固體物理第二章第二節(jié)對(duì)稱(chēng)性和布拉維格子的分類(lèi).pptVIP

第二節(jié) 對(duì)稱(chēng)性和布拉維格子的分類(lèi),本節(jié)主要內(nèi)容:,一、群的知識(shí)簡(jiǎn)介,二、點(diǎn)群和七個(gè)晶系,三、空間群和14種布拉維格子,四、點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)性和晶體的物理性質(zhì),2.2 對(duì)稱(chēng)性和布拉維格子的分類(lèi),布拉維格子是按其對(duì)稱(chēng)性(symmetry)來(lái)分類(lèi)的：,所謂對(duì)稱(chēng)性是指在一定的幾何操作下，物體保持不變的特性。,對(duì)稱(chēng)性在物理學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念，它可使復(fù)雜物理現(xiàn)象的描述變得簡(jiǎn)單、明了。因?yàn)閷?duì)稱(chēng)性的本質(zhì)是指系統(tǒng)中的一些要素是等價(jià)的。對(duì)稱(chēng)性越高的系統(tǒng)，需要獨(dú)立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來(lái)就越簡(jiǎn)單。,我們這里要討論的主要是晶格(或點(diǎn)陣)的對(duì)稱(chēng)性(symmetry of lattice).,在晶格這個(gè)物理系統(tǒng)中，一種對(duì)稱(chēng)性是指某些要素互相等價(jià)，而用來(lái)描述晶格的要素，無(wú)非就是：點(diǎn)、線(xiàn)、面。而保持這些要素等價(jià)的操作-對(duì)稱(chēng)操作有三種：平移、旋轉(zhuǎn)、鏡反射。假設(shè)在某一個(gè)操作過(guò)后，點(diǎn)陣保持不變，也就是每個(gè)格點(diǎn)的位置都得到重復(fù)，那么這個(gè)相應(yīng)的平移、旋轉(zhuǎn)或鏡反射操作就叫作一個(gè)點(diǎn)陣對(duì)稱(chēng)操作。其中的點(diǎn)、線(xiàn)、面分別叫做對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)面-稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)元素,從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，晶體的對(duì)稱(chēng)性是對(duì)晶體進(jìn)行幾何變換而能保持晶體性質(zhì)的不變性,相當(dāng)于一個(gè)正交線(xiàn)性變換。一個(gè)變換就是一種操作。,參考方俊鑫固物p32-36 ;或方可固物p13-16,比如：繞x軸的旋轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)角為，則有：,再比如：取中心為原點(diǎn)，經(jīng)中心反演，則有：,還有：以z=0作為鏡面，則有：,由上可以看出，當(dāng)變換是純轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，矩陣的行列式等于+1；當(dāng)是空間反演或鏡面反射時(shí)等于-1.前一種對(duì)應(yīng)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，另一種不能靠物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。,如果一個(gè)物體在某一正交變換下不變，就稱(chēng)這個(gè)變換為物體的一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作。顯然，一個(gè)物體的對(duì)稱(chēng)操作越多，就表明它的對(duì)稱(chēng)性越高。,定量研究對(duì)稱(chēng)操作集合的性質(zhì)要用群論的知識(shí)。謝希德、蔣平等人編著的群論及其在物理學(xué)中的應(yīng)用(科學(xué)出版社出版，1986年8月)是一本不錯(cuò)的書(shū)，有興趣的同學(xué)可以參閱）,群論作為數(shù)學(xué)的分支，是處理有一定對(duì)稱(chēng)性的物理體系的有力工具，可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算，也可以預(yù)言物理過(guò)程的發(fā)展趨勢(shì)，還可以對(duì)體系的許多性質(zhì)作出定性的了解。,群及其表示理論是物理系研究生的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，對(duì)于本科生不作要求。因此，我們不打算在這里講過(guò)多的群論的知識(shí)。只是簡(jiǎn)單介紹一下，讓大家對(duì)群的概念有一個(gè)認(rèn)識(shí)。,一、群的知識(shí)簡(jiǎn)介,1. 群的定義,所謂群(group)就是一些元素(elements)或操作的集合，常用符號(hào) G 來(lái)表示。,構(gòu)成群的元素要滿(mǎn)足以下條件：,設(shè) 等表示群G中所包含的元素或操作,即：,必須滿(mǎn)足下列條件：,1). 封閉性(closure property),按照給定的乘法規(guī)則，群G中任何兩個(gè)元素相乘，得到的還是該群的一個(gè)元素。,2). 群中一定包含一個(gè)不變?cè)?單位元素) E,3). 存在逆元素,4). 滿(mǎn)足組合定則,在晶體的幾何對(duì)稱(chēng)性的研究中，每一個(gè)能使晶體復(fù)原的對(duì)稱(chēng)操作，都滿(mǎn)足上述群中的元素的要求，由這些元素(或操作)所構(gòu)成的群叫對(duì)稱(chēng)性群(symmetry group),包括點(diǎn)群(point group)和空間群(space group),1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先導(dǎo)出了32種點(diǎn)群，由32種點(diǎn)群出發(fā)，可以對(duì)布拉維點(diǎn)陣進(jìn)行分類(lèi)，這正是1850年布拉維所作的工作，他證明了只有7個(gè)晶系。(點(diǎn)群不含平移對(duì)稱(chēng)操作，因?yàn)槠揭茖?dǎo)致任何格點(diǎn)都要?jiǎng)?，而點(diǎn)群必須至少有一個(gè)格點(diǎn)不動(dòng)),熊夫利(Schoenflies1891)和費(fèi)奧多羅夫(Fedorove 1892) 為了研究復(fù)式晶格(幾套簡(jiǎn)單格子的平移)的分類(lèi)，考慮了平移對(duì)稱(chēng)操作，提出了空間群的概念,并證明只有230種獨(dú)立的空間群。 可由此證明只有14種三維布拉維點(diǎn)陣,此外，為了方便，人們制定了標(biāo)示晶體類(lèi)型的符號(hào)，一套是熊夫利制訂的，稱(chēng)為熊夫利符號(hào)；一套是海爾曼(Hermann)和毛袞(Mauguin)制訂的，稱(chēng)為國(guó)際符號(hào),我們這一節(jié)主要介紹這些人得到的結(jié)果,二、點(diǎn)群和七個(gè)晶系,1. 點(diǎn)群,保持空間某一點(diǎn)固定不動(dòng)的對(duì)稱(chēng)操作，稱(chēng)為點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作。在點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作基礎(chǔ)上構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)操作群稱(chēng)為點(diǎn)群,2. 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作的類(lèi)型和對(duì)稱(chēng)元素：,對(duì)于晶體而言，對(duì)稱(chēng)操作就是對(duì)晶體進(jìn)行幾何變換而能復(fù)原的操作。晶體中的基本的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作有三種：,相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)元素有:對(duì)稱(chēng)軸;對(duì)稱(chēng)面;對(duì)稱(chēng)中心,鏡面反映 (Reflection across a plane);,中心反演(inversion through a point) ;,一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作(rotational symmetry operation)意味著將點(diǎn)陣?yán)@著某個(gè)軸旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度 或- 以后，點(diǎn)陣保持不變。,由于晶體周期性的限制，轉(zhuǎn)角只能是:,顯然n=1,相當(dāng)于不動(dòng)操作(元素)E,n=2,3,4,6的轉(zhuǎn)軸分別稱(chēng)為二度、三度、四度、六度轉(zhuǎn)軸,證明見(jiàn)p28,為了保持在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作后點(diǎn)陣不變，在二維晶格中，旋轉(zhuǎn)軸一定要通過(guò)某一個(gè)格點(diǎn)而且垂直平面；在三維晶格中，旋轉(zhuǎn)軸一定要通過(guò)某一個(gè)格點(diǎn)而且平行于某一個(gè)晶向。,即：晶體中允許的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)軸只能是1，2，3，4和6重軸,稱(chēng)為晶體的對(duì)稱(chēng)性定律,晶體的對(duì)稱(chēng)性定律的證明,如果繞A轉(zhuǎn)角,晶格保持不變(對(duì)稱(chēng)操作).則該操作將使B 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到 位置,則由于轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)操作不改變格子,在 處必定原來(lái)就有一個(gè)格點(diǎn)。,因?yàn)锽 和A 完全等價(jià),所有旋轉(zhuǎn)同樣可以繞B 進(jìn)行.,如圖,A為格點(diǎn),B為離A最近的格點(diǎn)之一,則與 平行的格點(diǎn)之間的距離一定是 的整數(shù)倍。,由此可設(shè)想繞B 轉(zhuǎn)角，這將使A 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到 的位置。同樣 處原來(lái)也必定有一個(gè)格點(diǎn),亦即：,而且,m必須為整數(shù),所以,m只能取 -1,0,1,2,3,由于 組成等腰梯形,m為整數(shù),因此,與m=-1,0,1,2,3相應(yīng)的轉(zhuǎn)角為:,通常把晶體中軸次最高的轉(zhuǎn)動(dòng)軸稱(chēng)作主對(duì)稱(chēng)軸，簡(jiǎn)稱(chēng)主軸,(但是立方晶系則以3次軸為主軸),其它為副軸.,一個(gè)鏡面反映對(duì)稱(chēng)操作(symmetry operation of mirror image)意味著將點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)于某一個(gè)面進(jìn)行反射,點(diǎn)陣保持不變.這表明一系列格點(diǎn)對(duì)應(yīng)于這個(gè)反射面的位置是等價(jià)的,點(diǎn)陣具有鏡反射對(duì)稱(chēng)性.如以xy面為反射面,則(x,y,z)(x,y,-z),中心反演,如對(duì)原點(diǎn)的反演,(x,y,z) (-x,-y,-z),以上為3種基本對(duì)稱(chēng)操作。然而，在某些晶體中還存在著等價(jià)于相繼進(jìn)行兩個(gè)基本對(duì)稱(chēng)操作(乘法法則)而得到的獨(dú)立對(duì)稱(chēng)操作，稱(chēng)為組合操作,組合操作:,也叫旋轉(zhuǎn)-反映或象轉(zhuǎn)操作,總之，上述對(duì)稱(chēng)操作滿(mǎn)足數(shù)學(xué)上構(gòu)成群的條件，一個(gè)晶體的所有點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作集合形成該晶體點(diǎn)群。理論和實(shí)驗(yàn)證明，所有晶體結(jié)構(gòu)的宏觀對(duì)稱(chēng)性，可概括為32個(gè)晶體點(diǎn)群。,對(duì)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作的類(lèi)型,固體物理中慣用熊夫利符號(hào)(Schoenflies notation)標(biāo)記;晶體學(xué)家慣用國(guó)際符號(hào)(Schoenflies notation)標(biāo)記.在晶體結(jié)構(gòu)分析中,常用后者.,P28-29表2.1給出了32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群，為了便于大家看懂，下面給出符號(hào)的說(shuō)明,為了表明對(duì)稱(chēng)面相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的位置，還有如下附加指標(biāo)：,下角標(biāo)h(水平)表示垂直于旋轉(zhuǎn)軸,下角標(biāo)v(鉛直)表示平行于旋轉(zhuǎn)軸,下角標(biāo)d(對(duì)角)表示平行于主軸且平分2次軸之間的夾角,國(guó)際符號(hào),國(guó)際符號(hào)以不超過(guò)三個(gè)幾何上的從優(yōu)方向來(lái)描述晶體的對(duì)稱(chēng)類(lèi)型，這些方向或平行于對(duì)稱(chēng)軸或垂直于對(duì)稱(chēng)面,如旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱(chēng)軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱(chēng)素。如：,注意，以上許多的操作并不都是獨(dú)立的,正四面體既無(wú)四度軸也無(wú)對(duì)稱(chēng)心,參考方俊鑫書(shū) P37-39,旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作中只有4度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作是獨(dú)立的,獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。,所有點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作都可由這8種操作或它們的組合來(lái)完成。一個(gè)晶體的全部對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成一個(gè)群，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。對(duì)稱(chēng)性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成32個(gè)點(diǎn)群。,3.七個(gè)晶系,在不考慮平移對(duì)稱(chēng)操作的基礎(chǔ)上，32個(gè)點(diǎn)群屬于7個(gè)晶系。,7個(gè)晶系的劃分，可以說(shuō)是從簡(jiǎn)單格子出發(fā)來(lái)考慮的，簡(jiǎn)單格子含有一個(gè)格點(diǎn)。,考慮到格矢,所以，晶體的三維周期性結(jié)構(gòu)由 三個(gè)矢量的方向和長(zhǎng)度來(lái)決定，存在7類(lèi)不同的組合，即7個(gè)晶系。,7個(gè)晶系為：三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六角晶系、立方晶系。(按對(duì)稱(chēng)性來(lái)排序),7個(gè)晶系(由簡(jiǎn)單格子確定,用符號(hào)P表示),三、空間群和14種布拉維格子,7個(gè)晶系(crystal system)相應(yīng)的點(diǎn)群,其它點(diǎn)群為這7個(gè)點(diǎn)群的子群(見(jiàn)P28表2.1),如果進(jìn)一步考慮晶體的微觀對(duì)稱(chēng)性,對(duì)稱(chēng)操作中還應(yīng)包含:平移、螺旋旋轉(zhuǎn)和滑移反映.,對(duì)稱(chēng)性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱(chēng)及物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱(chēng)性.所以又稱(chēng)宏觀對(duì)稱(chēng)性,其對(duì)稱(chēng)操作前面已經(jīng)講述.,1.平移對(duì)稱(chēng)操作和空間群,(1)平移和平移軸：圖形中各點(diǎn)按一矢量進(jìn)行移動(dòng)的操作稱(chēng)為平移；進(jìn)行平移所憑借的直線(xiàn)稱(chēng)為平移軸。顯然，此時(shí)圖形應(yīng)是無(wú)限的-點(diǎn)陣。,（2）螺旋旋轉(zhuǎn)與n度螺旋軸:若繞軸旋轉(zhuǎn)2/n角以后,再沿軸方向平移l(T/n),晶體能自身重合,則稱(chēng)此軸為n度螺旋軸.其中T是軸方向的周期,l是小于n的整數(shù).n只能取1、2、3、4、6。,（2）滑移反映和滑移面：若經(jīng)過(guò)某面進(jìn)行鏡象操作后,再沿平行于該面的某個(gè)方向平移T/n后,晶體能自身重合,則稱(chēng)此面為滑移反映面. T是平行方向的周期, n可取2或4.,點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)成230種空間群，即有230種對(duì)稱(chēng)類(lèi)型。,2. 14種布拉維格子,根據(jù)不同的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性，將晶體分為7大晶系，對(duì)應(yīng)7個(gè)簡(jiǎn)單格子；進(jìn)一步考慮平移對(duì)稱(chēng)操作后，還有7種復(fù)式格子，所以共有14種布拉維晶格。,7大晶系的特征及14種布拉維晶格如下所述：,1.三斜晶系：,2.單斜晶系：,3.三角晶系：,簡(jiǎn)單三斜(1),簡(jiǎn)單單斜(2),底心單斜(3),三角(4),4.正交晶系：,簡(jiǎn)單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8),5.四角系： (正方晶系),簡(jiǎn)單四角(9)，體心四角(10),6.六角晶系：,六角(11),7.立方晶系：,簡(jiǎn)立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14),簡(jiǎn)單三斜(1),簡(jiǎn)單單斜(2),底心單斜(3),1）.三斜晶系：,2）.單斜晶系：,3）.三角晶系：,三角(4),4）.正交晶系：,簡(jiǎn)單正交(5),底心正交(6),體心正交(7),面心正交(8),5）.四方晶系,體心四方(10),簡(jiǎn)單四方(9),6）.六角晶系：,六角(11),7）.立方晶系：,簡(jiǎn)立方(12),體心立方(13),面心立方(14),從表面上來(lái)看，上述布拉維格子似乎還可以增加一些體心、面心或底心格子。但實(shí)際上，這樣做所得的格子仍是14種之一，或者不是布拉維格子。,如四方晶系只有簡(jiǎn)單四角和體心四角；如果增加一個(gè)面心四角，結(jié)果仍是體心四角。,將相同的原子、離子或者原子集團(tuán)置于各個(gè)等價(jià)格點(diǎn)上,就得到晶體結(jié)構(gòu).每種晶體結(jié)構(gòu)都是基于14種布拉維格子中的一個(gè)平移系統(tǒng)而形成的.總之,布拉維格子按照點(diǎn)群來(lái)分有7類(lèi),按空間群來(lái)分,有14類(lèi)；晶體按照點(diǎn)群來(lái)分有32類(lèi),按空間群來(lái)分,有230類(lèi).,空間格子與晶體結(jié)構(gòu)這兩個(gè)概念含義并不相同，“格子”純屬幾何概念，是晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)抽象；而“晶體結(jié)構(gòu)”則具有物理意義。,3. 230種空間群國(guó)際符號(hào)說(shuō)明：,空間群國(guó)際符號(hào)的第一個(gè)字母表示布拉維格子的類(lèi)型，即：,P簡(jiǎn)單格子； I體心格子； F面心格子； C底心(a1和a2形成的底面); B底心(a2和a3形成的底面); A底心(a1和a3形成的底面); R三角格子,其余符號(hào)與點(diǎn)群相同。,仔細(xì)閱讀P29-30，加深對(duì)符號(hào)的含義的理解。如：4/m;m3m等。,空間群國(guó)際符號(hào),3. 1955年-1956年,別洛夫和陶格爾全面導(dǎo)出了磁對(duì)稱(chēng)群(magnetic symmetry group),磁對(duì)稱(chēng)群含有一個(gè)新的對(duì)稱(chēng)性：時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)(t-t).顯然，若一個(gè)系統(tǒng)具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)(t-t),那么其中的電流和磁矩一定為零.而時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)的破缺,則意味著電流和磁矩不為零,2.3 幾種常見(jiàn)的晶體結(jié)構(gòu),大部分內(nèi)容我們前面已經(jīng)講過(guò)了，這一節(jié)自己課下進(jìn)一步學(xué)習(xí)，這里僅僅補(bǔ)充說(shuō)明一下HCP結(jié)構(gòu)的一種技術(shù)上常用的晶面標(biāo)記方法,若有對(duì)稱(chēng)面,偶極矩應(yīng)在對(duì)稱(chēng)面上;若有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面,偶極矩應(yīng)在兩對(duì)稱(chēng)面的交線(xiàn)上.,HCP結(jié)構(gòu)的一種技術(shù)上常用的晶面標(biāo)記方法,如圖，用3個(gè)x-y面內(nèi)的最短格矢100、010、 和z方向的格矢001來(lái)定義新的晶面指數(shù),其中 u,v,w 不完全獨(dú)立,所以，有時(shí)寫(xiě)為,后記：,晶體結(jié)構(gòu)的群表示符號(hào)對(duì)于我們的用處：,1942年美國(guó)材料試驗(yàn)協(xié)會(huì)出版了一套卡片，約1300張，通常稱(chēng)為ASTM卡片，用來(lái)標(biāo)記人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的材料的晶體學(xué)性質(zhì)，以后，逐步增加和修改。,1969年改由粉末衍射標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)合委員會(huì)(JCPDS)負(fù)責(zé)卡片的編輯出版，改稱(chēng)PDF卡片。到1977年止，已有4萬(wàn)余張卡片，其中無(wú)機(jī)物3萬(wàn)余張。每張卡片的第4欄標(biāo)明材料晶系、空間群、晶格常數(shù)等。,卡片的第4欄的這些標(biāo)記，很方便人