等的角 。,設(shè) PM = x , MQ = y, AM = MB = a, 則有,化簡得,返回,由相交弦定理知,故有,因x, y都大于0, 上式僅在x = y, 即PM = MQ時(shí)成立。,上述證明中沒有添加任何輔助線，證明過程簡明、勻稱，好優(yōu)美漂亮！,返回,高等數(shù)學(xué)中這種“離經(jīng)叛道”的奇異現(xiàn)象，隨處可見。,比如，人們長期以為，周期函數(shù)一定存在最小正周期, 然而狄利克雷函數(shù),是周期函數(shù)，但不存在最小正周期。,實(shí)數(shù)軸上的有理點(diǎn)與無理點(diǎn)都是處處稠密的，然而無理點(diǎn)卻比有理點(diǎn)多得多。,洛比達(dá)(LHospital)法則是求未定式極限的銳利武器, 但它對(duì)極限,返回,卻無能為力。,在不定積分中，有些看上去非常簡單的函數(shù)，卻“積”不出來：,在歐拉公式,代入 , 得,人們把這5個(gè)常數(shù)戲稱為數(shù)學(xué)中的“五朵金花”。,返回,巧妙的聯(lián)系起來了,第三節(jié) 感受數(shù)學(xué)美,如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠感受和欣賞數(shù)學(xué)美，張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的美學(xué)教育有以下4個(gè)層次：,美觀、美好、美妙、完美。,返回,一、美觀-外在的美,這主要是數(shù)學(xué)對(duì)象以形式上的對(duì)稱、和諧、簡潔，給人的感官帶來美麗、漂亮的感受。,幾何學(xué)常常帶給人們直觀的美學(xué)形象,返回,2000年，在東京召開的國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，日本教師一堂公開課的題目:,在一塊矩形場地上筑一花壇，使其面積為場地的一半，要求設(shè)計(jì)美觀。,美國教師要求學(xué)生用二次曲線畫“米老鼠”或其它畫作，發(fā)揮學(xué)生用幾何曲線(寫出方程)進(jìn)行美術(shù)創(chuàng)作的想象力。,上海進(jìn)才中學(xué)教研組，他們?cè)谶M(jìn)行立體幾何教學(xué)時(shí)，要求學(xué)生以“柱體”、“臺(tái)體”、“錐體”、“球體”、“圓柱”、“圓錐”等3維幾何圖形，制作一座運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)杯，并要求學(xué)生寫出每個(gè)部件的方程式。,返回,二、美好-內(nèi)在的美,數(shù)學(xué)上的許多東西，只有認(rèn)識(shí)到它的正確性，才能感覺其“美好”。,“美觀”的數(shù)學(xué)對(duì)象, 也必須進(jìn)到“美好”的層次。,“圓”從結(jié)構(gòu)上看是極其美觀的。從性質(zhì)上看它也十分美好。任何圓的周長與直徑之比總是一個(gè)常數(shù)。既非有理數(shù)又非代數(shù)數(shù)，是超越數(shù)。這種內(nèi)在的數(shù)學(xué)價(jià)值，展現(xiàn)了“圓”的魅力，引無數(shù)英雄盡折腰。從祖沖之的計(jì)算到今天用計(jì)算機(jī)算到60億位小數(shù)，對(duì)它的研究尚未完結(jié)。,返回,不美觀的數(shù)學(xué)對(duì)象是很多的。一個(gè)突出的例子是一元二次方程的求根公式：,這一公式無論從哪方面看都不對(duì)稱、不和諧、不美觀。,返回,三、美妙-快樂的美,教師要給學(xué)生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)真理的快樂。,美妙的感覺需要培養(yǎng),例如，三角形的3條高、3條中線、3條內(nèi)角平分線都交于一點(diǎn), 這是很美麗、十分美好，同時(shí)令人驚奇的結(jié)論。發(fā)現(xiàn)它會(huì)使人覺得數(shù)學(xué)妙不可言，特別是幾何學(xué)妙極了。那么在教學(xué)時(shí)，先不告訴學(xué)生結(jié)果, 讓學(xué)生自己親手作圖，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些一下子看不出來的“真理”?？梢韵胍姡瑢W(xué)生自己發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)真理該會(huì)是何等的驚喜。一旦體會(huì)到數(shù)學(xué)的“美妙”, 對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生由衷的興趣，也就是順理成章的事了。,返回,每個(gè)喜歡數(shù)字的人，都曾感受到那樣的時(shí)刻：,一條輔助線使無從著手的幾何題豁然開朗，,一個(gè)技巧使百思不得其解的不等式證明得以通過，一個(gè)特定的“關(guān)系一映射一反演”方法使原不相干的問題得以解決, 這時(shí)的快樂與興奮真是難以形容，也許只有用一個(gè)“妙”字加以概括。,這種美妙的意境，會(huì)使人感到天地造化數(shù)學(xué)之巧妙, 數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)字之深邃，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快。達(dá)到這一步，學(xué)生才算真正感受到數(shù)學(xué)美的真諦，被數(shù)學(xué)所吸引，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)。,返回,四、完美 -至善至美,數(shù)學(xué)總是盡力做到至善至美、完美無缺, 這也許是數(shù)學(xué)的最高“品質(zhì)”和最高的精神“境界”。,數(shù)學(xué)家通過300余年的努力來證明費(fèi)馬定理，陳景潤對(duì)歌德巴赫猜想的苦苦追求, 都是追求數(shù)學(xué)“完美”的典型事例。,二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，既有圓錐曲線的優(yōu)美，又有數(shù)形結(jié)合的風(fēng)采; 既有啟迪二次型的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)，更有描摹天體運(yùn)動(dòng)的功能, 確實(shí)是一件完美的科學(xué)杰作。,返回,數(shù)學(xué)的美學(xué)風(fēng)格，和藝術(shù)風(fēng)格是一脈相承的。徐利治先生早就把數(shù)學(xué)概念和詩的意境相結(jié)合, 如借“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”來描述極限，更是一種高品位的美學(xué)欣賞。愛舍兒的數(shù)學(xué)畫，顯示出濃厚的哲學(xué)意味，而奇異的數(shù)學(xué)分形藝術(shù)則是20世紀(jì)計(jì)算機(jī)技術(shù)的產(chǎn)物。,欣賞數(shù)學(xué)藝術(shù)，如何在課堂教學(xué)中發(fā)掘數(shù)學(xué)的藝術(shù)魅力，在我國還沒有得到應(yīng)有重視，特別是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中某種過度形式化的趨向，往往掩蓋了數(shù)學(xué)的美麗色彩，遮蔽了數(shù)學(xué)文化光芒，以至喪失了數(shù)學(xué)教學(xué)的美育功能。,把數(shù)學(xué)美的展示真正落實(shí)到課堂上，還有許多工作要做。,返回,第四節(jié) 數(shù)學(xué)美在中國的源頭,數(shù)學(xué)作為一門有組織的、獨(dú)立的、理性的學(xué)科來說，形成于公元前6世紀(jì)至公元前3世紀(jì)的古希臘時(shí)代。,早期的一些古代文明國家，如中國、埃及、印度和巴比倫等，數(shù)學(xué)已有了開端和萌芽, 我們稱公元前6世紀(jì)以前的這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)為早期數(shù)學(xué)，而人類在早期數(shù)學(xué)中，就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一種朦朧而神秘的數(shù)學(xué)美了，這是為考古學(xué)家和數(shù)學(xué)史家的大量發(fā)現(xiàn)和研究成果所證明了的。,人類關(guān)于數(shù)學(xué)美的觀念，對(duì)于數(shù)學(xué)美的感受、追求、探索以及研究也早在遙遠(yuǎn)的古代就開始了, 這里介紹數(shù)學(xué)美在中國的源頭。,返回,一、太極八卦-中國象數(shù)學(xué)的美,中國，在古代對(duì)于數(shù)學(xué)美的感受與體驗(yàn)，一直可追溯到公元前11世紀(jì)的殷末周初時(shí)期。,傳說“天神”伏羲氏所創(chuàng)造的太極八卦圖，說明我國古代先人對(duì)于圓形所呈現(xiàn)的美有著自己獨(dú)特的認(rèn)識(shí)。,古希臘的畢達(dá)哥拉斯之所以認(rèn)為“一切平面圖形中最美的是圓形”，其主要原因是由于圓有著無數(shù)條對(duì)稱軸， 顯示出一種絕對(duì)的對(duì)稱與和諧。,返回,中國的太極圖表示出了陰與陽的運(yùn)動(dòng)性質(zhì), 黑色的陰和白色的陽也呈現(xiàn)出一種對(duì)稱。,但這種對(duì)稱不是以平直單調(diào)的直徑作為對(duì)稱軸，而是以一條S形曲線將大圓均分成兩半。,這一奇妙的分割產(chǎn)生許多意想不到的美的效果：它使得這個(gè)陰與陽之間的對(duì)稱不是靜止的，而是若即若離、似合非合，彼此滲透、相互補(bǔ)充。,暗示著無休止的強(qiáng)有力的運(yùn)動(dòng)，并可通過這個(gè)具有動(dòng)態(tài)美的幾何圖形對(duì)事物進(jìn)行抽象，給出宇宙萬物對(duì)立統(tǒng)一運(yùn)動(dòng)的形象模式，告訴我們宇宙美的一種簡單美妙的組合方式，但又沒有具體指出它們的確切涵義，只道出了一個(gè)“互補(bǔ)性之謎”。其內(nèi)含寓意的深刻，令人贊嘆不已。,返回,“周易”經(jīng)史學(xué)家考證，大約出于公元前11世紀(jì)左右，這是一部具有很強(qiáng)的科學(xué)現(xiàn)實(shí)性和實(shí)用性的古典，是世界公認(rèn)的第一部討論排列組合的著作，可以說是中國象數(shù)學(xué)的起源。,從數(shù)學(xué)角度看，八卦是世界上最早的二進(jìn)制碼，“易有太極，極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”,其中“極、儀、象、卦”和十進(jìn)制中的“個(gè)、十、百、千”一樣可以看作進(jìn)位制的“權(quán)”。,返回,八卦僅用兩種基本符號(hào)： 陽爻“”和陰爻“一一”，這與現(xiàn)代二進(jìn)制數(shù)用“l(fā)”和“0兩個(gè)符號(hào)來記數(shù)完全一致。,“陽爻”與“陰爻”合稱“兩儀”，如果取兩個(gè)為一卦，則這