行列式計算方法.ppt

,關(guān)于行列式計算方法的研究,摘要：本文探討了行列式的計算方法問題，介紹了 計算n階行列式的幾種行之有效的方法. 除比較常用的定義法，化三角形法，升階法，數(shù)學(xué)歸納法等法外，還介紹了利用降階定理，冪級數(shù)變換，換元等技巧性較高的計算方法.只要靈活地運用這些計算技巧和方法，就可以基本上解決n階行列式的計算問題. 關(guān)鍵詞：n階行列式；遞推關(guān)系式；升階；冪級數(shù)變換；換元,一、引言,行列式的計算是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一,也是學(xué)習(xí)中的一個難點.對于階數(shù)較低的行列式,一般可直接利用行列式的定義和性質(zhì)計算出結(jié)果.對于一般的n階行列式,特別是當(dāng)n較大時，直接用定義計算行列式往往是困難和繁瑣的，因此研究行列式的計算方法則顯得十分必要.通常需靈活運用一些計算技巧和方法，使計算大大簡化，從而得出結(jié)果.本文介紹了幾種計算方法，只要將各種方法綜合地應(yīng)用起來，就可以基本上解決n階行列式的計算問題.,二、行列式的定義及性質(zhì),1 定義：n階行列式,其中,為排列,的逆序數(shù).,2 性質(zhì) (1) 行列互換，行列式不變. (2) 數(shù)k乘行列式的一行相當(dāng)于數(shù)k乘此行列式. (3) 若行列式中有兩行相同，那么行列式為零. (4) 若行列式中兩行成比例，那么行列式為零.,.,(5) 若行列式中某行（列）的每一個元素均為兩數(shù)之和，則這個行列式等于兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩組數(shù)作為該行（列）元素，其余各行（列）與原行列式相同.,(6) 把行列式中一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變. (7) 對換行列式中兩行的位置，行列式反號.,三、行列式的計算方法 1 利用行列式的定義來計算 對于含零元素較多的行列式可用定義來計算. 因為行列式的項中有一個因數(shù)為零時，該項的值 就為零，故只須求出所有非零項即可.,（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘積的所有項. 當(dāng)行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零元素乘積項只有一項時，用此法計算非常簡便. 定理1 一個n階行列式中等于零的元素個數(shù)如果比nnn多，則此行列式等于零. 證明：由行列式定義，該行列式展開后都是n個元素相乘，而n階行列式共有nn個元素.若等于零的元素個數(shù)大于nnn，那么非零元素個數(shù)就小于n個.因此該行列式的每項都至少含一個零元素，所以每項必等于零，故此行列式等于零.,（法二）求出非零元素乘積,的列下標(biāo),的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零項.,化三角形法 :把已知行列式通過行列式的性質(zhì)化為下列三角形行列式中的某一種形式，則其值就可求出.,=,=,=,=,=,=,(1)箭形行列式;(2)可化為箭形行列式的行式,(3)行（列）的和相等的行列式 這幾種類型的行列式均可化為三角形行列式. 3. 用遞推法計算行列式 :利用行列式的性質(zhì),把某一行列 式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的關(guān)系式(稱為遞推關(guān)系式），根據(jù)所得遞推關(guān)系式及低階某初始行列式的值便可遞推求得所需的結(jié)果.,文章給出了一類可化為,的遞歸行列式.,的計算方法。,當(dāng)b等于0 時，易得,當(dāng)b不等于0時，,其中,和,為特征方程,的兩根。,4. 用升階法計算行列式 升階法指的是在原行列式中再添加一行一列，使原來的n階成n+1階，且往往讓n+1階行列式的值與原n階行列式的值相等.一般來說,階數(shù)高的比階數(shù)低的計算更復(fù)雜些.但如果合理地選擇所添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零”的話，則升階后有利于計算行列式的值. 凡可利用升階法計算的行列式具有的特點是：除主對角線上的元素外，其余元素都相同，或任兩行（列）對應(yīng)元素成比例.升階時，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個位置？要根據(jù)原行列式的特點作適當(dāng)?shù)倪x擇.,.,5. 用降階定理計算行列式 ,將行列式與矩陣聯(lián)系在一起，用行列式的降階定理計算n階行列式，以使方法簡單化.,定理2 設(shè),其中A為年n階，D為m階方陣。,（1）若A可逆，,則,（2）若D可逆，,則,證明：,（1）若A可逆，由分塊矩陣的乘法，有,由于,，所以兩邊取行列式，,，同理可證（2）。,定理3 設(shè)A與D分別為n階與m階可逆陣，B與C分 別為nm陣與mn陣，則,證明：設(shè),由定理2,故，,。,6. 用冪級數(shù)變換計算行列式,把一類n階行列式轉(zhuǎn)化為差分方程，再利用冪級數(shù)變換求解差分方程，即可求出行列式的值.,任給一個數(shù)列,則可相應(yīng)地作出一個冪級數(shù),將,叫做數(shù)列,的冪級數(shù)變換.給定一個冪級,數(shù),唯一確定數(shù)列,數(shù)列與冪級數(shù)有對應(yīng)關(guān)系.,.,數(shù)列之間的運算關(guān)系同冪級數(shù)變換之間的運算關(guān)系是對應(yīng)的.差分方程的結(jié)構(gòu)是由數(shù)列項之間的遞推關(guān)系而確定的，把行列式轉(zhuǎn)化為差分方程，引入冪級數(shù)變換，通過冪級數(shù)的分析運算可求出行列式的值. 例1.計算行列式 解： 將按第1列展開得： 此行列式序列是斐波那契數(shù)列，開始項為1,2，以后各項均為前兩項之和.式變形為， 設(shè) ,用-x乘式得: 用 乘式得: +，得: 又 所以 方程 的兩根為： 且有,=, 比較式與式的系數(shù)，得 7. 用換元法計算行列式:此法應(yīng)用于當(dāng)以同一個數(shù)改變行列式的所有元素時，其各元素的代數(shù)余子式容易計算的情形，它基于下面的定理. 定理4 設(shè) 則 其中 是元素 的代數(shù)余子式.,=,=,=,例2 計算行列式 解：把 的所有元素都加上-x，得 D的非主對角線元素的代數(shù)余子式等于零，而每一個主對角線元素的代數(shù)余子式等于主對角線其余元素的積，所以 8. 用拉普拉斯定理計算行列式 定理5 在行列式D中任選k行（或k列），由這k行（或k列）元素組成的一切k階子式（共可組成 個k階子式）與它的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D.,例3 計算 解：將 按第n, n+1行展開，則 繼續(xù)依上法展開，直到推出 可得 9. 用數(shù)學(xué)歸納法計算行列式：數(shù)學(xué)歸納法一般是在已知行列式的結(jié)果，或猜出其結(jié)果作出嚴格證明時用的方法. (論文中附有例12) 10 用逐行（或列）相加減法計算行列式：此法適合這樣一類行列式，每相鄰兩行（列）之間有許多元素相同，且這些相同元素都集中在某個角上，用此法可化出許多零元素來.,例4.計算階行列式 分析：構(gòu)成本行列式的特點是：第i行元素 即相鄰兩行的對應(yīng)元素或差為零或差為1，只有一個元素差為1-x.因此用逐行相減的方法可化出許多零元素及1來. 解：從第2行起，每一行的（-1）倍都加到上一行上，有 每相鄰兩列之間有許多相同元素(1或0)，且最后一行有(n-1),個元素都是x,因此可再用相鄰兩列逐列相減的方法：從第(n-1)列起，每一列的(-1)倍加到后一列上. (按第1列展開) 注：對于本題第一次所作的變換逐行相減的結(jié)果，第二次作了逐列相減變換，得出的行列式，再按第一列展開后，成了兩個n-1階的特殊行列式.若第二次仍然作逐行相減，再按第一列展開，就沒這么簡單.,結(jié)束語 綜上所述，筆者介紹了計算行列式的十種常用方法，還有一些方法和技巧就不再一一列舉了.應(yīng)該指出：計算一個行列式往往有多種方法，有時計算一個行列式也需要幾種方法