固體物理第二章第二節(jié)對稱性和布拉維格子的分類.ppt

第二節(jié) 對稱性和布拉維格子的分類,本節(jié)主要內(nèi)容:,一、群的知識簡介,二、點群和七個晶系,三、空間群和14種布拉維格子,四、點群對稱性和晶體的物理性質(zhì),2.2 對稱性和布拉維格子的分類,布拉維格子是按其對稱性(symmetry)來分類的：,所謂對稱性是指在一定的幾何操作下，物體保持不變的特性。,對稱性在物理學中是一個非常重要的概念，它可使復雜物理現(xiàn)象的描述變得簡單、明了。因為對稱性的本質(zhì)是指系統(tǒng)中的一些要素是等價的。對稱性越高的系統(tǒng)，需要獨立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來就越簡單。,我們這里要討論的主要是晶格(或點陣)的對稱性(symmetry of lattice).,在晶格這個物理系統(tǒng)中，一種對稱性是指某些要素互相等價，而用來描述晶格的要素，無非就是：點、線、面。而保持這些要素等價的操作-對稱操作有三種：平移、旋轉、鏡反射。假設在某一個操作過后，點陣保持不變，也就是每個格點的位置都得到重復，那么這個相應的平移、旋轉或鏡反射操作就叫作一個點陣對稱操作。其中的點、線、面分別叫做對稱中心、對稱軸、對稱面-稱為對稱元素,從數(shù)學角度來看，晶體的對稱性是對晶體進行幾何變換而能保持晶體性質(zhì)的不變性,相當于一個正交線性變換。一個變換就是一種操作。,參考方俊鑫固物p32-36 ;或方可固物p13-16,比如：繞x軸的旋轉，設轉角為，則有：,再比如：取中心為原點，經(jīng)中心反演，則有：,還有：以z=0作為鏡面，則有：,由上可以看出，當變換是純轉動時，矩陣的行列式等于+1；當是空間反演或鏡面反射時等于-1.前一種對應物體的實際運動，另一種不能靠物體的實際運動來實現(xiàn)。,如果一個物體在某一正交變換下不變，就稱這個變換為物體的一個對稱操作。顯然，一個物體的對稱操作越多，就表明它的對稱性越高。,定量研究對稱操作集合的性質(zhì)要用群論的知識。謝希德、蔣平等人編著的群論及其在物理學中的應用(科學出版社出版，1986年8月)是一本不錯的書，有興趣的同學可以參閱）,群論作為數(shù)學的分支，是處理有一定對稱性的物理體系的有力工具，可以簡化復雜的計算，也可以預言物理過程的發(fā)展趨勢，還可以對體系的許多性質(zhì)作出定性的了解。,群及其表示理論是物理系研究生的一門重要基礎課，對于本科生不作要求。因此，我們不打算在這里講過多的群論的知識。只是簡單介紹一下，讓大家對群的概念有一個認識。,一、群的知識簡介,1. 群的定義,所謂群(group)就是一些元素(elements)或操作的集合，常用符號 G 來表示。,構成群的元素要滿足以下條件：,設 等表示群G中所包含的元素或操作,即：,必須滿足下列條件：,1). 封閉性(closure property),按照給定的乘法規(guī)則，群G中任何兩個元素相乘，得到的還是該群的一個元素。,2). 群中一定包含一個不變元素(單位元素) E,3). 存在逆元素,4). 滿足組合定則,在晶體的幾何對稱性的研究中，每一個能使晶體復原的對稱操作，都滿足上述群中的元素的要求，由這些元素(或操作)所構成的群叫對稱性群(symmetry group),包括點群(point group)和空間群(space group),1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先導出了32種點群，由32種點群出發(fā)，可以對布拉維點陣進行分類，這正是1850年布拉維所作的工作，他證明了只有7個晶系。(點群不含平移對稱操作，因為平移導致任何格點都要動，而點群必須至少有一個格點不動),熊夫利(Schoenflies1891)和費奧多羅夫(Fedorove 1892) 為了研究復式晶格(幾套簡單格子的平移)的分類，考慮了平移對稱操作，提出了空間群的概念,并證明只有230種獨立的空間群。 可由此證明只有14種三維布拉維點陣,此外，為了方便，人們制定了標示晶體類型的符號，一套是熊夫利制訂的，稱為熊夫利符號；一套是海爾曼(Hermann)和毛袞(Mauguin)制訂的，稱為國際符號,我們這一節(jié)主要介紹這些人得到的結果,二、點群和七個晶系,1. 點群,保持空間某一點固定不動的對稱操作，稱為點對稱操作。在點對稱操作基礎上構成的對稱操作群稱為點群,2. 點對稱操作的類型和對稱元素：,對于晶體而言，對稱操作就是對晶體進行幾何變換而能復原的操作。晶體中的基本的點對稱操作有三種：,相應的對稱元素有:對稱軸;對稱面;對稱中心,鏡面反映 (Reflection across a plane);,中心反演(inversion through a point) ;,一個旋轉對稱操作(rotational symmetry operation)意味著將點陣繞著某個軸旋轉某個角度 或- 以后，點陣保持不變。,由于晶體周期性的限制，轉角只能是:,顯然n=1,相當于不動操作(元素)E,n=2,3,4,6的轉軸分別稱為二度、三度、四度、六度轉軸,證明見p28,為了保持在旋轉對稱操作后點陣不變，在二維晶格中，旋轉軸一定要通過某一個格點而且垂直平面；在三維晶格中，旋轉軸一定要通過某一個格點而且平行于某一個晶向。,即：晶體中允許的轉動對稱軸只能是1，2，3，4和6重軸,稱為晶體的對稱性定律,晶體的對稱性定律的證明,如果繞A轉角,晶格保持不變(對稱操作).則該操作將使B 格點轉到 位置,則由于轉動對稱操作不改變格子,在 處必定原來就有一個格點。,因為B 和A 完全等價,所有旋轉同樣可以繞B 進行.,如圖,A為格點,B為離A最近的格點之一,則與 平行的格點之間的距離一定是 的整數(shù)倍。,由此可設想繞B 轉角，這將使A 格點轉到 的位置。同樣 處原來也必定有一個格點,亦即：,而且,m必須為整數(shù),所以,m只能取 -1,0,1,2,3,由于 組成等腰梯形,m為整數(shù),因此,與m=-1,0,1,2,3相應的轉角為:,通常把晶體中軸次最高的轉動軸稱作主對稱軸，簡稱主軸,(但是立方晶系則以3次軸為主軸),其它為副軸.,一個鏡面反映對稱操作(symmetry operation of mirror image)意味著將點陣對應于某一個面進行反射,點陣保持不變.這表明一系列格點對應于這個反射面的位置是等價的,點陣具有鏡反射對稱性.如以xy面為反射面,則(x,y,z)(x,y,-z),中心反演,如對原點的反演,(x,y,z) (-x,-y,-z),以上為3種基本對稱操作。然而，在某些晶體中還存在著等價于相繼進行兩個基本對稱操作(乘法法則)而得到的獨立對稱操作，稱為組合操作,組合操作:,也叫旋轉-反映或象轉操作,總之，上述對稱操作滿足數(shù)學上構成群的條件，一個晶體的所有點對稱操作集合形成該晶體點群。理論和實驗證明，所有晶體結構的宏觀對稱性，可概括為32個晶體點群。,對于點對稱操作的類型,固體物理中慣用熊夫利符號(Schoenflies notation)標記;晶體學家慣用國際符號(Schoenflies notation)標記.在晶體結構分析中,常用后者.,P28-29表2.1給出了32個晶體學點群，為了便于大家看懂，下面給出符號的說明,為了表明對稱面相對于旋轉軸的位置，還有如下附加指標：,下角標h(水平)表示垂直于旋轉軸,下角標v(鉛直)表示平行于旋轉軸,下角標d(對角)表示平行于主軸且平分2次軸之間的夾角,國際符號,國際符號以不超過三個幾何上的從優(yōu)方向來描述晶體的對稱類型，這些方向或平行于對稱軸或垂直于對稱面,如旋轉-反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：,注意，以上許多的操作并不都是獨立的,正四面體既無四度軸也無對稱心,參考方俊鑫書 P37-39,旋轉反演對稱操作中只有4度旋轉反演對稱操作是獨立的,獨立的對稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。,所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構成一個群，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉、中心反演、鏡象和旋轉-反演點對稱操作構成32個點群。,3.七個晶系,在不考慮平移對稱操作的基礎上，32個點群屬于7個晶系。,7個晶系的劃分，可以說是從簡單格子出發(fā)來考慮的，簡單格子含有一個格點。,考慮到格矢,所以，晶體的三維周期性結構由 三個矢量的方向和長度來決定，存在7類不同的組合，即7個晶系。,7個晶系為：三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六角晶系、立方晶系。(按對稱性來排序),7個晶系(由簡單格子確定,用符號P表示),三、空間群和14種布拉維格子,7個晶系(crystal system)相應的點群,其它點群為這7個點群的子群(見P28表2.1),如果進一步考慮晶體的微觀對稱性,對稱操作中還應包含:平移、螺旋旋轉和滑移反映.,對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對稱性.所以又稱宏觀對稱性,其對稱操作前面已經(jīng)講述.,1.平移對稱操作和空間群,(1)平移和平移軸：圖形中各點按一矢量進行移動的操作稱為平移；進行平移所憑借的直線稱為平移軸。顯然，此時圖形應是無限的-點陣。,（2）螺旋旋轉與n度螺旋軸:若繞軸旋轉2/n角以后,再沿軸方向平移l(T/n),晶體能自身重合,則稱此軸為n度螺旋軸.其中T是軸方向的周期,l是小于n的整數(shù).n只能取1、2、3、4、6。,（2）滑移反映和滑移面：若經(jīng)過某面進行鏡象操作后,再沿平行于該面的某個方向平移T/n后,晶體能自身重合,則稱此面為滑移反映面. T是平行方向的周期, n可取2或4.,點對稱操作加上平移操作構成空間群。全部晶體構成230種空間群，即有230種對稱類型。,2. 14種布拉維格子,根據(jù)不同的點對稱性，將晶體分為7大晶系，對應7個簡單格子；進一步考慮平移對稱操作后，還有7種復式格子，所以共有14種布拉維晶格。,7大晶系的特征及14種布拉維晶格如下所述：,1.三斜晶系：,2.單斜晶系：,3.三角晶系：,簡單三斜(1),簡單單斜(2),底心單斜(3),三角(4),4.正交晶系：,簡單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8),5.四角系： (正方晶系),簡單四角(9)，體心四角(10),6.六角晶系：,六角(11),7.立方晶系：,簡立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14),簡單三斜(1),簡單單斜(2),底心單斜(3),1）.三斜晶系：,2）.單斜晶系：,3）.三角晶系：,三角(4),4）.正交晶系：,簡單正交(5),底心正交(6),體心正交(7),面心正交(8),5）.四方晶系,體心四方(10),簡單四方(9),6）.六角晶系：,六角(11),7）.立方晶系：,簡立方(12),體心立方(13),面心立方(14),從表面上來看，上述布拉維格子似乎還可以增加一些體心、面心或底心格子。但實際上，這樣做所得的格子仍是14種之一，或者不是布拉維格子。,如四方晶系只有簡單四角和體心四角；如果增加一個面心四角，結果仍是體心四角。,將相同的原子、離子或者原子集團置于各個等價格點上,就得到晶體結構.每種晶體結構都是基于14種布拉維格子中的一個平移系統(tǒng)而形成的.總之,布拉維格子按照點群來分有7類,按空間群來分,有14類；晶體按照點群來分有32類,按空間群來分,有230類.,空間格子與晶體結構這兩個概念含義并不相同，“格子”純屬幾何概念，是晶體結構的數(shù)學抽象；而“晶體結構”則具有物理意義。,3. 230種空間群國際符號說明：,空間群國際符號的第一個字母表示布拉維格子的類型，即：,P簡單格子； I體心格子； F面心格子； C底心(a1和a2形成的底面); B底心(a2和a3形成的底面); A底心(a1和a3形成的底面); R三角格子,其余符號與點群相同。,仔細閱讀P29-30，加深對符號的含義的理解。如：4/m;m3m等。,空間群國際符號,3. 1955年-1956年,別洛夫和陶格爾全面導出了磁對稱群(magnetic symmetry group),磁對稱群含有一個新的對稱性：時間反演對稱(t-t).顯然，若一個系統(tǒng)具有時間反演對稱(t-t),那么其中的電流和磁矩一定為零.而時間反演對稱的破缺,則意味著電流和磁矩不為零,2.3 幾種常見的晶體結構,大部分內(nèi)容我們前面已經(jīng)講過了，這一節(jié)自己課下進一步學習，這里僅僅補充說明一下HCP結構的一種技術上常用的晶面標記方法,若有對稱面,偶極矩應在對稱面上;若有兩個對稱面,偶極矩應在兩對稱面的交線上.,HCP結構的一種技術上常用的晶面標記方法,如圖，用3個x-y面內(nèi)的最短格矢100、010、 和z方向的格矢001來定義新的晶面指數(shù),其中 u,v,w 不完全獨立,所以，有時寫為,后記：,晶體結構的群表示符號對于我們的用處：,1942年美國材料試驗協(xié)會出版了一套卡片，約1300張，通常稱為ASTM卡片，用來標記人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的材料的晶體學性質(zhì)，以后，逐步增加和修改。,1969年改由粉末衍射標準聯(lián)合委員會(JCPDS)負責卡片的編輯出版，改稱PDF卡片。到1977年止，已有4萬余張卡片，其中無機物3萬余張。每張卡片的第4欄標明材料晶系、空間群、晶格常數(shù)等。,卡片的第4欄的這些標記，很方便人