江蘇省鹽城市一中、建湖高中、阜寧中學(xué)、濱海中學(xué)四校聯(lián)考2018_2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)期中試題理（含解析）.docx

江蘇省鹽城市一中、建湖高中、阜寧中學(xué)、濱海中學(xué)四校聯(lián)考2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)期中試題 理（含解析）考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：160分一、填空題（本題包括14小題，每小題5分，共70分.）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則=_【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因此【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模及其性質(zhì)，考查基本運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.2.從300名學(xué)生(其中男生180人，女生120人)中按性別用分層抽樣的方法抽取40人參加比賽，則應(yīng)該抽取男生人數(shù)為_【答案】30【解析】各層之比為 應(yīng)該抽取男生人數(shù)為：.3.某校連續(xù)5天對(duì)同學(xué)們穿校服的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，沒有穿校服的人數(shù)用莖葉圖表示，如圖，若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為18，則=_.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖計(jì)算平均數(shù).【詳解】由莖葉圖得【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖以及平均數(shù)，考查基本運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.4.如圖是一個(gè)算法偽代碼，則輸出的的值為_.【答案】5【解析】【分析】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán)，輸出.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.5.若，則x的值為_【答案】1或2【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得方程，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋曰?，解得?【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)性質(zhì)，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.6.連續(xù)拋擲一顆骰子2次，則擲出的點(diǎn)數(shù)之和不超過9的概率為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】連續(xù)拋擲一顆骰子2次，共有36種基本事件，其中擲出的點(diǎn)數(shù)之和不超過9的事件有種，故所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_【答案】【解析】【分析】先設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，得漸近線方程，再根據(jù)條件列方程，解得結(jié)果.【詳解】由題意設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則漸近線方程為，所以【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線以及離心率，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.8.曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，得切線方程，再求三角形面積.【詳解】因?yàn)?，所以，與與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，因此圍成的三角形面積為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線方程，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.9.已知若，則=_【答案】-14【解析】【分析】先根據(jù)賦值法求，再利用二項(xiàng)式定理求特定項(xiàng)系數(shù).【詳解】令，得，因?yàn)?，所以含?xiàng)系數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.10.有4名優(yōu)秀學(xué)生、全部被保送到中大、華工、廣工3所學(xué)校，每所學(xué)校至少去1名，則不同的保送方案共 種?！敬鸢浮?6.【解析】試題分析：分兩步進(jìn)行，先把4名學(xué)生分為2-1-1的三組，有種分法，再將3組對(duì)應(yīng)3個(gè)學(xué)校，有種情況，則共有66=36種保送方案故答案：36考點(diǎn)：分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用.11.已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為_.【答案】512【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)列式求，再根據(jù)二項(xiàng)展開式性質(zhì)求奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以從而奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.12.過橢圓C：的右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P為右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，記直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，則的值為_【答案】8【解析】【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程解出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率公式化簡得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，由得所以【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓交點(diǎn)以及斜率公式，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.13.已知?jiǎng)t的最小值為_.【答案】【解析】【分析】先解出,再化簡，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】因?yàn)?，因此，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查條件最值問題以及二次函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬中檔題.14.已知函數(shù)設(shè)，且函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.【答案】（1，3）【解析】【分析】先畫圖，根據(jù)圖象確定經(jīng)過四個(gè)象限的條件，解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋鐖D，而所以 【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬中檔題.二、解答題：(15、16、17題均為14分，18、19、20題均為16分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定區(qū)域內(nèi)答題，并寫出必要的計(jì)算、證明、推理過程)15.某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組,第五組,下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.(1)若成績大于等于14秒且小于16秒為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；(2)若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績，求這兩個(gè)成績的差的絕對(duì)值大于1的概率.【答案】（1）人（2）4/7【解析】試題分析：（1）根據(jù)頻率分步直方圖做出這組數(shù)據(jù)成績?cè)?4，16）內(nèi)的人數(shù)為500.16+500.38，這是頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系（2）根據(jù)頻率分步直方圖做出要用的各段的人數(shù)，設(shè)出各段上的元素，用列舉法寫出所有的事件和滿足條件的事件，根據(jù)概率公式做出概率解：（1）由頻率分布直方圖知，成績?cè)?4，16）內(nèi)的人數(shù)為500.16+500.38=27（人）該班成績良好的人數(shù)為27人（2）由頻率分布直方圖知，成績?cè)?3，14）的人數(shù)為500.06=3人，設(shè)為x，y，z成績?cè)?7，18）的人數(shù)為500.08=4人，設(shè)為A，B，C，D若m，n13，14）時(shí)，有xy，zx，zy，3種情況； 若m，n17，18）時(shí)，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種情況；若m，n分別在13，14）和17，18）內(nèi)時(shí)， A B C Dx xA xB xC xDy yA yB yC yDz zA zB zC zD共12種情況基本事件總數(shù)為21種，事件“|mn|1”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有12種P（|mn|1）=點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)典型的古典概型問題，本題可以列舉出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，應(yīng)用列舉法來解題是這一部分的精髓16.若二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng).(1)求的值； (2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；【答案】（1）10； （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式求出的值，（2）根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式系數(shù)列不等式組，解得系數(shù)最大時(shí)的項(xiàng)數(shù)，再代入通項(xiàng)公式得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)槎?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，所以x的指數(shù)為.又因?yàn)榈恼归_式中的常數(shù)項(xiàng)為第五項(xiàng)，所以,且，解得n=10. (2)因?yàn)?，其系?shù)為.設(shè)第k+1()項(xiàng)的系數(shù)最大，則， 化簡得即，因?yàn)?所以，即第四項(xiàng)系數(shù)最大，且.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬中檔題.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面 為等腰直角三角形，,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求二面角的余弦值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）設(shè)AD的中點(diǎn)為G，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積得夾角，即得結(jié)果，（2）利用方程組解得平面PBD的法向量，利用向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，設(shè)AD的中點(diǎn)為G，連接PG，因?yàn)闉榈妊苯侨切危?90，所以.又平面平面ABCD,所以平面ABCD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA,GP所在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得A（1,0,0），P（0,0,1）,B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),則E（,1,）,F(-,1,),所以,.故，故異面直線ED與BF所成角的余弦值為. （2）由（1）知，,設(shè)平面PBD的法向量為，則 所以令 所以平面PBD的一個(gè)法向量為=(1,-1,-1).易知平面ABD的一個(gè)法向量為=(0,0,1)，所以，由圖可知，二面角A-BD-P為銳二面角，所以二面角A-BD-P的余弦值為.點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量求線線角與二面角，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬中檔題.18.如圖，某地村莊P與村莊O的距離為千米，從村莊O出發(fā)有兩條道路，經(jīng)測量，的夾角為，OP與的夾角滿足（其中），現(xiàn)要經(jīng)過P修一條直路分別與道路交匯于兩點(diǎn)，并在處設(shè)立公共設(shè)施（1）已知修建道路的單位造價(jià)分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價(jià)相等，求此時(shí)點(diǎn)之間的距離；（2）考慮環(huán)境因素，需要對(duì)段道路進(jìn)行翻修，段的翻修單價(jià)分別為n元/千米和元/千米，要使兩段道路的翻修總價(jià)最少，試確定點(diǎn)的位置【答案】（1）千米； （2）A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距O點(diǎn)3千米處.【解析】【分析】（1）先建立坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)條件求B點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得結(jié)果，（2）先設(shè)直線方程，解得A,B坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示翻修總價(jià)，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值.【詳解】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，設(shè)，由，得，所以 由題意得，所以，所以B點(diǎn)縱坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)B在直線上，所以， 所以 答：之間的距離為千米 （2）設(shè)總造價(jià)為S，則， 設(shè)，要使S最小，只要y最小當(dāng)軸時(shí)，這時(shí)，所以 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為，令，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，所以，令，得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，因?yàn)榍?，所以或，此時(shí)， 當(dāng)時(shí)，y在上遞減，在上遞增，所以，此時(shí)； 當(dāng)時(shí)，綜上所述，要使段道路的翻修總價(jià)最少，A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距O點(diǎn)千米處 答：要使段道路的翻修總價(jià)最少，A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距O點(diǎn)3千米處【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值以及利用坐標(biāo)系建立函數(shù)關(guān)系式，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.19.在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)(如圖所示)，點(diǎn)在橢圓的長軸上運(yùn)動(dòng)，且.設(shè)圓是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.（1）若，圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為，求橢圓的方程；（2）若橢圓的離心率為，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，若直線PQ過點(diǎn)M，求m的值（用含的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)圓與橢圓有且僅有點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的運(yùn)動(dòng)范圍（用含的代數(shù)式表示）.【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）先求圓的半徑，再得B坐標(biāo)，即得，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上解得,（2）根據(jù)離心率得，根據(jù)BPBQ，利用向量數(shù)量積化坐標(biāo)表示，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡可得結(jié)果，（3）根據(jù)題意得不等式，利用坐標(biāo)表示得，最后利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)最大值，即得結(jié)果.【詳解】（1）,則即橢圓的方程為，（2）因?yàn)闄E圓C的離心率為，則 ， ，點(diǎn)，橢圓的方程為設(shè)直線PQ的方程為xtym(0m2b)，將xtym代入，得.由題設(shè)可知16(4b2m2b2t2)0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2 ，y1y2.而x1x2t(y1y2)2m.x1x2(ty1m)(ty2m)t2y1y2tm(y1y2)m2. 由題設(shè)BPBQ，即 .(x1-2b，y1)(x2-2b，y2)(x1-2b)(x2-2b)y1y2x1x2(y11)(y21)x1x2y1y22b(x1x2)4b2 ，化簡得5m216bm+12b20，解得m2b(舍)，m.所以m.， ， ，所以m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法以及綜合分析與求解能力，屬較難題.20.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）令.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的值；當(dāng)時(shí)，若的解集為，且中有且僅有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是和； （2） .【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再解不等式得結(jié)果，（2）根據(jù)題意得極值點(diǎn)函數(shù)值為零，解方程即得結(jié)果，研究函數(shù)先分析中有解必要條件，即最小值小于零，再結(jié)合圖象確定有且僅有一個(gè)整數(shù)的條件，即得