高等數(shù)學(xué)(上冊)課件 D1_1映射與函數(shù)

第一章,分析基礎(chǔ),函數(shù),極限,連續(xù), 研究對象, 研究方法, 研究橋梁,函數(shù)與極限,第一章,二、映射,三、函數(shù),一、集合,第一節(jié),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,映射與函數(shù),元素 a 屬于集合 M , 記作,元素 a 不屬于集合 M , 記作,一、 集合,1. 定義及表示法,定義 1.,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.,組成集合的事物稱為元素.,不含任何元素的集合稱為空集 ,記作 .,注: M 為數(shù)集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 與負(fù)數(shù)的集 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,表示法：,(1) 列舉法：,按某種方式列出集合中的全體元素 .,例:,有限集合,自然數(shù)集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整數(shù)集合,或,有理數(shù)集,p 與 q 互質(zhì),實數(shù)集合,x 為有理數(shù)或無理數(shù),開區(qū)間,閉區(qū)間,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,無限區(qū)間,點的 鄰域,其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .,半開區(qū)間,去心 鄰域,左 鄰域 :,右 鄰域 :,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運算,定義2 .,則稱 A,若,且,則稱 A 與 B 相等,例如 ,顯然有下列關(guān)系 :,若,設(shè)有集合,記作,記作,必有,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義 3 . 給定兩個集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定義下列運算:,余集,直積,特例:,為平面上的全體點集,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,或,二、 映射,1. 映射的概念,某校學(xué)生的集合,學(xué)號的集合,某班學(xué)生的集合,某教室座位 的集合,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,引例1.,引例2.,引例3.,(點集),(點集),向 y 軸投影,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義4.,設(shè) X , Y 是兩個非空集合,若存在一個對應(yīng)規(guī),則 f ,使得,有唯一確定的,與之對應(yīng) ,則,稱 f 為從 X 到 Y 的映射,記作,元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的 像 ,記作,元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 原像 .,集合 X 稱為映射 f 的定義域 ;,Y 的子集,稱為 f 的 值域 .,注意:,1) 映射的三要素 定義域 , 對應(yīng)規(guī)則 , 值域 .,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對映射,若, 則稱 f 為滿射;,若,有,則稱 f 為單射;,若 f 既是滿射又是單射,則稱 f 為雙射 或一一映射.,引例2, 3,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,引例2,引例2,例1.,海倫公式,例2.,如圖所示,對應(yīng)陰影部分的面積,則在數(shù)集,自身之間定義了一種映射,(滿射),例3.,如圖所示,則有,(滿射),(滿射),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,X (數(shù)集 或點集 ),說明:,在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用,X ( ),Y (數(shù)集),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,f 稱為X 上的泛函,X ( ),X,f 稱為X 上的變換,R,f 稱為定義在 X 上的為函數(shù),映射又稱為算子.,名稱. 例如,2. 逆映射與復(fù)合映射,(1) 逆映射的定義,定義:,若映射,為單射,則存在一新映射,使,習(xí)慣上 ,的逆映射記成,例如, 映射,其逆映射為,其中,稱此映射,為 f 的逆映射 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 復(fù)合映射,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,手電筒,D,引例.,復(fù)合映射,定義.,則當(dāng),由上述映射鏈可定義由 D 到 Y 的復(fù),設(shè)有映射鏈,記作,合映射 ,時,或,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意: 構(gòu)成復(fù)合映射的條件,不可少.,以上定義也可推廣到多個映射的情形.,定義域,三、函數(shù),1. 函數(shù)的概念,定義4. 設(shè)數(shù)集,則稱映射,為定義在,D 上的函數(shù) ,記為,f ( D ) 稱為值域,函數(shù)圖形:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,自變量,因變量,(對應(yīng)規(guī)則),(值域),(定義域),例如, 反正弦主值,定義域,對應(yīng)規(guī)律的表示方法:,解析法,、圖象法,、列表法,使表達(dá)式及實際問題都有意義的自變量 集合.,定義域,值域,又如, 絕對值函數(shù),定義域,值 域,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 已知函數(shù),求,及,解:,函數(shù)無定義,并寫出定義域及值域 .,定義域,值 域,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 函數(shù)的幾種特性,設(shè)函數(shù),且有區(qū)間,(1) 有界性,使,稱,使,稱,說明: 還可定義有上界、有下界、無界,(見上冊 P11 ),(2) 單調(diào)性,為有界函數(shù).,在 I 上有界.,使,若對任意正數(shù) M , 均存在,則稱 f ( x ) 無界.,稱 為有上界,稱 為有下界,當(dāng),時,稱,為 I 上的,稱,為 I 上的,單調(diào)增函數(shù) ;,單調(diào)減函數(shù) .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(3) 奇偶性,且有,若,則稱 f (x) 為偶函數(shù);,若,則稱 f (x) 為奇函數(shù).,說明: 若,在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時,則當(dāng),必有,例如,偶函數(shù),雙曲余弦,記,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,又如,奇函數(shù),雙曲正弦,記,再如,奇函數(shù),雙曲正切,記,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(4) 周期性,且,則稱,為周期函數(shù) ,若,稱 l 為周期,( 一般指最小正周期 ).,周期為 ,周期為,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函數(shù),狄里克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無理數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì),若函數(shù),為單射,則存在逆映射,習(xí)慣上,的反函數(shù)記成,稱此映射,為 f 的反函數(shù) .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其反函數(shù),(減),(減) .,1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì):,2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對稱 .,例如 ,對數(shù)函數(shù),互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,指數(shù)函數(shù),(2) 復(fù)合函數(shù),則,設(shè)有函數(shù)鏈,稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) ,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 復(fù)合映射的特例,u 稱為中間變量.,注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件,不可少.,例如, 函數(shù)鏈 :,函數(shù),但函數(shù)鏈,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .,可定義復(fù)合,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).,例如,可定義復(fù)合函數(shù):,4. 初等函數(shù),(1) 基本初等函數(shù),冪函數(shù)、,指數(shù)函數(shù)、,對數(shù)函數(shù)、,三角函數(shù)、,反三角函數(shù),(2) 初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù),否則稱為非初等函數(shù) .,例如 ,并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步,驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .,可表為,故為初等函數(shù).,又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .,( 自學(xué), P17 P21 ),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,非初等函數(shù)舉例:,符號函數(shù),當(dāng) x 0,當(dāng) x = 0,當(dāng) x 0,取整函數(shù),當(dāng),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 求,的反函數(shù)及其定義域.,解:,當(dāng),時,則,當(dāng),時,則,當(dāng),時,則,反函數(shù),定義域為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 集合及映射的概念,定義域 對應(yīng)規(guī)律,3. 函數(shù)的特性,有界性, 單調(diào)性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu),作業(yè) P21 6 (5),(8) ,(10); 8; 10; 11; 15 ; 18; 19; 20,2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素,第二節(jié) 目錄