高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))課件 D3習(xí)題課

,二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,習(xí)題課,一、 微分中值定理及其應(yīng)用,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第三章,一、 微分中值定理及其應(yīng)用,1. 微分中值定理及其相互關(guān)系,羅爾定理,柯西中值定理,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 微分中值定理的主要應(yīng)用,(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法,利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .,一般解題方法:,證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,(2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,可考慮用,柯西中值定理 .,必須多次應(yīng)用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.,有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 設(shè)函數(shù),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明,在,內(nèi)有界.,證: 取點(diǎn),再取異于,的點(diǎn),對(duì),為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理,得,(定數(shù)),可見對(duì)任意,即得所證 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 設(shè),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明至少存在一點(diǎn),使,上連續(xù), 在,證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,設(shè)輔助函數(shù),顯然,在 0 , 1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故至,使,即有,少存在一點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3.,且,試證存在,證: 欲證,因 f ( x ) 在 a , b 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有,將代入 , 化簡(jiǎn)得,故有,即要證,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 設(shè)實(shí)數(shù),滿足下述等式,證明方程,在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一,個(gè)實(shí)根 .,證: 令,則可設(shè),且,由羅爾定理知存在一點(diǎn),使,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo), 且,分析: 所給條件可寫為,(03考研),試證必存在,想到找一點(diǎn) c , 使,證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù),所以在0, 2上連續(xù), 且在,0, 2上有最大值 M 與最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一點(diǎn),由羅爾定理知, 必存在,例6. 設(shè)函數(shù),在,上二階可導(dǎo),且,證明,證:,由泰勒公式得,兩式相減得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,1. 研究函數(shù)的性態(tài):,增減 ,極值 ,凹凸 ,拐點(diǎn) ,漸近線 ,曲率,2. 解決最值問(wèn)題,目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化,最值的判別問(wèn)題,3. 其他應(yīng)用 :,求不定式極限 ;,幾何應(yīng)用 ;,相關(guān)變化率;,證明不等式 ;,研究方程實(shí)根等.,4. 補(bǔ)充定理 (見下頁(yè)),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù),在,上具有n 階導(dǎo)數(shù),且,則當(dāng),時(shí),證: 令,則,利用,在,處的 n 1 階泰勒公式得,因此,時(shí),定理.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù),例7. 填空題,(1) 設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,單調(diào)減區(qū)間為 ;,極小值點(diǎn)為 ;,極大值點(diǎn)為 .,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,單調(diào)增區(qū)間為 ;,.,在區(qū)間 上是凸弧 ;,拐點(diǎn)為,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,形在區(qū)間 上是凹弧;,則函數(shù) f (x) 的圖,(2) 設(shè)函數(shù),的圖形如圖所示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例8. 證明,在,上單調(diào)增加.,證:,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故當(dāng) x 0 時(shí),從而,在,上單調(diào)增.,得,例9. 設(shè),在,上可導(dǎo), 且,證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) .,證: 設(shè),則,故,在,上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有,一個(gè)零點(diǎn) .,又因,因此,也至多只有一個(gè)零點(diǎn) .,思考: 若題中,改為,其它不變時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)?,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例10. 求數(shù)列,的最大項(xiàng) .,證: 設(shè),用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得,令,得,因?yàn)?在,只有唯一的極大點(diǎn),因此在,處,也取最大值 .,又因,中的最大項(xiàng) .,極大值,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,列表判別:,例11. 證明,證: 設(shè), 則,故,時(shí),單調(diào)增加 ,從而,即,思考: 證明,時(shí), 如何設(shè)輔助,函數(shù)更好 ?,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,提示:,例12. 設(shè),且在,上,存在 , 且單調(diào),遞減 , 證明對(duì)一切,有,證: 設(shè),則,所以當(dāng),令,得,即所證不等式成立 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例13.,證: 只要證,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,利用一階泰勒公式, 得,故原不等式成立.,例14. 證明當(dāng) x 0 時(shí),證: 令,則,法1 由,在,處的二階泰勒公式 ,得,故所證不等式成立 .,與 1 之間),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,法2 列表判別:,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,法3 利用極值第二判別法.,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例15. 求,解法1 利用中值定理求極限,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解法2 利用泰勒公式,令,則,原式,機(jī)